Lab 6 PI V3

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\title{Моделирование эволюции малых искажений сферичности коллапсирующего пузырька}
\author{А.Аганин Т.С.Гусева Т.Ф. Халитова }
\date{November 2019}

\usepackage{natbib}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[utf8]{inputenc} %кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel} %локализация и переносы
\usepackage{graphicx}%Вставка картинок правильная
\usepackage{float}%"Плавающие" картинки
\usepackage{wrapfig}%Обтекание фигур (таблиц, картинок и прочего)
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта

%дальнейшая группа команд определяет размеры полей и отступов
% Параметры страницы: 1см от правого края и 2см от остальных.
\hoffset=0mm
\voffset=0mm
\textwidth=179mm        % ширина текста
\oddsidemargin=-5.5mm   % левое поле 25.4 - 5.4 = 20 мм
\textheight=260mm       % высота текста 297 (A4) - 40
\topmargin=-15.4mm      % верхнее поле (10мм)
\headheight=5mm      % место для колонтитула
\headsep=-10mm          % отступ после колонтитула
\footskip=7.5mm         % отступ до нижнего колонтитула
%конец определения полей и отступов

\begin{document}

\maketitle

\begin{center}
\small Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН. Казань
\end{center}

\begin{flushleft}
    \textbf{Аннотация}. Представлены результаты расчета эволюции малых осесимметричных искажений сферической формы пузырька в ходе его коллапса.
    Использованы полная модель на основе двумерных уравнений газовой динамики (газ и жидкость считаются невязкими нетеплопроводными) и ряд упрощенных моделей. Последние получены из полной модели путем расщепления
    движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение. Различия упрощенных моделей определяются допущениями, используемыми при реализации расщепления.
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
    \textbf{Ключевые слова:} несферическое сжатие пузырька, уравнения газовой динамики
\end{flushleft}

\hrulefill

\section{Введение}
Во многих практических задачах с использованием жидкостей с пузырьками
Во многих практических задачах с использованием жидкостей с пузырьками существенное значение имеет форма пузырьков. Так, сохранение сферичности пузырьков является одним из основных условий в известных экспериментах по однопузырьковой сонолюминесценции [1] и акустической
кавитации дейтерированного ацетона [2]. Эволюция возмущения сферичности пузырька, как правило, описывается на основе расщепления движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение [3–5]. При этом сферическая составляющая описывается одномерными уравнениями газовой динамики, а эволюция возмущения — обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с
коэффициентами — функциями параметров сферического движения.

\footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 05–01–00415–a) и в рамках программы ОЭММПУ РАН}

Решение задачи при таком подходе значительно проще, чем при интегрировании двумерных уравнений газовой динамики. Но в случае, когда стенки
пузырька сходятся со сверхзвуковой скоростью, некоторые упрощающие
предположения, используемые обычно в рамках этого подхода, оказываются неверными. В настоящей работе для такого случая проводится сравнение результатов применения трех моделей эволюции искажения, полученных с использованием расщепления, и результатов прямого численного
моделирования (ПЧМ) на основе двумерных уравнений газовой динамики



\section{Постановка задачи}
Рассматривается сильное сжатие пузырька в жидкости. Пузырек полагается осесимметричным с искажением формы в виде квадрупольной сферической гармоники. Движение газа и жидкости описывается двумерными
уравнениями газовой динамики с уравнениями состояния из [6] для жидкости и из [7] для газа. При построении методики расчета применяются
смешанные эйлерово-лагранжевы (СЭЛ) координаты. Уравнения газовой
динамики в СЭЛ координатах (\xi, \eta) имеют следующий вид:

\begin{center}
Q_{\tau} + F_{\xi} + G_{\eta} = S, \quad q = (\rho, \rho u, \rho\upsilon, \rho E)^T,\\
\end{center}

$$
f = \left(
\begin{array}{c}
    \rho(U - U_{\omega})\\
    \rho u(U - U_{\omega}) + p\xi_{x}\\
    \rho u(U - U_{\omega}) + px^{-\beta}\xi_{y}\\
    \rho E(U - U_{\omega}) + pU
\end{array}
\right), \quad  g = \left(
\begin{array}{c}
    \rho(V - V_{\omega})\\
    \rho u(V - V_{\omega}) + p\eta_{x}\\
    \rho u(V - V_{\omega}) + px^{-\beta}\eta_{y}\\
    \rho E(V - V_{\omega}) + pV
\end{array}
\right),
$$

$$
s = \left(
\begin{array}{c}
    0\\
    \frac{\alpha p}{x} + \beta
        \left[
            p \upsilon
                \left(
                    \frac{\upsilon}{x} - y_{\tau}
                \right)
        \right]\\
    \beta
        \left[
            -\frac{\rho}{x}
                \left(
                    u \upsilon - uxy_{\tau} - \upsilon x_{\tau}
                \right)
            + \frac{p}{x}\ctg(y)
        \right]\\
    0
\end{array}
\right)
\eqno(1)
$$

