1) f(k) == 1, iff k = t * (t + 1) / 2 + 1 для любого целого (>= 0) t.
Надеюсь, это достаточно очевидно.
2) Посмотрим на k * 8 - 7
  (t * (t + 1) / 2 + 1) * 8 - 7 =
= 4 * t * (t + 1) + 8 - 7 =
= 4 * t * t + 4 * t + 1 =
= (2t + 1) ^ 2

- Если k * 8 - 7 - не квадрат, то f(k) == 0
- Если k * 8 - 7 - квадрат нечётного числа, то f(k) == 1
- k * 8 - 7 - нечётное число, так что квадратом чётного числа оно быть не может.


Но я так то аутист, не судите строго