IYPT2019, Uma breve análise do Pêndulo em loop
André Luiz Peixoto Santos Casalta;Gustavo Villela Dario;Henrique Murakami
de Paula;Matheus Augusto Souza David Tavares;Tomás Windisch Olenscki∗
Equipe Hooke Smash, Colégio ETAPA
(Data: 27 de setembro de 2018)
O “looping pendulum” é um problema que pode ser abordado de diversas formas na
física, envolvendo conceitos como energia, momento angular e também mecânica la
grangeana, que foi a teoria utilizada nas análises teóricas deste trabalho. A mecânica
lagrangeana é uma formulação da mecânica clássica conveniente para tratar deter
minados tipos de problemas com ênfase no espaço das coordenadas e velocidades
ocupadas pelo sistema. No caso deste problema, a mecânica lagrangeana se mostrou
particularmente útil pois é relativamente simples marcar as posições e determinar as
velocidades do pêndulo ao longo de sua trajetória.
Aolongodorelatóriobuscamosexploraraomáximoestaferramenta,alémdesoftwa
resparaaánalisedetalhadadomovimentocomoo“tracker”esoftwaresparaaconstru
ção de gráficos como o “origin”, buscando compreender o seu completo funcionamento
e suas particularidades.
∗E-mail: casaltaandre@gmail.com;guvd8000@gmail.com;h.murakamidepaula@gmail.com;
matheus.masdt@gmail.com;Tomas.olenscki@gmail.com
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I. INTRODUÇÃO
“Conecte duas massas (uma pesada e uma leve) com uma corda que passa por cima de uma barra horizontal e levante a massa pesada puxando a mais leve para baixo. Solte a massa leve e ela irá girar ao redor da barra, impedindo que a massa pesada caia no chão. Investigue o fenômeno. ” Após a leitura dos problemas da IYPT2019 este em especial se destacou pelo seu funcionamento contra-intuitivo e único, além da aparente simplicidade do que parecia ser apenas uma leve alteração de uma máquina de atwood (ref), porém ele se mostrou muito mais desafiador do que isso, carregando em si diversas variáveis e situações distintas que o tornam muito abrangente e multifário. Inicialmente, a busca por equações horárias simples utilizando mecânica newtoniana mostrou-seumdesafioconsiderável. Apósumasériedetentativasfomosfinalmenteapresentados às técnicas de mecânica lagrangeana o que nos permitiu finalmente obter as equações de movimento que regem o sistema do pêndulo. Essas equações entretanto são não lineares e transedentais. Por isso, mesmo empregando aproximações convenientes é difícil encontrar um grau de simplificação que torne o problema solúvel sem conduzir a um modelo trivial. Uma possibilidade de simplificação surge da ideia de separar o movimento em dois estágios distintos :(i) antes do peso maior parar, com atrito dinâmico, que pode ser considerado desprezível entre a corda e o suporte e (ii) depois do peso maior parar, com atrito estático já não desprezível. O relatório inicialmente tratará da questão teórica por trás do movimento, principalmente em relação a variação das massas, e então partiremos para os métodos utilizados III para a coleta de dados da forma mais precisa possível, finalizando com os resultados das experiências feitas seguindo estes métodos e uma breve análise feita nas sessões IV e, de forma mais geral, na V.
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II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
O principal conceito utilizado na análise teórica do problema foi o momentum, introduzido na física por Newton.
P=(m±ϫm)×(V×ϫV)  (I)
Para duas bolas no pêndulo:
P_█(0=(m±ϫm)×(v×ϫv)+(m±ϫm)×(±ϫv)@@)  (II)
Onde P_█(0@)é a quantidade de movimento inicial.
Em uma situação ideal:
P_(f=P_█(0@) ) (III)
Considerando que o coeficiente de restituição das bolinhas (ε), característica própria do material, e que as bolas têm um ângulo δ de desalinhamento.
P_(f=P_0 )  ×ε×cosδ (IV)
Desenvolvendo a Equação (II), chegamos que o termo “2×ϫm×ϫv” é de segunda ordem nas variações, portanto, é desprezível.
Logo:
P_(0=m×v±(2×m×ϫv+v×ϫm)) (v)
Para minimizar as variáveis desconhecidas a serem determinadas experimentalmente, tem-se por energia que:
mgh=(mv^2)/2
Derivando:
mgϫh=m2vϫv→ ϫv=gϫh
Onde “ϫh” é a incerteza de altura que a bola é abandonada.
Para n bolinhas no pêndulo, haverá n-1 colisões, n-1 ângulos de deslinhamento.
Generalizando:
P_(f=P_0 )  ×ε^n-1∏_(i=1)^(n-1)▒cosδi (VI)
Onde P_0 é dado pela equação (V).


