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- Questions
- Are these systems linear? Time invariant?
- ⦁ y(t) = (x(t))1/2
- Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
- Homogeneide: F(ax) = aF(x),
- Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
- y'(t) = (ax(t))1/2
- y''(t) = a(x(t))1/2
- Como y'(t) é diferente de y''(t), a definição de homogeneidade não é satisfeita, logo, o sistema NÃO é linear.
- Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
- y(t) = Fx(t)
- y(t - T) = Fx(t - T)
- y(t) = (x(t - T))1/2
- y(t - T) = (x(t - T))1/2
- Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
- ⦁ y(t) = x(t)z(t) where z(t) is a known, non-zero signal
- Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
- Homogeneide: F(ax) = aF(x),
- Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
- y'(t) = (ax(t))z(t) = ax(t)z(t)
- y''(t) = ax(t)z(t)
- Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
- Aditividade: F(x + x') = F(x) + F(x')
- Logo, o sistema é linear.
- Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
- y(t) = Fx(t)
- y(t - T) = Fx(t - T)
- ⦁ y (t) = x(at)
- Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
- Homogeneide: F(ax) = aF(x),
- Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
- y'(t) = (ax(at)) = ax(at)
- y''(t) = a(x(at)) = ax(at)
- Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
- Aditividade: F(x + x') = F(x) + F(x')
- Logo, o sistema é linear.
- Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
- y(t) = Fx(t)
- y(t - T) = Fx(t - T)
- y(t) = x(a(t -T))
- y(t -T) = x(a(t-T))
- Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
- ⦁ y(t) = 0
- Trivialmente, o sistema é linear pois o mesmo é uma constante em zero; invariante no tempo pois para qualquer instante T, o valor da saída sempre será zero.
- ⦁ y(t) = x(T - t)
- Para um sistema ser linear, ele deve respeitar as condições de homogeneidade e aditividade:
- Homogeneide: F(ax) = aF(x),
- Sejam y'(t) = F(ax(t)) e y''(t) = aF(x(t)):
- y'(t) = (ax(T - t)) = ax(T - t)
- y''(t) = a(x(T - t)) = ax(T - t)
- Como y'(t) é igual a y''(t), a definição de homogeneidade é atentida, logo, checaremos se a propridade da aditividade é atendida:
- Aditividade: F(x + x') = F(x) + F(x')
- Logo, o sistema é linear.
- Para um sistema ser invariante no tempo, quando a entrada for shiftada em T segundos, a saída também terá que estar defasada em T segundos. Ou seja,
- y(t) = Fx(t)
- y(t - T) = Fx(t - T)
- y(t) = x(T - t - T) = x(-t)
- y(t - T) = x(T - t - T) = x(-t)
- Diante disso, como y(t) = y(t - T), o sistema é invariante no tempo.
- ⦁ A linear system has inverse system FINV. Is FINV linear?
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