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\title{Etude d'un trellis 3D }
\author{MOUHMID Kaoutar \\SHAIMI  Mohamed\\ ZEGHRAOUI Aymane }

\institute{\large{Professeur: \textbf {M.TRI Jalil }\\Département de mécanique }}
\date{}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}{Plan}
\begin{itemize}
\item Introduction
\pause
\item méthodes des élément finis
\pause
\item Résolution sur Maple
\pause
\item Résolution sur Matlab

\end{itemize}

\end{frame}
\begin{frame}{ MOUHMID Kaoutar }
\begin{Huge}
$$INTRODUCTION$$
\end{Huge}


\end{frame}
\begin{frame}{Les treillis}

définissant ce que c'est qu'un treillis :
\textcolor{red}{Un treillis est un ensemble de barre  droites (éléments) reliées entre elles par des rotules (nœuds).
Les liaisons extérieures sont des rotules et des appuis simples.}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{1.png}
\caption{Treillis 3D}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{ Méthode des élément fini }
La méthode des éléments finis consiste à chercher une solution approchée d'un problème en équation à dérivée partielle tout en respectant les conditions aux limites ( Dirichlet -Newmamn-Robin ) \\
 \textbf{Exigences }
 \begin{itemize}
\pause
\item Le problème doit satisfaire un certain nombre d'exigences :
\pause
\item Existence de la solution
\pause
\item Unicité de la solution
\pause
\item Propriétés de convergence
\pause
\item Erreur relative faible ou résidus qui tend vers 0

 \end{itemize}


\end{frame}
\begin{frame}{Etape de calcul }
\textbf{Etape de calcul}
\begin{itemize}
\pause
\item Créer le maillage.
\pause
\item Définir l'inconnu du problème dans chaque élément en respectant la continuité .
\pause
\item Construction de la fonction d'interpolation .
\pause
\item Approximation de la fonction test .
\pause
\item Calcul des matrices et valeurs élémentaires .
\pause
\item Assemblage des matrices et vecteurs élémentaires .
\pause
\item Introduction des conditions aux limites .
\pause
\item Résolution .
\pause
\item Post-traitement des résultats
 \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{matrice de rigidité en 3D }
suite à une série de calcul explicité dans le rapport nous avons obtenu la matrice de rigidité suivante
$$K=\frac{EA}{L}\begin{pmatrix}
                         n_x^2&n_xn_y&n_zn_x&-n_x^2&-n_yn_x&-n_zn_x\\
                          &n_y^2&n_zn_y&-n_xn_y&-n_y^2&-n_zn_y\\
                          &&n_z^2 & -n_xn_z&-n_yn_z&-n_z^2 \\
                         &&&n_x^2&n_xn_y&n_zn_x\\
                         &&&&n_y^2&n_zn_y\\
                         sym.&&&&&n_z^2
\end{pmatrix}
$$
\pause
Avec : \\
$$L^2=(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2+(Z_j-Z_i)^2 $$\\
et: \\

\end{frame}
\begin{frame}{matrice de rigité en 3D}


$$
 \left\{
    \begin{array}{ll}
       n_x \\
       n_y \\
       n_z
    \end{array}
\right\}
= \left\{
    \begin{array}{ll}
      \frac{x_j-x_i}{L}\\
       \frac{y_j-y_i}{L} \\
       \frac{z_j-z_i}{L}
    \end{array}
\right\}
$$
\end{frame}
\begin{frame}{SHAIMI Mohamed}
\begin{Huge}
$$Resolutin ~sur~ maple$$
\end{Huge}

\end{frame}
\begin{frame}{trellis}
nous allons travailler sur ce treillis :

