SHARE
TWEET

Lab 6 PI V3

Lusien_Lashans Nov 27th, 2019 226 Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
  1. \documentclass{article}
  2. \usepackage[utf8]{inputenc}
  3.  
  4. \title{Моделирование эволюции малых искажений сферичности коллапсирующего пузырька}
  5. \author{А.Аганин Т.С.Гусева Т.Ф. Халитова }
  6. \date{November 2019}
  7.  
  8. \usepackage{natbib}
  9. \usepackage{graphicx}
  10. \usepackage[utf8]{inputenc} %кодировка исходного текста
  11. \usepackage[english,russian]{babel} %локализация и переносы
  12. \usepackage{graphicx}%Вставка картинок правильная
  13. \usepackage{float}%"Плавающие" картинки
  14. \usepackage{wrapfig}%Обтекание фигур (таблиц, картинок и прочего)
  15. \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
  16.  
  17. %дальнейшая группа команд определяет размеры полей и отступов
  18. % Параметры страницы: 1см от правого края и 2см от остальных.
  19. \hoffset=0mm
  20. \voffset=0mm
  21. \textwidth=179mm        % ширина текста
  22. \oddsidemargin=-5.5mm   % левое поле 25.4 - 5.4 = 20 мм
  23. \textheight=260mm       % высота текста 297 (A4) - 40
  24. \topmargin=-15.4mm      % верхнее поле (10мм)
  25. \headheight=5mm      % место для колонтитула
  26. \headsep=-10mm          % отступ после колонтитула
  27. \footskip=7.5mm         % отступ до нижнего колонтитула
  28. %конец определения полей и отступов
  29.  
  30. \begin{document}
  31.  
  32. \maketitle
  33.  
  34. \begin{center}
  35. \small Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН. Казань
  36. \end{center}
  37.  
  38. \begin{flushleft}
  39.    \textbf{Аннотация}. Представлены результаты расчета эволюции малых осесимметричных искажений сферической формы пузырька в ходе его коллапса.
  40.    Использованы полная модель на основе двумерных уравнений газовой динамики (газ и жидкость считаются невязкими нетеплопроводными) и ряд упрощенных моделей. Последние получены из полной модели путем расщепления
  41.    движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение. Различия упрощенных моделей определяются допущениями, используемыми при реализации расщепления.
  42. \end{flushleft}
  43.  
  44. \begin{flushleft}
  45.    \textbf{Ключевые слова:} несферическое сжатие пузырька, уравнения газовой динамики
  46. \end{flushleft}
  47.  
  48. \hrulefill
  49.  
  50. \section{Введение}
  51. Во многих практических задачах с использованием жидкостей с пузырьками
  52. Во многих практических задачах с использованием жидкостей с пузырьками существенное значение имеет форма пузырьков. Так, сохранение сферичности пузырьков является одним из основных условий в известных экспериментах по однопузырьковой сонолюминесценции [1] и акустической
  53. кавитации дейтерированного ацетона [2]. Эволюция возмущения сферичности пузырька, как правило, описывается на основе расщепления движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение [3–5]. При этом сферическая составляющая описывается одномерными уравнениями газовой динамики, а эволюция возмущения — обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с
  54. коэффициентами — функциями параметров сферического движения.
  55.  
  56. \footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
  57. исследований (проект № 05–01–00415–a) и в рамках программы ОЭММПУ РАН}
  58.  
  59. Решение задачи при таком подходе значительно проще, чем при интегрировании двумерных уравнений газовой динамики. Но в случае, когда стенки
  60. пузырька сходятся со сверхзвуковой скоростью, некоторые упрощающие
  61. предположения, используемые обычно в рамках этого подхода, оказываются неверными. В настоящей работе для такого случая проводится сравнение результатов применения трех моделей эволюции искажения, полученных с использованием расщепления, и результатов прямого численного
  62. моделирования (ПЧМ) на основе двумерных уравнений газовой динамики
  63.  
  64.  
  65.  
  66. \section{Постановка задачи}
  67. Рассматривается сильное сжатие пузырька в жидкости. Пузырек полагается осесимметричным с искажением формы в виде квадрупольной сферической гармоники. Движение газа и жидкости описывается двумерными
  68. уравнениями газовой динамики с уравнениями состояния из [6] для жидкости и из [7] для газа. При построении методики расчета применяются
  69. смешанные эйлерово-лагранжевы (СЭЛ) координаты. Уравнения газовой
  70. динамики в СЭЛ координатах (\xi, \eta) имеют следующий вид:
  71.  
  72. \begin{center}
  73. Q_{\tau} + F_{\xi} + G_{\eta} = S, \quad q = (\rho, \rho u, \rho\upsilon, \rho E)^T,\\
  74. \end{center}
  75.  
