Advertisement
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up,
it unlocks many cool features!
- \documentclass[11pt]{article}
- %Gummi|065|=)
- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
- %%ATAJOS UTILES------------------------------------
- \newcommand{\PD}{\textbf{Por demostrar: }}
- \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
- \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
- \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
- \newcommand{\I}{\mathcal{I}}
- \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
- \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
- \newcommand{\integraldef}[2]{\int_{#1}^{#2}}
- \newcommand{\Caso}{\textbf{Caso}}
- \newcommand{\entonces}{\Rightarrow}
- \newcommand{\sii}{\syss}
- \newcommand{\syss}{\Leftrightarrow}
- \newcommand{\regreso}{\Leftarrow}
- \newcommand{\derivada}[1]{\frac{d}{d #1}}
- \newcommand\Mydiv[2]{%
- \strut#1\Rern.25em\smash{\raise.3ex\hbox{\big)}}\mRern-8mu
- \overline{\enspace\strut#2}}
- \newcommand\setItemnumber[1]{\setcounter{enumi}{\numexpr#1-1\relax}}
- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
- \usepackage[spanish]{babel}
- \usepackage[utf8]{inputenc}
- \usepackage{mathtools}
- \usepackage{amsthm}
- \usepackage{amsfonts}
- \usepackage{graphicx}
- \usepackage{amsmath}
- \usepackage{amssymb}
- \usepackage{tabularx}
- \usepackage{mathrsfs}
- \usepackage{polynom}
- %% Esto te permite poner caso durante las demostraciones
- \newtheorem*{remark}{Caso}
- %% Cambios en el tipo de papel
- \usepackage[
- top=1.5cm,
- bottom=2cm,
- left=1cm,
- right=1cm,
- heightrounded,
- ]{geometry}
- \begin{document}
- \title{Tarea de algebra superior}
- \author{Alejandro Cano Hernandez \\Rubalcava Cortés Javier Roberto}
- \date{}
- \maketitle
- \begin{enumerate}
- \setItemnumber{5}
- \item Sean $f(x), g(x) \in F[x]$ con $g(x)\neq0$. Asumamos que
- $f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$, donde $r(x)=0$ ó $gr(r) < gr(g)$.
- Prueba que $(gx) \mid f(x)$ si y sólo si $r(x) = 0$.
- \begin{proof}
- $\entonces$) Sup $g(x) \mid f(x)$
- \PD $r(x) = 0$
- Entonces, por definición de $\mid$ tenemos que
- $f(x) = g(x) \cdot q(x)$ y por hipótesis
- $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
- $\therefore$ $g(x) \cdot q(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ $\entonces$
- $r(x) = 0$ que es lo que se quería probar.
- $\regreso$) Sup $r(x) = 0$
- \PD $g(x) \mid f(x)$
- Por hipótesis tenemos:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) &= g(x) \cdot q(x) + r(x) \\
- &= g(x) \cdot q(x) + \hat{0} \\
- &= g(x) \cdot q(x)
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- $\therefore \exists q(x) \in F[x] : f(x) = g(x) \cdot q(x)$, ed,
- $g(x) \mid q(x)$
- \end{proof}
- %%By Rubal
- %%Creo que esta demostracion parece estar hecha para una clase de calculo
- \setItemnumber{6}
- \item Si $a, b \in F,$ demuestra que $(x-a) |(x-b)$ si $y$ sólo si $a=b$ :\\
- \begin{proof}
- \PD $a = b$\\
- \PD $a -b = 0$
- Sea $ f:F \mapsto f$, tal que $ f(x) = x-b$. Por el algoritmo de la division aseguramos la existencia de $ q(x) \in F[x]$, de modo que
- $ x-b = (x-a) q(x) + r(x)$, pero por hipotesis tenemos que $(x-a) |(x-b) $, por el inciso (5) sabemos que $(x-a) |(x-b) \sii r(x) = 0 $
- por lo tanto: $ f(x) = x-b = (x-a)q(x)$.
