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TRABALHO

FelipeNeto2 Jul 28th, 2019 188 Never
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  1. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  2. %   taisesantiago@gmail.com
  3. %   Modelo para artigos em Português
  4. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  5.  
  6. \documentclass[12pt]{article}
  7. \usepackage{geometry}
  8. \usepackage{chngpage}
  9. \usepackage{graphicx}
  10. \usepackage{amsmath}
  11. \usepackage{amsfonts}
  12. \usepackage{amssymb}
  13. \usepackage{latexsym}
  14. \usepackage[brazil]{varioref}
  15. \usepackage[english,brazil]{babel}
  16. \geometry{a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}
  17. \usepackage[dvips]{color}
  18. \usepackage[brazilian]{babel}
  19. \usepackage[utf8]{inputenc}
  20. \usepackage[T1]{fontenc}
  21.  
  22.  
  23. %%%%%%%%%%Definições Teoremas %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  24.  
  25.  \newtheorem{teo}{Teorema}%[subsection]
  26.  \newtheorem{cor}[teo]{Corolário}
  27. \newtheorem{lem}[teo]{Lema}
  28. \newtheorem{prop}[teo]{Proposição}
  29. \newtheorem{defn}[teo]{Definição}
  30. \newtheorem{nota}[teo]{Notação}
  31. \newtheorem{obs}[teo]{Observação}
  32. \numberwithin{equation}{subsection}
  33. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  34.  
  35. \begin{document}
  36. \title{O conjunto de Cantor}
  37.  
  38. \maketitle \abstract{Todo mundo conhece o famoso teorema de
  39. Pitágoras (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
  40. hipotenusa, ou simplesmente $ a^2= b^2 + c^2$). O último teorema
  41. de Fermat (veja \cite{CD}) diz que não existem a, b e c inteiros
  42. que satisfaçam a equação $a^n = b^n + c^n$, para nenhum $n > 2$.
  43. Neste trabalho falaremos sobre alguns dos novos campos da
  44. matemática que nasceram com a demonstração feita Andrew Wiles em
  45. 1995 com a demonstração da validade de tal teorema.
  46.  
  47. \medskip
  48.  
  49. \noindent{\bf Palavras Chave:} Teorema de Fermat,Teorema de
  50. Pitagoras
  51.  
  52. }
  53.  
  54. \section*{Introdução}
  55.  
  56. \section{Conceitos preliminares}
  57. Segue abaixo alguns conceitos fundamentais para entendermos as propriedades do conjunto de Cantor.
  58.  
  59. \subsection{Conjuntos e Números Reais}
  60.  
  61. \begin{defn}
  62.    Um conjunto X é dito enumerável se existe uma bijeção f : $\mathbb{N} \rightarrow X$.
  63. \end{defn}
  64.  
  65. \begin{defn}
  66.    Sejam $a,b \in \mathbb{R}$ com a<b. Então:
  67.    \newline
  68.    \newline
  69.    $[a,b] := \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\} $
  70.    \newline
  71.    $(a,b] := \{ x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$
  72.    \newline
  73.    $[a,b) := \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$
  74.    \newline
  75.    $(a,b) := \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$
  76.    \newline
  77.    $(-\infty,b] := \{ x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
  78.    \newline
  79.    $(-\infty,b) := \{ x \in \mathbb{R} : x < b\}$
  80.    \newline
  81.    $[a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
  82.    \newline
  83.    $(a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} : x > a\}$
  84.    \newline
  85.    $[a,a]$ é denominado intervalo degenerado
  86.    
  87. \end{defn}
  88.  
  89. \begin{defn}
  90.    Seja X um conjunto tal que X $\subset \mathbb{R}$. Dizemos que X é limitado superiormente quando existe b $\in \mathbb{R}$ tal que $x \leq b, \forall x \in X$. Analogamente, dizemos que X $\subset \mathbb{R}$ é limitado inferiormente quando existe a $\in \mathbb{R}$ tal que a $\leq x, \forall x \in X$. O número b chama-se cota superior de X e o número a chama-se cota inferior de X. Se X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é limitado. Isto significa que existe k>0 tal que $|x| \leq k, \forall x \in X$.
  91. \end{defn}
  92.  
  93.  
  94. \begin{teo}
  95.    (Intervalos Encaixados) Dada uma sequência decrescente:
  96.    \newline
  97.    $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset ... $
  98.    \newline
  99.    de intervalos não-vazios, limitados e fechados: $I_n = [a_n,b_n]$ , existe pelo menos um número c tal que c $\in I_n, \forall n \in \mathbb{N}$.
  100. \end{teo}
  101.  
  102. \subsection{Noções topológicas em $\mathbb{R}$}
  103.  
  104. \begin{defn}
  105.    Seja X $\subset \mathbb{R}$.  Um ponto a $\in$ X é um ponto interior de X se existe $\delta$>0 tal que (a-$\delta, a+\delta)\subset$ X.
  106. \end{defn}
  107.  
