\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=20mm, bottom=15mm, nohead, nofoot]{geometry} \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{fancybox,fancyhdr}
\usepackage{svg}
\headsep=10mm
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{asymptote}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{tikz}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\definecolor{block-gray}{gray}{0.99}
\newtcolorbox{myquote}{colback=block-gray, boxrule=0pt,boxsep=0pt,breakable}
\newcommand{\lr}[1]{\left({#1}\right)}

\begin{document}


\noindentЧисло $a$ называется пределом числовой последовательности $\{a_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ \\ существует такое натуральное $N(\varepsilon)$, что для всех $n>N(\varepsilon)$ верно неравенство $|a_n-a|<\varepsilon$. \\

\noindentСимволическая запись определения предела последовательности:
$$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a \iff \forall \varepsilon > 0, \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \ \forall_n > N: \ |a_n-a|<\varepsilon$$
\vspace{2mm}

\noindent\textbf{С помощью определения доказать, что числовая последовательность с общим членом ${a_n}$ имеет предел, равный $a$:}

\begin{multicols}{2}
\noindent \textbf{1.1} $a_n = \cfrac{5}{n+2}, \quad a=0$ \\[1mm]
\textbf{2.2} $a_n = \cfrac{3n}{n+1}, \quad a=3$ \\[1mm]
\textbf{2.3} $a_n = \cfrac{4n+1}{2n-1}, \quad a=2$ \\[1mm]

\columnbreak

\noindent\textbf{1.4} $a_n = \cfrac{1}{n^2} \cdot \cos \Big(\cfrac{\pi n}{2} \Big), \quad a=0$ \\[1mm]
\textbf{1.5} $a_n = \cfrac{n^2+2}{3n^2+1}, \quad a=\dfrac{1}{3}$ \\[1mm]
\textbf{1.6} $a_n = \cfrac{\sqrt{n}}{5 \sqrt{n}+1}, \quad a=\dfrac{1}{5}$ \\
\end{multicols}

\vspace{2mm}

\noindent \textbf{C помощью определения предела последовательности покажите, что последовательность с общим членом $b_n$ не имеет предела:}

\begin{multicols}{2}
\noindent\textbf{2.1} $b_n = \cos{\Big(\cfrac{\pi n}{4} \Big)} $ \\

\columnbreak

\noindent\textbf{2.2} $b_n = (-1)^{n+1}$ \\
\end{multicols}

\vspace{2mm}

\noindent \textbf{С помощью определения предела последовательности покажите, что последовательность с общим членом $y_n$ имеет бесконечный предел:}

\begin{multicols}{2}
\noindent \textbf{3.1} $y_n = \cfrac{n^4}{5}$ \\[1mm]

\columnbreak

\noindent \textbf{3.2} $y_n = \cfrac{n^3+1}{n^2+4}$ \\
\end{multicols}

\vspace{2mm}

\noindent \textbf{Вычислите пределы:}

\begin{multicols}{2}
\noindent \textbf{4.1} $\lim \limits_{n \to \infty} \cfrac{1000n}{n^2+1}$ \\[1.5mm]
\textbf{4.2} $\lim \limits_{n \to \infty} \cfrac{(6-n)^2-(6+n)^2}{(6+n)^2-(1-n)^2}$ \\[1.5mm]
\textbf{4.3} $\lim \limits_{n \to \infty} \cfrac{n \sqrt[6]{n} + \sqrt[5]{32n^{10}+1}}{(n + \sqrt[4]{n}) \cdot \sqrt[3]{n^3-1}}$ \\[1.5mm]
\textbf{4.4} $\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n-3})$  \\[1.5mm]

\columnbreak

\noindent\textbf{4.5}$\lim \limits_{n \to \infty} \bigg(\cfrac{10n-3}{10n-1} \bigg)^{5n}$  \\[1.5mm]
\textbf{4.6} $\lim \limits_{n \to \infty} \Big(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2^2} + \dfrac{5}{2^3}  + \ldots + \dfrac{2n-1}{2^n} \Big)$  \\[1.5mm]
\textbf{4.7} $\lim \limits_{n \to \infty} \cfrac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}}$  \\[1.5mm]

\end{multicols}

\vspace{2mm}

\noindent \textbf{Вычислите пределы функий на бесконечности:}

\begin{multicols}{2}
\noindent \textbf{5.1} $\lim \limits_{x \to \infty} \cfrac{2x^2-3x-5}{1+x+3x^2}$ \\[1.5mm]
\textbf{5.2} $\lim \limits_{x \to \infty} \cfrac{7x^3+15x^2+9x+1}{5x^4+6x^2-3x-4}$ \\[1.5mm]
\textbf{5.3} $\lim \limits_{x \to \infty} \cfrac{2x^2-3x-5}{x+1}$ \\[1.5mm]

\columnbreak

\noindent \textbf{5.4}$\lim \limits_{x \to \pm \infty} \cfrac{1-x}{\sqrt{4x^2+1}}$  \\[1.5mm]
\textbf{5.5} $\lim \limits_{x \to \infty} \cfrac{3x^2+x \sqrt{7+x^3}}{x + 6\sqrt{x^5}}$  \\[1.5mm]
\textbf{5.6} $\lim \limits_{x \to \pm \infty} (\sqrt{x^2+2x+2} - x) $  \\[1.5mm]

\end{multicols}


\end{document}