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(a) &= a-b = (a-a)q(x)\\
- &\syss a-b = (0)q(x)\\
- &\syss a-b = 0\\
- &\syss a = b
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \end{proof}
- \setItemnumber{7}
- \item Para qué valores de $a\in\R$ se cumple que:
- $$(x^2+ax-a^2)\mid(x^3+ax^2-4x-a+2)$$
- Veamos para qué valores el resuiduo es cero:
- Sean $f(x)=(x^3+ax^2-4x-a+2)$, $g(x) = (x^2+ax-a^2)$
- \polylongdiv{x^3+ax^2-4x-a+2}{x^2+ax-a^2}
- Veamos cuando:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- (a^2-4)x + (-a+2) = 0 &\entonces (a^2-4)x + (-a+2) = 0x + 0\\
- &\entonces
- \begin{cases} (a^2-4)=0 \\ -a+2=0 \end{cases} \\
- &\entonces a = 2
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \setItemnumber{9}
- \item Sea $a \in F \mathrm{y} \operatorname{sean} f(x), g(x) \in F[x] .$ Si $x-a | f(x)$ y $x-a \nmid g(x),$
- prueba que$x-a \nmid f(x)+g(x)$ :\\
- \begin{proof}
- Sea $ f(x) + g(x) = \gamma(x)$\\
- \PD $x-a \nmid \gamma(x)$ \\
- Supongamos que $ x-a | f(x) + g(x) $ para alcanzar una contradiccion. Por el teorema
- del factor podemos asegurar que $x-a | f(x) \sii f(a) = 0$, analogamente
- podemos decir que $x-a \nmid f(x) \sii f(a) \neq 0$.
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- x-a | \gamma(x) & \sii \gamma(a) = 0 &&\text{ Por el teorema del factor .}\\
- \text{ De este modo: }
- 0 &= \gamma (a) \\
- &= f(a) + g(a)\\
- &= 0 + g(a) && \text{ Por hipotesis } f(a) = 0\\
- &= g(a) \\
- &\neq 0
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Lo cual es una contradiccion debida a suponer que $ x-a | f(x) + g(x) $.
- \end{proof}
- \setItemnumber{10}
- \item Por medio del método de Ruffini (división sintética) realiza
- \textbf{dos} de las cosas que en seguida se piden:
- \begin{enumerate}
- \item Encuentra el cociente y el residuo de dividir
- $3x^3 + x^2 + x - 5$ entre $x + 2$
- \polyhornerscheme[x=-2]{3x^3 + x^2 + x - 5}
- $\therefore q(x) = 3x^2 - 5x + 11$, $r(x) = -27$
- \item Calcula el valor del polinomio
- $31x^5 + 17x^4 - x^2 + 1$ al ser evaluado en $3$.
- \polyhornerscheme[x=3]{31x^5 + 17x^4 - x^2 + 1}
- $\therefore f(3) = 8902$
- \end{enumerate}
- \setItemnumber{11}
- \item Para dos de los siguientes incisos expresa el polinomio $ f(x)$ en términos de
- potencias de $ g(x)$ :
- \begin{enumerate}
- \item $f(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1 \quad \quad g(x)=x+1$ \\
- \polylongdiv{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x +1 }{x+1}
- \polylongdiv{ x^3 + x^2 - 4x }{x+1}
- \polylongdiv{ x^2 - 4}{x+1}
- De este modo:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1 &= (x+1)(x^3 + x^2 - 4x) + 1 \\
- &= (x+1)[(x+1 )( x^2 -4) +4 ] + 1 \\
- &= (x+1)[(x+1 )[ (x + 1)( x- 1) - 3 ] +4 ] + 1 \\
- &= (x+1)[(x+1 )^{2} ( x- 1) - 3 (x+1) +4 ] + 1 \\
- &= (x+1 )^{3} ( x- 1) - 3 (x+1)^2 +4 (x+1)^1 + 1 (x+1)^0 \\
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \item $f(x)= x^{5} +1 \quad \quad g(x)=x-2$ \\
- \polylongdiv{ x^{5}+1}{x-2}
- \polylongdiv{ x^4 +2 x^3 +4x^2 + 8x + 16 }{x-2}
- \polylongdiv{x^3 + 4x^2 + 12x + 32 }{x-2}
- \polylongdiv{ x^2 + 6x + 24 }{x-2}
- De este modo:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- x^{5} +1 &= (x -2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x +16) + 33 \\
- &= (x -2)[(x -2) (x^3 + 4x^2 + 12x^ + 80 ) ] + 33 \\
- &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)(x^2 +6x + 24 ) + 80 ] + 80 ] + 33 \\
- &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)[ (x-2)(x+ 8) + 40 ] + 80 ] + 80 ] + 33 \\
- &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)^2 (x+ 8) + 40 (x-2) ] + 80 ] + 80 ] + 33 \\
- &= (x-2)[(x-2)^3 (x+ 8) + 40 (x-2)^2 + 80(x-2) + 80 ] + 33 \\
- &= (x-2)^4 (x+ 8) + 40 (x-2)^3 + 80(x-2)^2 + 80(x-2) + 33 \\
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \item $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \quad g(x)=x^{2}+2 x+1$ \\
- \polylongdiv{ x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 }{x^{2}+2 x+1}
