L = m (z'[t]^2)/2 - m g z[t]

D[D[L, z'[t]],t] - D[L,z[t]] == 0

g m + m z''[t] == 0

L = m (x'[t]^2 + y'[t]^2) / 2;
MapThread[Function[{q, v, h}, D[D[L,v],t] - D[L,q] == h],
  {{x[t], y[t]}, {x'[t], y'[t]}, {fx[t], fy[t]}}]

{m x''[t] == fx[t], m y''[t] == fy[t]}

D[exp[t]^2 / 2, exp[t]]

exp[t]

D[Exp[t]^2 / 2, Exp[t]]

General: Exp[t] is not a valid variable.