Здесь $Q = \sqrt{|h|}q, F = \sqrt{|h|}f,  G = \sqrt{|h|}g, S = \sqrt{|h|}s;$  $\rho$ - плотность x, y —
эйлеровы координаты; u, v — компоненты вектора скорости частицы среды; $u_{\omega}, v_{\omega}$ — компоненты вектора скорости СЭЛ координат; p — давление;
$\varepsilon$ — удельная внутренняя энергия; E = \varepsilon + (u^2 + v^2) / 2, ...............................................

При этом граничные условия имеют вид:
$$
U^{o+} = U^{o-}, \quad p^+ = p^- \quad (U^o = U / \sqrt{\xi_{x}^2 + \xi_{y}^2x^{-2\beta}})
\eqno(2)
$$

Уравнение поверхности пузырька в начальный момент t = 0 задается
следующим образом
...........................................................................\\
$p_{\infty}$ = 15 атм при $R \leq r \leq \infty$; i = 2, $P_2(\theta)=0.25(3\cos2\theta + 1)$

\section{Упрощенные математические модели}
В [3] путем расщепления движения газа и жидкости на сферическую составляющую и ее малое несферическое возмущение получено уравнение
эволюции отклонения от сферической формы пузырька $a_i$
, которое в условиях настоящей работы имеет вид:

$$
\ddot{a_i} + \frac{\dot{3R_i^*}}{R}\dot{a_i} - (i-1)\frac{\ddot{3R_i^*}}{R}a_i = 0,
\eqno(3)
$$

$$
dot{R_i^*} = \frac{\dot{R_i^*}}{3} - \frac{R(u_r^+ + q_{i}u_{r}^-)}{3(1 + q_i)},\\
\eqno(4)
$$

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[scale=1]{LatexImg.PNG}
\caption{ кривая 1 — скорость сжатия, 2 — невозмущенная плотность жидкости,
3 — осредненная плотность газа, 4 — плотность газа около центра пузырька; (б–г):
отклонение от сферической формы при $t_* = 0$, $a_{20} = -1/3мкм, \dot{a_{20}} = 0, t_*$
— момент возникновения возмущения (б); $t_* = 0 $.............Сплошные кривые — ПЧМ, тонкие сплошные —
УМ1, штриховые — УМ2, пунктирные — УМ3}
\end{figure}

\section{Результаты расчетов}
Рассматривается сильное сжатие пузырька, такое, что в конце плотность
газа превышает плотность жидкости (кривые 3 и 2 на Рис. 1(а)). В ходе
сжатия в пузырьке формируется ударная волна. Ее фокусировка в центре
пузырька (коллапс пузырька) отражена финальным скачком кривой 4.
Рассчитаны три варианта возникновения малого начального возмущения сферической формы пузырька. Результаты расчетов приведены на
Рис. 1(б)–(г). В совокупности они отражают характерные особенности развития малого возмущения. Кривые всех упрощенных моделей совпадают
почти до момента коллапса. Различия проявляются, когда сжатие газа в
пузырьке становится существенно неоднородным, а плотность газа — сравнимой с плотностью жидкости $(R/R0 \approx 0.15).$

\section{Заключение}
Представлено сравнение результатов моделирования несферического коллапса осесимметричного пузырька в жидкости с использованием упрощенных моделей работ [3–5] и на основе прямого численного моделирования
В области монотонного изменения отклонения различия между результатами применения упрощенных моделей и ПЧМ монотонно нарастают.
При этом скорость изменения отклонения при ПЧМ оказывается меньше.
В финале стадии сжатия для упрощенной модели с более точными значениями градиентов давления и скорости на поверхности пузырька и для
ПЧМ характерны резкие изменения скорости развития отклонения.


\citep{adams1995hitchhiker}
\citep{Taleyarkhan}
\citep{Aganin}
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{references}
\end{document}