- \polylongdiv{ x^2 - x +2 }{x^{2}+2 x+1}
- De este modo:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 &= (x^{2}+2 x+1) (x^2 -x +2 ) + (-2x -1) \\
- &= (x^{2}+2 x+1) [ (x^{2}+2 x+1) (1) + (-3x +1) ] + (-2x -1) \\
- &= (x^{2}+2 x+1)^2 + (x^{2}+2 x+1)(-3x +1) + (-2x -1) \\
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \end{enumerate}
- \setItemnumber{15}
- \item Calcula el $m.c.d.$ y el $m.c.m.$ de \textbf{una} de las siguientes
- parejas de polinomios en $\Q[x]$, luego expresa su $m.c.d.$ como
- combinación lineal de ellos:
- \begin{enumerate}
- \setcounter{enumii}{2}
- \item $f(x) = x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x$,
- $g(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2$
- Veamos $(f;g)$:
- \polylongdiv{x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x}
- {x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2}
- Sean $q_1(x) = x - 2$, $r_1(x) = 4x^3 + 8x^2 - 8x - 4$
- Procedamos.
- \polylongdiv{x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2}
- {4x^3 + 8x^2 - 8x - 4}
- Sean $q_2(x) = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$,
- $r_2(x) = -x^2 - 3x - 1$
- Procedamos.
- \polylongdiv{4x^3 + 8x^2 - 8x - 4}
- {-x^2 - 3x - 1}
- Y al encontrarnos al primer residuo distinto de cero, aseguramos
- que $(f;g)$ es $r_2(x)$ mónico, es decir, $(f;g) = x^2 + 3x + 1$
- Luego, observamos que:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) &= g(x)q_1(x) + r_1(x) \\
- g(x) &= r_1(x)q_2(x) + r_2(x)
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Entonces despejando y sustituyendo, podemos realizar el
- procedimiento siguiente:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- r_2(x) &= g(x) - r_1(x)q_2(x) \\
- &r_1(x) = f(x) - g(x)q_1(x) \\
- r_2(x) &= g(x) - q_2(x)[f(x) - g(x)q_1(x)] \\
- &= g(x) - q_2(x)f(x) + g(x)q_2(x)q_1(x) \\
- &= [-q_2(x)]f(x) + [q_2(x)q_1(x) + 1]g(x) \\
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Luego, notemos que $(f;g) = x^2 + 3x + 1 = -r_2(x)$
- Entonces la combinación lineal que buscamos es:
- $$-r_2(x) = [q_2(x)]f(x) + [-q_2(x)q_1(x) - 1]g(x) $$
- Desarollando obtenemos:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- -q_2(x)q_1(x) - 1 &= -(q_2(x)q_1(x) + 1) \\
- &= -\Big[\Big(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\Big)(x - 2)
- + 1\Big] \\
- &= -\big[\frac{1}{4}x^2 - \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x
- - \frac{1}{2} + 1\Big]
- &= -\Big[\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\Big] \\
- &= -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Finalmente, la combinación lineal buscada es:
- $$\Big[\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\Big]f(x) +
- \Big[\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}\Big]g(x)$$
- Ahora veamos el mínimo común múltiplo. Por definición:
- $$[f;g] = \frac{f(x)g(x)}{(f;g)}$$, pero como:
- \polylongdiv{x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x}
- {x^2 + 3x + 1}
- Entonces $f(x) = (x^2 + 3x + 1)(x^3 - 2x^2 + 2x)$ y por lo tanto
- tenemos:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- [f;g] &= \frac{f(x)g(x)}{(f;g)} \\
- &= \frac{(x^2 + 3x + 1)(x^3 - 2x^2 + 2x)
- (x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2)}{x^2 + 3x + 1} \\
- &= (x^3 - 2x^2 + 2x)(x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2) \\
- &= x^7 + 3x^6 - x^5 - 6x^4 - 2x^3 \\
- &\quad - 2x^6 - 6x^5 + 2x^4 + 12x^3 + 4x^2 \\
- &\quad + 2x^5 + 6x^4 - 2x^3 - 12x^2 - 4x \\
- &= x^7 + x^6 - 5x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 8x^2 - 4x
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- $\therefore [f;g] = x^7 + x^6 - 5x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 8x^2 - 4x$
- \end{enumerate}
- \setItemnumber{16}
- \item Sea $p(x) \in F[x] .$ Muestra que $p(x)$ es irreducible si $\mathrm{v}$ sólo si, para cualesquiera
- $f(x), g(x) \in F[x], p(x) | f(x) \cdot g(x)$ implica $p(x) | f(x)$ ó $p(x) | g(x)$.
