\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath} %koniecznie
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsthm}%dodatkowo
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\date{}
\author{}
\title{Tytuł: Matematyka}

\begin{document}
\maketitle

    \section*{Ściaga}
        int,lim,frac,sum,lnot,land,implies,Right arrow,infty,iff,nearrow
    \section{Trygonometria (array)}
        \[
        \begin{array}{|c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|}
        \hline
        x & 0 & \frac{\pi}{6} &\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & (0;\frac{\pi}{2}) & (\frac{\pi}{2};{\pi}) & (\pi;\frac{3\pi}{2}) & (\frac{3\pi}{2};2\pi) \\
        \hline
        \sin{x} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & + & + & - & - \\
        \hline
        \end{array}
        \]

    \section{Szeregi (description)}
    \begin{description}
        \item[Szereg nieskończony:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = (a_{n}, S_{n})$
        \item[Szereg jest zbieżny:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} < \infty$
        \item[Szereg jest rozbieżny do nieskończoności:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = \infty$
    \end{description}
    Warunek konieczny zbieżności: $\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0$ \\
    (wniosek: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_{n} \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} = \infty) $ \\
    $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty $ jest bezwględnie zbieżny, jeżeli $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}| < \infty $, w przeciwnym wypadku jest warunkowo zbieżny

    \newpage

    \subsection{Szeregi o wyrazach dodatnich (equation,tag)}
    \subsubsection{Funkcja Riemanna: (cases, text)}
    \[
        \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \begin{cases}
        \infty &\text{dla } s \leq 1 \\
        -\infty &\text{dla } s > 1 \tag{0}
        \end{cases}
    \]
    \subsection{Szeregi o wyrazach dowolnych (align)}
    \subsubsection{Kryterium Abela:}
    \begin{equation}
        \Bigg( \lnot [(a_{n})\nearrow] \land \forall n \in N : (a_{n}0) \land \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} < \infty \Bigg) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}b_{n}) < \infty
    \end{equation}
    \subsubsection{Kryterium Dirichleta:}
    \[
        \left(\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0 \land \lnot [(a_{n})\nearrow] \land \exists\epsilon>0 : \forall n \in N : \epsilon - |S_{n}| > 0\right) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}b_{n})
        \tag{2}
    \]
    \subsection{Kryterium Leibniza:}
    \[
        \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0 \Longleftrightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} ((-1)^{n} \; a_{n}) < \infty \tag{3}
    \]
    \section{Całki (gather,int)}
    \begin{gather}
        \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C \tag{4} \\
        \int xdx = \frac{1}{2}x^{2} + C \tag{5} \\
        \int \cos{x}dx = \sin{x} + C \tag{6}
    \end{gather}

    \newpage
    \section{Kombinatoryka (align*, \{a $\backslash$choose b)\}}
    \begin{gather*}
        {n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} \\
        {n\choose n - k} = {n\choose k}
    \end{gather*}


    \tableofcontents

\end{document}