  76. $$
  77. f = \left(
  78. \begin{array}{c}
  79.    \rho(U - U_{\omega})\\
  80.    \rho u(U - U_{\omega}) + p\xi_{x}\\
  81.    \rho u(U - U_{\omega}) + px^{-\beta}\xi_{y}\\
  82.    \rho E(U - U_{\omega}) + pU
  83. \end{array}
  84. \right), \quad  g = \left(
  85. \begin{array}{c}
  86.    \rho(V - V_{\omega})\\
  87.    \rho u(V - V_{\omega}) + p\eta_{x}\\
  88.    \rho u(V - V_{\omega}) + px^{-\beta}\eta_{y}\\
  89.    \rho E(V - V_{\omega}) + pV
  90. \end{array}
  91. \right),
  92. $$
  93. $$
  94. s = \left(
  95. \begin{array}{c}
  96.    0\\
  97.    \frac{\alpha p}{x} + \beta
  98.        \left[
  99.            p \upsilon
  100.                \left(
  101.                    \frac{\upsilon}{x} - y_{\tau}
  102.                \right)
  103.        \right]\\
  104.    \beta
  105.        \left[
  106.            -\frac{\rho}{x}
  107.                \left(
  108.                    u \upsilon - uxy_{\tau} - \upsilon x_{\tau}
  109.                \right)
  110.            + \frac{p}{x}\ctg(y)
  111.        \right]\\
  112.    0
  113. \end{array}
  114. \right)
  115. \eqno(1)
  116. $$
  117. Здесь $Q = \sqrt{|h|}q, F = \sqrt{|h|}f,  G = \sqrt{|h|}g, S = \sqrt{|h|}s;$  $\rho$ - плотность x, y —
  118. эйлеровы координаты; u, v — компоненты вектора скорости частицы среды; $u_{\omega}, v_{\omega}$ — компоненты вектора скорости СЭЛ координат; p — давление;
  119. $\varepsilon$ — удельная внутренняя энергия; E = \varepsilon + (u^2 + v^2) / 2, ...............................................
  120. При этом граничные условия имеют вид:
  121. $$
  122. U^{o+} = U^{o-}, \quad p^+ = p^- \quad (U^o = U / \sqrt{\xi_{x}^2 + \xi_{y}^2x^{-2\beta}})
  123. \eqno(2)
  124. $$
  125. Уравнение поверхности пузырька в начальный момент t = 0 задается
  126. следующим образом
  127. ...........................................................................\\
  128. $p_{\infty}$ = 15 атм при $R \leq r \leq \infty$; i = 2, $P_2(\theta)=0.25(3\cos2\theta + 1)$
  129. \section{Упрощенные математические модели}
  130. В [3] путем расщепления движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение получено уравнение
  131. эволюции отклонения от сферической формы пузырька $a_i$
  132. , которое в условиях настоящей работы имеет вид:
  133. $$
  134. \ddot{a_i} + \frac{\dot{3R_i^*}}{R}\dot{a_i} - (i-1)\frac{\ddot{3R_i^*}}{R}a_i = 0,
  135. \eqno(3)
  136. $$
  137. $$
  138. dot{R_i^*} = \frac{\dot{R_i^*}}{3} - \frac{R(u_r^+ + q_{i}u_{r}^-)}{3(1 + q_i)},\\
  139. \eqno(4)
  140. $$
  141. \begin{figure}[ht]
  142. \centering
  143. \includegraphics[scale=1]{LatexImg.PNG}
  144. \caption{ кривая 1 — скорость сжатия, 2 — невозмущенная плотность жидкости,
  145. 3 — осредненная плотность газа, 4 — плотность газа около центра пузырька; (б–г):
  146. отклонение от сферической формы при $t_* = 0$, $a_{20} = -1/3мкм, \dot{a_{20}} = 0, t_*$
  147. — момент возникновения возмущения (б); $t_* = 0 $.............Сплошные кривые — ПЧМ, тонкие сплошные —
  148. УМ1, штриховые — УМ2, пунктирные — УМ3}
  149. \end{figure}
  150. \section{Результаты расчетов}
  151. Рассматривается сильное сжатие пузырька, такое, что в конце плотность
  152. газа превышает плотность жидкости (кривые 3 и 2 на Рис. 1(а)). В ходе
  153. сжатия в пузырьке формируется ударная волна. Ее фокусировка в центре
  154. пузырька (коллапс пузырька) отражена финальным скачком кривой 4.
  155. Рассчитаны три варианта возникновения малого начального возмущения сферической формы пузырька. Результаты расчетов приведены на
  156. Рис. 1(б)–(г). В совокупности они отражают характерные особенности развития малого возмущения. Кривые всех упрощенных моделей совпадают
  157. почти до момента коллапса. Различия проявляются, когда сжатие газа в
  158. пузырьке становится существенно неоднородным, а плотность газа — сравнимой с плотностью жидкости $(R/R0 \approx 0.15).$
  159.  
  160. \section{Заключение}
  161. Представлено сравнение результатов моделирования несферического коллапса осесимметричного пузырька в жидкости с использованием упрощенных моделей работ [3–5] и на основе прямого численного моделирования
  162. В области монотонного изменения отклонения различия между результатами применения упрощенных моделей и ПЧМ монотонно нарастают.
  163. При этом скорость изменения отклонения при ПЧМ оказывается меньше.
  164. В финале стадии сжатия для упрощенной модели с более точными значениями градиентов давления и скорости на поверхности пузырька и для
  165. ПЧМ характерны резкие изменения скорости развития отклонения.
  166.  
  167.  
  168. \citep{adams1995hitchhiker}
  169. \citep{Taleyarkhan}
  170. \citep{Aganin}
  171. \bibliographystyle{plain}
  172. \bibliography{references}
  173. \end{document}
RAW Paste Data
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy. OK, I Understand
Top