- \begin{proof}
- ($\entonces$)Supongamos que $ f(x) $es irreducible, y que $ p(x) \nmid f(x) $. \\
- \PD $p(x) | g(x)$\\
- Ya que $ f(x)$es irreducible y $ p(x) \nmid f(x)$, entonces tenemos que
- $ (f(x); p(x) ) = 1$, de modo que:
- $$ p(x) s(x) + f(x) t(x) = 1$$
- para algunos $ t(x),s(x)\in K[x]$.\\
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- p(x) s(x) + f(x) t(x) &= 1\\
- g(x) [ p(x) s(x) + f(x) t(x)] &= g(x)\\
- g(x) p(x) s(x) + g(x) f(x) t(x) &=
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Por hipotesis sabemos que $ p(x) | f(x) g(x) \entonces f(x) g(x) = p(x) z(x) $
- para algun $ z(x) \in K[x] $.\\
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- g(x) p(x) s(x) + g(x) f(x) t(x) &= g(x) \\
- g(x) p(x) s(x) + p(x) z(x) t(x) &= \\
- p(x) [g(x) s(x) + z(x) t(x) ] &=
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Sea $ \gamma (x) = g(x) s(x) + z(x) t(x)$, claramente $ \gamma (x) \in K[x]$
- de modo que $ g(x) = p(x) \gamma (x) \entonces p(x) | g(x)$ \\
- \\
- ($\regreso$) Supongamos que $ \forall f(x), g(x) \in F[x], p(x) | f(x) \cdot
- g(x)\entonces p(x) | f(x)$. Sean $ a(x),b(x) \in F[x]$ tal que $ p(x) = a(x) b(x) $,
- entonces $ p(x) | a(X) b(x) $. Por hipotesis $ p(x) | a(x)$ o $ p(x)| b(x) $. Supongamos
- que $ p(x) | a(x) \entonces a(x) = p(x) q(x) $ para algun $ q(x) \in F[x]$ , de este modo
- $ p(x) = a(x) b(x) = [p(x) q(x)] b(x) \entonces 1 = q(x) b(x)$, notamos que $ \delta(1) =0$
- de modo que $ 0 = \delta (q(x)b(x)) = \delta (q(x)) + \delta (b(x)) $, por lo tanto
- $ \delta (b(x)) = 0$, por lo tanto tal polinomio es constante , pero como por hipotesis
- $ p(x) = a(x) b(x) $, de modo que $ p(x) $ es irreducible.
- \end{proof}
- \setItemnumber{18}
- \item Determina la multiplicidad de la raíz $\alpha = 1$ en cada uno de los
- siguientes polinomios en $\C[x]$:
- \begin{enumerate}
- \item $f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$
- \polyhornerscheme[x=1]{x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1}
- \polyhornerscheme[x=1]{x^3 - x^2 + x - 1}
- \polyhornerscheme[x=1]{x^2 + 1}
- $\therefore \alpha$ es de multiplicidad $2$.
- \item $g(x) = x^4 - (2-2i)x^3 - 4ix^2 + (2+2i)x - 1$
- \polyhornerscheme[x=1]{x^4 + (-2+2i)x^3 - 4ix^2 + (2+2i)x - 1}
- \polyhornerscheme[x=1]{x^3 +(-1+2i)x^2 + (-1-2i)x + 1}
- \polyhornerscheme[x=1]{x^2 + 2ix - 1}
- $\therefore \alpha$ es de multiplicidad $2$.