  108. \begin{nota}
  109.    O conjunto dos pontos interiores de X será denotado por int(X).
  110. \end{nota}
  111.  
  112. \begin{defn}
  113.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O conjunto X é aberto quando todos os pontos de X são pontos interiores de X, ou seja, X = int(X).
  114. \end{defn}
  115.  
  116. \begin{prop}
  117.    Uma união qualquer de abertos é um conjunto aberto, ou seja, se $\{A_\lambda\}_\lambda_\in_L$ é uma família de conjuntos abertos, então $\underset{\lambda\in L}{\bigcup} A_\lambda$ é um conjunto aberto.
  118. \end{prop}
  119.  
  120. \begin{prop}
  121.    Sejam $A_1, A_2,...,A_N$ subconjuntos abertos de $\mathbb{R}$. Então $\bigcap\limits^N_{i=1}A_i$ é um conjunto aberto.
  122. \end{prop}
  123.  
  124. \begin{defn}
  125.    Um conjunto F $\subset \mathbb{R}$ é fechado se, e somente, $F^{c}$ é um conjunto aberto.
  126. \end{defn}
  127.  
  128. \begin{defn}
  129.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um ponto a $\in \mathbb{R}$ é um ponto de acumulação de X se para todo $\delta$ > 0, temos (a-$\delta, a+\delta) \cap (X-\{a\})\ne \varnothing$.    
  130. \end{defn}
  131.  
  132. \begin{nota}
  133.    O conjunto dos pontos de acumulação de X  será denotado por X'.
  134. \end{nota}
  135.  
  136. \begin{defn}
  137.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O fecho de X é o conjunto $\overline{X} = X$ $\cup$ X'.
  138. \end{defn}
  139.  
  140. \begin{defn}
  141.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um conjunto A $\subset$ X é dito denso em X se $\overline{A} = X$.
  142. \end{defn}
  143.  
  144. \begin{prop}
  145.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um subconjunto A $\subset$ X é denso em X se, e somente se, para todo a $\in$ X e para todo $\epsilon > 0$, $(a-\epsilon, a+\epsilon) \cap A \ne \varnothing.$
  146. \end{prop}
  147.  
  148. \begin{defn}
  149.    Um conjunto compacto em $\mathbb{R}$ é um conjunto fechado e limitado.
  150. \end{defn}
  151.  
  152. \begin{defn}
  153.    Chama-se cobertura de um conjunto $X \subset \mathbb{R}$ a uma família C de conjuntos $C_\lambda$ cuja reunião contém X.
  154. \end{defn}
  155.  
  156. \begin{defn}
  157. Seja $X \subset \mathbb{R}$. Dizemos que um conjunto X tem medida nula se para qualquer $\epsilon > 0$, existe uma cobertura finita ou infinita enumerável de X por intervalos abertos $I_k$, isto é, $X \subset \underset{\lambda\in L}{\bigcup} I_k$  tal que $\underset{\lambda\in L}{\sum} |I_k| < \epsilon$.  
  158. \end{defn}
  159.  
  160.  
  161. \subsection{Base ternária (base 3)}
  162.  
  163.  
  164.  
  165.  
  166.  
  167.  
  168.  
  169.  
  170.  
  171.  
  172.  
  173.  
  174.  
  175.  
  176.  
  177.  
  178.  
  179.  
  180.  
  181.  
  182.  
  183.  
  184.  
  185.  
  186.  
  187.  
  188.  
  189.  
  190.  
  191.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.  
  197.  
  198.  
  199.  
  200.  
  201.  
  202.  
  203.  
  204.  
  205. \section{A construção do conjunto de Cantor}
  206. Consideremos o segmento que representa o intervalo fechado $\textit{I}$ = [0,1]. No primeiro passo, dividimos $\textit{I}$ em três partes iguais e, em seguida, removemos o intervalo aberto $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$, a qual chamaremos de terço médio de $\textit{I}$. Chamemos de C1 o conjunto dos pontos restantes de $\textit{I}$. Assim, $C_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},1]$.
  207.    \newline
  208. No segundo passo, dividimos em três partes iguais os dois intervalos fechados de C1 e, em seguida, removemos os intervalos abertos $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$ e $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$. Chamemos então de $C_2$ o conjunto dos pontos restantes de $C_1$. Ou seja, $C_2 = [0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{8}{9},1]$.
  209.    \newline
  210.  Então prosseguindo indutivamente dessa maneira, de tal forma que $C_n$ é constituído dos pontos de $C_{n-1}$ retirando o terço médio aberto de $C_n$, obtemos uma sequência de conjuntos: $C_1, C_2,..., C_n,...$ tais que $\textit{I}\supset C_1 \supset C_2 \supset ... \supset C_{n-1}\supset C_n \supset$ ...
  211.  \newline
  212.  Observe que $C_n$ consiste em $2^{n}$ intervalos fechados e disjuntos dois a dois.
  213.  
  214. \begin{defn}
  215.    O conjunto de Cantor $\textit{C}$ é a interseção dos conjuntos $\textit{C}_n$, obtidos através da remoção sucessiva dos terços médios abertos do intervalo $\textit{C} = [0,1]$, ou seja, $C = \bigcap\limits^\infty_{n=1}C_n$.