\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.2in]{32.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{maillage}
nous allons commencer par poser les définir du maillage :
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{16.png}
\end{figure}
\end{center}


\begin{itemize}
\item  nombre d'éléments \textbf{NMAI} =44
\pause
\item  nombre de noeuds \textbf{NBN}=16 \pause
\item nombre de noeuds par éléments \textbf{NNPE}=2 \pause
\item nombre de degrés de liberté par noeud \textbf{NDPN}=3\pause
\item    nombre de degrés de liberté \textbf{NDL}=48 \pause
\item nombre de degrés par éléments  \textbf{NDPE}=6
\end{itemize}

\end{frame}
\begin{frame}{table de coordonnés }
ce tableau fourni le coordonnées de chaque noeud dans l'espace
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{17.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{table de connectivité }
nous introduisons la table de connectivité qui nous donne les éléments qui lie chaque doublet de nœuds
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.2in]{18.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{matrice de rigidité élémentaire }
une fois l'initialisation faite on doit maintenant calculer élément par élément la matrice de rigidité élémentaire pour cela on dispose de cette boucle :


\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{19.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{assemblage de matrice}
une fois tout les matrices élémentaire obtenu il faut maintenant calculer la matrice de rigidité global pour cela on dispose de procédé d'assemblage :
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{20.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{assemblage de matrice}
une fois le procédé mis en place en l'applique a notre programme  principale comme suit :
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{21.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Conditions aux limites }
on commence par mettre en place dans notre sous programme un procédé qui  introduit les conditions aux limites :
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{22.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Conditions aux limites }
dans notre programme principale nous allons prendre en compte des conditions aux limites ( encastrement au niveau de la base )
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{23.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{application de la charge }
après avoir initialisé le vecteur force nous allons construire dans notre sous programme le vecteur force .
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{25.png}

\end{figure}
\end{center}


\end{frame}
\begin{frame}{application de la charge }
dans notre programme principal nous allons faire appel au sous programme en précisant l'intensité de la force et sa direction et le nœuds ou elle est appliqué
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{26.png}

\end{figure}
\end{center}


\end{frame}
\begin{frame}{vecteur déformé }
nous allons commencer par le procédé pour le calcul du vecteur déformé
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{33.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Tableau des déplacement }
après la mise en place du procédé pour le calcul du vecteur déformé nous allons l'appliquer a notre programme principale pour obtenir notre tableau des déplacement
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{34.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Résultat}
nous allons introduire le procédé pour l'affichage de la structure déformé
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{29.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Résultat}
enfin on affiche la structure déformé \begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{37.png}
\pause
\includegraphics[width=1.5in]{30.png}
\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{ZEGHRAOUI Aymane }
\begin{Huge}
$$Resolution~ sur ~matlab$$
\end{Huge}


\end{frame}
\begin{frame}{Caractèristiques du maillage }
on saute la partie ou on donne les caractéristique du maillage  et on s'attaque directement a la table de coordonné le programme se chargera de calculer le nombre NDL , NMAI ...
 \begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{7.png}\includegraphics[width=1in]{8.png}\includegraphics[width=0.7in]{9.png}\includegraphics[width=0.3in]{10.png}
\end{figure}
 \end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Conditions aux limites}
\begin{itemize}


\item on donne les valeur de E , A.\pause
\item le nombre de degrés de liberté de chaque nœuds .  \pause
\item le point d'application des forces en précisant la direction . \pause
\item on déclare les nœuds libre
\pause
\item on initialise les matrices
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Conditions aux limites }
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4.5in]{11.png}\includegraphics[width=1in]{12.png}
\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{calcule de la matrice de rigidité }
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{13.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{solution}
on cherche a trouver le déplacement des nœuds libre noté isol
\begin{Large}
$$d(isol)=K(isol,isol)/f(isol)$$
\end{Large}

\end{frame}
\begin{frame}{Résultat}
on introduit une dernière boucle qui vas calculer la position des points après la déformation
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{14.png}

\end{figure}
\end{center}

\end{frame}
\begin{frame}{Résultat}
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4in]{15.png}

\end{figure}
\end{center}
\end{frame}
\end{document}