- \end{enumerate}
- \setItemnumber{19}
- \item Demuestra que los siguientes enunciados son equivalentes:
- \begin{enumerate}
- \item Todo $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ de grado positivo tiene todas sus raíces
- en $\mathbb{C} .$
- \item Todo $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ de grado positivo tiene alguna de sus raíces
- en $\mathbb{C} .$
- \end{enumerate}
- \begin{proof}
- $(1) \entonces (2)$\\
- Como consecuencia directa de $(1)$ podemos asegurar que $ \exists r \in \C$ tal que
- r es raiz del $ f(x)$.\\
- $(2) \entonces (1) $\\
- Supongamos que $ f(x) \in \C [x] $, con $ gr(f) >0$ tiene alguna raiz en $ \C$
- Por induccion en $ gr(f(x))$.\\
- \textbf{Paso base} \\
- Sea $f(x) a_1 x^1 + a_0$ con $ a_1, a_0 \in \C$\\
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- a_1 x^1 + a_0 = 0 & \syss a_1 x = - a_0 \\
- & \syss x = \frac{a_0}{a_1} \in \C\\
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- De modo que $ f(x) $ tiene todas sus raices en $ \C$ ya que su grado es 1.\\
- \textbf{HI} \\
- Supongamos que $ \forall f(x) \in \C [x]$ con $ gr(f(x) ) = k$, tiene todas sus
- raices en $ \C$
- \textbf{Paso inductivo} \\
- Supongamos que $ f(x) = a_{k+1} x^{k+1} + ...+ a_0 $tiene raiz $ b \in \C $,
- sabemos que $ (x- b) | f(x)$
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) = (x-b) h(x) & \entonces gr(f(x)) = gr(x-b) + gr(h) \\
- & \entonces k+1 = 1 +m \\
- & \entonces k = m \\
- & \entonces gr(h) = k \\
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Por la hipotesis de induccion podemos asegurar que $ h(x)$ tiene k raices en
- $ \C$, de modo que f(x) tiene $ k+1 $ raices.\\
- \end{proof}
- \setItemnumber{20}
- \item Construye un polinomio en $\C[x]$ de grado mínimo que tenga por
- raíz doble a $1$ y como raíces simples a $2$ y $1+i$.
- Buscamos una $f(x)$ tal que:
- $$f(x) = (x-1)^2(x-2)(x-(1+i))$$
- Desarrollando tenemos:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) &= (x^2 - 2x + 1)(x - 2)(x - (1+i)) \\
- &= (x^3-2x^2+x-2x^2+4x-2)(x-(1+i)) \\
- &= (x^3-4x^2+5x-2)(x-(1+i)) \\
- &= x^4-4x^3+5x^2-2x-(1+i)x^3+4(1+i)x^2-5(1+i)x+2(1+i) \\
- &= x^4-(5+i)x^3+(9+4i)x^2-(7+5i)x+(2+i)
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \setItemnumber{21}
- \item Sea $f(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+14 x+26 \in \mathbb{R}[x]$ . Sabiendo que 3 2i es una
- raíz de , encuentra la descomposición de como producto de polinomios
- irreducibles en. Cuál sería la descomposición de como producto de
- irreducibles en ?
- La descomposicion en $ \R$ se obtiene de la siguiente forma:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) &= (x - ( 3 - 2i) q_1 (x) \\
- q_1 (x) &= x^3 + (-1 +2) x^2 + (-4 +4i )x + (-16 + 9i) \\
- &= (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2) \\
- f(x) &= (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2 ) \\
- &= (x^2 -6x + 13)(x^2 +2x +2 )
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Por otra parte la descomposicion en $ \C$ es :
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) &= (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2 ) \\
- &= (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x -( 1+ i)) (x -(1-i))
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \setItemnumber{22}
- \item Utilizando el método de Horner calcula $\sqrt3$ con dos cifras
- decimales.