  216.  
  217. \end{defn}
  218.  
  219. \begin{teo}
  220.     Os elementos do conjunto de Cantor possuem expansão ternária (base 3) usando apenas os dígitos 0 e 2, ou seja,
  221.     \newline
  222.     $\textit{C} = \{x \in [0,1]: x = \sum \frac{i_n}{3^{n}}$ para $i_n = 0$ ou $i_n = 2\}$.
  223. \end{teo}
  224.  
  225. \section{Propriedades do conjunto de Cantor}
  226.  
  227. \begin{prop}
  228.    O conjunto $\textit{C}$ não é vazio.
  229. \end{prop}
  230.  
  231. \textbf{Demonstração:} Pelo (Teorema), vimos que se um número pertencente a $\textit{I}$ = [0,1] cuja expansão ternária possui somente os dígitos 0 e 2, então esse número pertence ao conjunto de Cantor. Como $\frac{1}{4} = (0,0202...)_3$, então $\frac{1}{4} \in \textit{C}$. Portanto, $\textit{C} \ne \varnothing$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\Box$
  232.  
  233. \begin{prop}
  234.    $\textit{C}$ é um conjunto fechado.
  235. \end{prop}
  236.  
  237. \textbf{Demonstração:} Sejam $(T_\lambda)_{\lambda \in \mathbb{N}}$ os intervalos retirados durante a construção de $\textit{C}$. Pela (proposição), $\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda$ é um conjunto aberto. Então, ${(\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda)}^{C}$ é um conjunto fechado (def). Mas, $\textit{C} = {(\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda)}^{C} \cap [0,1]$ e [0,1] é um conjunto fechado, assim pela (prop) $\textit{C}$ é um conjunto fechado.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  238.  
  239. \begin{prop}
  240.    $\textit{C}$ é um conjunto compacto.
  241. \end{prop}
  242.  
  243. \textbf{Demonstração:} Temos que $\textit{I}$ é um conjunto limitado e $\textit{C} \subset \textit{I}$, então $\textit{C}$ também é limitado. Pela (prop), vimos que $\textit{C}$ é fechado, e como $\textit{C}$ também é limitado, logo pela (prop) $\textit{C}$ é um conjunto compacto.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  244.  
  245. \begin{prop}
  246.    $\textit{C}$ é um conjunto não enumerável.
  247. \end{prop}
  248.  
  249. \begin{prop}
  250.    O conjunto de Cantor possui interior vazio, ou seja, int($\textit{C}) = \varnothing$.
  251. \end{prop}
  252.  
  253. \textbf{Demonstração:} Suponha, por absurdo, que $int(\textit{C}) \ne \varnothing$ e seja x $\in int(\textit{C})$. Então, $\exists \delta$ > 0 tal que (x-$\delta$,x+$\delta) \subset \textit{C}$ pela (def).
  254. \newline Assim, (x-$\delta$, x+$\delta) \subset C_n , \forall n \in \mathbb{N}$. Como $C_n$ é a união de $2^{n}$ intervalos disjuntos de comprimento $\frac{1}{3^{n}}$, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) deverá estar contido em um desses subintervalos de $C_n$. Como   $\frac{1}{3^{n}}\rightarrow 0$, então $\exists m \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{3^{n}} < \delta$. Mas, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) tem comprimento $2\delta > \delta>\frac{1}{3^{n}}$.
  255. \newline Desta forma, (x-$\delta,x+\delta)$ não está contido em nenhum dos subintervalos de $C_m$, ou seja, (x-$\delta,x+\delta)\nsubseteq C_m$, o que é um absurdo.
  256. \newline Portanto, $int(\textit{C}) = \varnothing$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  257.  
  258. \begin{prop}
  259.    O conjunto $\textit{C}^C$ é denso em $[0,1]$.
  260. \end{prop}
  261.  
  262. \begin{prop}
  263.    O conjunto de Cantor possui medida nula.
  264. \end{prop}
  265.  
  266.  
  267.  
  268.  
  269.  
  270.  
  271.  
  272.  
  273.  
  274.  
  275. \section{Conclusão}
  276.  
  277. Art art art art art art art art art art art art art art art art
  278. art art art art art art art art art art art art art art art art
  279. art art art art art art art art art art art art art art art art
  280. art art art art art art art art art art art art art art art art
  281. art art art art art art art art art art art art art art art art
  282. art art art art art art art art art art art art art art art art
  283. art art art art art art art art art art art art art art art art
  284. art art art art art art art art art art art art art art art art
  285. art art art art art art art art art art art art art.
  286.  
  287. \begin{thebibliography}{99}
  288.  
  289. \bibitem{CD} SINGH, Simon.\textit{ Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical}. Anchor Books, New York, 307 pp., (1997).
  290.  
  291.  
  292.  
  293.  
  294. \end{thebibliography}
  295.  
  296.  
  297. \end{document}
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