Ao utilizar mecânica lagrangeana temos que nos preocupar em obedecer alguns pontos importantes: Primeiramente devemos estar em um referêncial inercial, pois esta foi deduzida através das leis de Newton e o referêncial inercial é condição necessária para as mesmas. Além disso os vínculos entre os corpos devem ser holônomos, ou seja, que podem ser escritos em função das coordenadas generalizadas do sistema e do tempo, para que não precisemos recorrer a multiplicadores de espécie alguma. O cerne da mecânica lagrangeana consiste na imposição do princípio da mínima ação de Hamilton(ref a este livro) do qual emergem as chamadas equações de Euler-Lagrange, cuja expressão é: d dt ∂L ∂ ˙ p − ∂L ∂p = 0 (1) onde p e ˙ p são um par de coordenadas generalizadas (ngulo,x,y, ˙ angulo, ˙ x, ˙ y ...) e L é a lagrangeana, dada por: L = K −U (2)
ondeK eU sãorespectivamente aenergia cinéticado corpoe aenergia potencialdo mesmo. Devemos escrever uma equação da forma (1) para cada par de coordenadas generalizadas (p, ˙ p) dosistema, criandovínculosentreestesparaqueessenúmeropossaserreduzido. No caso deste problema podemos reduzir as coordenadas de 3 para 2 ao escrever a queda do peso maior em função do comprimento parcial r da corda e do ângulo θ entre a corda e a vertical. Aplicando estas fórmulas para o problema temos:
K =
M + m 2
(˙ θR− ˙ r)2 +
m 2
r2 ˙ θ2 (3)
U = Mg[−l + (π−θ)R + r] + mg(Rsenθ−rcosθ) (4)
4
L =
M + m 2
(˙ θR− ˙ r)2 +
m 2
r2 ˙ θ2 −mg(Rsenθ−rcosθ) + Mg[l−(π−θ)R−r] (5)
onde r é o tamanho da corda do peso menor até o ponto de contato com o eixo de raio R, θ é o ângulo entre a porção de corda r e a vertical, e l é o comprimento total da corda.
Figura 1: Representação geral do problema
Utilizando a equação de Euler-Lagrange(1) para r e θ respectivamente, temos:
mr ˙ θ2 + mgcosθ−Mg + (m + M)(R¨ θ−¨ r) = 0 (6)
−mg(Rcosθ + rsenθ) + MgR−(m + M)(R¨ θ−¨ r)R−2m˙rr ˙ θ−mr2¨ θ = 0 (7)
note que estas equações não dependem do comprimento total da corda l Analisando as fórmulas acima notamos que é uma ideia agradável ,ao analizar a variação das massas no movimento, deixar as equações em função de m M, pois para uma diferença cada vez maior de massas este termo tende cada vez mais para zero e podemos, assim, simplificar as equações. Para isso podemos dividir todos os termos por M, e, fazendo isso, alcançamos:
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m M
r ˙ θ2 +
m M
g cosθ−g +
m M
(R¨ θ−¨ r) + (R¨ θ−¨ r) = 0 (8)
−
m M
g(Rcosθ + rsenθ) + gR−
m M
R¨ θ−¨ r)R−(R¨ θ−¨ r)R−2
m M
˙ rr ˙ θ−
m M
r2¨ θ = 0 (9)
Para uma diferença muito grande de massas podemos fazer a seguinte aproximação:
−g + (R¨ θ−¨ r) = 0 (10)
g = (R¨ θ−¨ r) (11)
Como dito anteriormente, resolvemos separar o movimento em dois estágios para uma análise mais simplificada. O primeiro estágio obedecerá todas as fórmulas de movimento até agora construídas com a lagrangeana, pois estas equações foram escritas tendo em mente o desprezo do atrito no movimento. Já o segundo movimento se trata de um movimento em espiral uniforme sem mais deslizamento entre a corda e o suporte. Além das equações de movimento, podemos destacar a expressão que representa a tensão em uma corda enrolada de um ângulo β ao redor de uma barra, que é dada por:
T = T0eµβ (12)
onde T é a tensão na corda original, T0 é a tensão após o atrito , µ é o coeficiente de atrito estático e β é o ângulo de contato da corda. Para efeitos de praticidade, a forma linearizada da equação acima pode ser útil e é dada por:
lnT = lnT0 + µβ (13)
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Figura 2: Corda enrolada com angulo β em um cilindro e suas tensões
III. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL
A. Equipamentos Utilizados
Nesta experiência foram utilizados suportes universais da marca Maxwell modelo 2016 feitos de metal, com base retangular de metal e seus acessórios, tais como uma barra metálica fina com uma ferramenta de rosca para se fixar no suporte como observável na figura 3. Também foram utilizados pesos de (4,99±0,03) gramas, que possuem um buraco no interior e um cordão da marca Mafios e coeficiente de atrito calculado experimentalmente neste relatório. Para a medição do coeficiente de atrito da corda foi utilizado um dinamômetro da marca pesola de capacidade máxima de 5 Newtons, a corda em questão e um transferidor Desetec.
B. Arranjo Experimental
Foram montados diversos pêndulos de mesmo comprimento com proporções diferentes de massa, da forma apresentada na figura4, feitos de um lado amarrando um peso isolado e do outro lado juntando uma certa quantidade de pesos e os amarrando em conjunto. O suporte foi fixado no chão por diversos pesos grandes e nele foi fixada uma barra fina ,com raioquevariaentre2,15mmnapartegrossae0,48mmnosvãosmaisfinos,quefoicolocada nele para ser eixo do pêndulo.
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Figura 3: Suporte universal utilizado com seu acessório que serviu de eixo para o pêndulo
Figura 4: Pêndulos alinhados conforme a massa do peso maior
C. Procedimento
Para testar a influência da diferença de massas foram fixadas as outras variáveis tais como: ângulo inicial, raio R do suporte e o tipo de corda, testando diversas proporções para as massas. Para o fixamento do ângulo foi utilizado um transferidor Desetec e um outro suporte universal com uma barra horizontal acoplada que serviu para manter o ângulo em 45◦ para todos os experimentos. O movimento foi gravado em 60fps FHD na câmera de um celular Sansung Galaxy S7 e analisado no software “tracker” cinco vezes para cada massa. Para a medição do atrito estático foi utilizado o seguinte método: (bib - artigo 1)Posicionando o dinamômetro verticalmente ,sem influência do suporte, calculamos a tensão T da corda. Ao enrolar gradualmente o cordão e anotando valores de T0 para ângulos predefinidos de 0 a 3π 2 criamos umatabela de tensão porângulo. repte-se o procedimentocinco vezes para a obtenção das incertezas. Com uma tabela feita dos valores obtidos montamos um gráfico de tensão por ângulo obedecendo a fórmula (12), e, após a linearização do gráfico 7
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dada pela equação (13) o coeficiente de atrito representa simplesmente o coeficiente angular da mesma.
IV. DISCUSSÃO E ANÁLISE DOS DADOS
A. Proporção das massas
Ao construir o gráfico de coordenada “x” por tempo percebemos a semelhança deste com o gráfico de um movimento harmônico amortecido, principalmente após a parada da massa maior, como é visto nos gráficos 5 e 6
Figura 5: Coordenada x da massa menor por tempo decorrido
Figura 6: Gráfico de um movimento harmônico amortecido
Analisando todas as massas de 0 a 20, entrevimos empiricamente que aquela com maior
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eficiência de movimento, ou seja, a que necessita de menos corda para parar o peso maior e que este desce uma quantidade menor de espaço é a massa de proporção 12 para 1 que cai apenas 0,488 metros em uma corda de tamanho (0,80±0,02) m. No que diz respeito ao coeficiente de atrito da corda em relação ao suporte, utilizando a formalinearizada (13) daequação(12) paramontarográfico 7alcançamosa equaçãolinear:
y = (0,33±o,o3)x−(0,07±o,o3) (14)
e, tomando o coeficiente de atrito como o coeficiente angular da reta descoberta, descobrimos que este é µ = (0,33±0,03), que está na média esperada para um fio de algodão.
Figura 7: Gráfico linearizado por ln de 1 T0 por ângulo
V. CONCLUSÃO
Constatamos que o problema tem soluções bastante complicadas e mesmo ao utilizar aproximações, estas não simplificam o suficiente para uma análise direta, porém conseguimos tirar conclusões empíricas sobre o movimento com as ferramentas digitais e compreender o funcionamento geral do problema, principalmente no motivo do corpo maior parar. Este processo consiste em equiparar o peso do corpo a uma tensão causada pelo movimento circular ,como forma de resultante centrípeta, levando em conta que esta tensão não
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precisa ser igual, pois devemos considerar o atrito entre o suporte e a corda, o que reduz significantemente este valor. Apesar dos resultados obtidos, ainda há espaço para variar pontos importantes como o ângulo inicial , a corda utilizada, o raio do suporte, a gravidade ,por meio de referenciais acelerados, e a influência do ar, mostrando que este problema ainda está para começar e muito deve ser feito tanto nas variáveis quanto no estudo das equações.
[1] David Morin, Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions D96 (2008)
105023. Goldeinstein http://www.uel.br/pessoal/renatoikeoka/pages/arquivos/FisicaTipler ( ao falar
demovharmamor)Artigosobreatrito(http://www.ufjf.br/fisica/files/2010/03/09Pratica9.pdfArtigodelagrangeanadaRevistaBrasileiradeEnsinodeF sicaleisdenewtonaodescreverascondi§µesdalagrangeana
Princípios matemáticos da filosofia natural - Sir Isaac Newton
Física básica volumes 1 e 2 - Moysés