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- x = \sqrt3 &\entonces x^2 = 3 \\
- &\entonces x^2 - 3 = 0
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Sea $f(x) = x^2-3$. Luego, como $1^2=1$ y $2^2=4 \entonces 1 < \sqrt3
- < 2$
- Evaluando:
- \polyhornerscheme[x=11/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=12/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=13/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=14/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=15/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=16/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=17/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=18/10]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=171/100]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=172/100]{x^2-3}
- \polyhornerscheme[x=174/100]{x^2-3}
- $\therefore \sqrt3\approx1.74$
- \setItemnumber{23}
- \item Sea $f(x)=x^{3}-7 x+7 \in \mathbb{R}[x]$ \\
- \begin{enumerate}
- \item Encuentra la sucesión de Sturm de $f(x)$ \\
- \polylongdiv{x^3 -7x +7 }{3x^2 - 7}
- \\
- \polylongdiv{ 3x^2 - 7}{- \frac{14}{3}x + 7 }
- De este modo tenemos que:
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- x^3 -7x + 7 &= (3x^2 - 7)( \frac{1x}{3}) + ( - \frac{14x}{3} +7) \\
- 3x^2 - 7 &= ( - \frac{14x}{3} +7) ( \frac{9x}{14} - \frac{27}{28} ) +(- \frac{1}{4})
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- De modo que la sucesion de Strum de $ f(x) $es :
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(x) &= x^3 -7x + 7 \\
- f_1 (x) &= 3x^2 -7 \\
- f_2 (x) &= - \frac{14x}{3} +7 \\
- f_3 (x) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- \item Usando el Teorema de Sturm determina el número de raíces reales
- que $ f(x) $tiene entre:
- \begin{enumerate}
- \item $-4 \quad y-3$
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(-4) &= (-4)^3 -7(-4) + 7 = -29 \\
- f_1 (-4) &= (-4)^2 -7 = 41\\
- f_2 (-4) &= - \frac{14(-4)}{3} +7 \approx 25 \\
- f_3 (-4) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- De modo que $ V_f ( -4) = 2$
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(-3) &= (-3)^3 -7(-3) + 7 = 1 \\
- f_1 (x) &= (-3)^2 -7 = 20\\
- f_2 (x) &= - \frac{14(-3)}{3} +7 = 21 \\
- f_3 (x) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Analogamente $ V_f (-3) = 1$, por tanto hay una raiz en este intervalo
- \item $-1 \quad \mathrm{y} \quad 0$
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(-1) &= (-1)^3 -7(-1) + 7 = 13 \\
- f_1 (-1) &= (-1)^2 -7 = - 6 \\
- f_2 (-1) &= - \frac{14(-1)}{3} +7 \approx 11 \\
- f_3 (-1) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- De modo que $ V_f ( -4) = 3 $
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(0) &= (0)^3 -7(0) + 7 = 7 \\
- f_1 (0) &= (0)^2-7 = -7\\
- f_2 (0) &= - \frac{14(0)}{3} +7 = 7 \\
- f_3 (0) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Analogamente $ V_f (-3) = 3$, por tanto no hay raices en este intervalo
- \item $ 1 \mathrm{y} \quad 2$
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(1) &= (1)^3 -7(1) + 7 = 1 \\
- f_1 (1) &= (1)^2 -7 = - 6 \\
- f_2 (1) &= - \frac{14(1)}{3} +7 = \frac{7}{3} \\
- f_3 (1) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- De modo que $ V_f ( -4) = 3 $
- \begin{equation*}
- \begin{aligned}
- f(2) &= (2)^3 -7(2) + 7 = 1 \\
- f_1 (2) &= (2)^2 -7 = 5 \\
- f_2 (2) &= - \frac{14(2)}{3} +7 = - \frac{7}{3} \\
- f_3 (2) &= - \frac{1}{4}
- \end{aligned}
- \end{equation*}
- Analogamente $ V_f (-3) = 1$, por tanto hay dos raices en este intervalo
- \end{enumerate}
- \item Aproximamos las raices en los intervalos
- \begin{enumerate}
- \item $ -4 . -2$.\\
- \polyhornerscheme[x=-39/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-38/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-37/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-36/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-35/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-34/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-33/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-32/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-31/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-30/10]{x^{3}-7 x+7}
- \polyhornerscheme[x=-75/25]{x^{3}-7 x+7}
- De modo que la raiz es $ \approx 3.04$
- \end{enumerate}
- \end{enumerate}
- \end{enumerate}
- \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement