\documentclass[12pt]{report}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{hyperref}


\textwidth=14cm \textheight=22cm \oddsidemargin=1.5cm
\topmargin=-0.7cm


\DeclareMathOperator{\Z}{\mathbb{Z}}


\newtheorem{prz}{Przykład}

\begin{document}



	\noindent
	Anna Gzela, MMAD, grupa1, 266541
	\medskip



	\noindent
	Zad III.60 Wiedząc, że $tg\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$, oblicz wartość wyrażenia:

$$	\frac{3sin\alpha-2cos\alpha}{5cos\alpha-7sin\alpha}$$


	\emph{Rozwiązanie}


	Wyznaczamy dziedzinę podanego równania. Wiemy, że dla sin$\alpha$  oraz  cos$\alpha$ dziedziną jest  zbiór  liczb rzeczywistych.
	Dla tg$\alpha$ dziedziną jest zbiór  x=$\pi$/2+k$\pi$,  gdzie   k $\in\mathbb$ {Z}.



	\bigskip



	\noindent

	Dzielimy ułamek przez cos$\alpha$,  przy założeniu, że cos$\alpha \neq 0$, więc $\alpha \neq$ 0+k$\pi$, k $\in\mathbb$ {Z}.

	$$\frac{\frac{3sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{2cos\alpha}{cos\alpha}}{\frac{5cos\alpha}{cos\alpha}-\frac{7sin\alpha}{cos\alpha}}$$

	Poniewać tg$\alpha$=sin$\alpha$/cos$\alpha$, oraz cos$\alpha$/cos$\alpha$=1, ponieważ cos$\alpha\neq$0, możemy zastosować przekształcenie:
	$$
	\frac{3tg\alpha -2}{5-7tg\alpha}.
	$$
	Korzystając z danych podanych w treści zadania podstawiamy za tg$\alpha$ wartość $\sqrt2$/2:
	$$
	\frac{\frac{3\sqrt2}{2}-2}{5-\frac{7\sqrt2}{2}}.
	$$
	Sprowadzamy wyrażenia w liczniku i mianowniku do wspólego mianownika:
	$$
	\frac{3\sqrt2-\frac{4}{2}}{10-\frac{7\sqrt2}{2}},
	$$
	które, poprzez zastosowanie zależności, że dzielenie to odwrotność mnożenia, przekształcamy do postaci:
	$$
	\frac{3\sqrt2-4}{2}*\frac{2}{10 -7\sqrt2}.
	$$
	Po uproszczeniu otrzymujemy odpowiedź:
	$$
	\frac{3\sqrt2 -4}{10-7\sqrt2}.
	$$




	\noindent

	Wartość wyrażenia wynosi:
	$$
	\frac{3\sqrt2 -4}{10-7\sqrt2}.

	$$



	\end{document}