Lab 6 PI V2

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\title{Моделирование эволюции малых искажений сферичности коллапсирующего пузырька}
\author{А.Аганин Т.С.Гусева Т.Ф. Халитова }
\date{November 2019}

\usepackage{natbib}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[utf8]{inputenc} %кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel} %локализация и переносы
\usepackage{graphicx}%Вставка картинок правильная
\usepackage{float}%"Плавающие" картинки
\usepackage{wrapfig}%Обтекание фигур (таблиц, картинок и прочего)
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта

%дальнейшая группа команд определяет размеры полей и отступов
% Параметры страницы: 1см от правого края и 2см от остальных.
\hoffset=0mm
\voffset=0mm
\textwidth=179mm        % ширина текста
\oddsidemargin=-5.5mm   % левое поле 25.4 - 5.4 = 20 мм
\textheight=260mm       % высота текста 297 (A4) - 40
\topmargin=-15.4mm      % верхнее поле (10мм)
\headheight=5mm      % место для колонтитула
\headsep=-10mm          % отступ после колонтитула
\footskip=7.5mm         % отступ до нижнего колонтитула
%конец определения полей и отступов

\begin{document}

\maketitle

\begin{center}
\small Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН. Казань
\end{center}

\begin{flushleft}
    \textbf{Аннотация}. Представлены результаты расчета эволюции малых осесимметричных искажений сферической формы пузырька в ходе его коллапса.
    Использованы полная модель на основе двумерных уравнений газовой динамики (газ и жидкость считаются невязкими нетеплопроводными) и ряд упрощенных моделей. Последние получены из полной модели путем расщепления
    движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение. Различия упрощенных моделей определяются допущениями, используемыми при реализации расщепления.
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
    \textbf{Ключевые слова:} несферическое сжатие пузырька, уравнения газовой динамики
\end{flushleft}

\hrulefill

\section{Введение}
Во многих практических задачах с использованием жидкостей с пузырьками
Во многих практических задачах с использованием жидкостей с пузырьками существенное значение имеет форма пузырьков. Так, сохранение сферичности пузырьков является одним из основных условий в известных экспериментах по однопузырьковой сонолюминесценции [1] и акустической
кавитации дейтерированного ацетона [2]. Эволюция возмущения сферичности пузырька, как правило, описывается на основе расщепления движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение [3–5]. При этом сферическая составляющая описывается одномерными уравнениями газовой динамики, а эволюция возмущения — обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с
коэффициентами — функциями параметров сферического движения.

\footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 05–01–00415–a) и в рамках программы ОЭММПУ РАН}

Решение задачи при таком подходе значительно проще, чем при интегрировании двумерных уравнений газовой динамики. Но в случае, когда стенки
пузырька сходятся со сверхзвуковой скоростью, некоторые упрощающие
предположения, используемые обычно в рамках этого подхода, оказываются неверными. В настоящей работе для такого случая проводится сравнение результатов применения трех моделей эволюции искажения, полученных с использованием расщепления, и результатов прямого численного
моделирования (ПЧМ) на основе двумерных уравнений газовой динамики



\section{Постановка задачи}
Рассматривается сильное сжатие пузырька в жидкости. Пузырек полагается осесимметричным с искажением формы в виде квадрупольной сферической гармоники. Движение газа и жидкости описывается двумерными
уравнениями газовой динамики с уравнениями состояния из [6] для жидкости и из [7] для газа. При построении методики расчета применяются
смешанные эйлерово-лагранжевы (СЭЛ) координаты. Уравнения газовой
динамики в СЭЛ координатах (\xi, \eta) имеют следующий вид:

\begin{equation}

\begin{center}
Q_{\tau} + F_{\xi} + G_{\eta} = S, \quad q = (\rho, \rho u, \rho\upsilon, \rho E)^T,\\
\end{center}

$$
f = \left(
\begin{array}{c}
    \rho(U - U_{\omega})\\
    \rho u(U - U_{\omega}) + p\xi_{x}\\
    \rho u(U - U_{\omega}) + px^{-\beta}\xi_{y}\\
    \rho E(U - U_{\omega}) + pU
\end{array}
\right), \quad  g = \left(
\begin{array}{c}
    \rho(V - V_{\omega})\\
    \rho u(V - V_{\omega}) + p\eta_{x}\\
    \rho u(V - V_{\omega}) + px^{-\beta}\eta_{y}\\
    \rho E(V - V_{\omega}) + pV
\end{array}
\right),
$$

$$
s = \left(
\begin{array}{c}
    0\\
    \frac{\alpha p}{x} + \beta
        \left[
            p \upsilon
                \left(
                    \frac{\upsilon}{x} - y_{\tau}
                \right)
        \right]\\
    \beta
        \left[
            -\frac{\rho}{x}
                \left(
                    u \upsilon - uxy_{\tau} - \upsilon x_{\tau}
                \right)
            + \frac{p}{x}\ctg(y)
        \right]\\
    0
\end{array}
\right)
$$
\end{equation}

\section{Упрощенные математические модели}

Блалблабла

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[scale=0.9]{LatexImg.PNG}
\caption{(a): Кривая 1 - Скорость сжатия}
\end{figure}

\newpage

\section{Результаты расчетов}

\section{Заключение}


\citep{adams1995hitchhiker}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{references}
\end{document}