EDC 19/04/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)

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  Tabela de Transformadas Notáveis até agora:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
3)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
4)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
5)    y'           | s L(y) - y(0)
6)    sen(at)      | a/(s²+a²)
7)    cos(at)      | s/(s²+a²)
8)    y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))

// Lembrando que eu não garanto que a ordem dos itens nessa tabela seja identica à da tabela do professor.

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  A aula de hoje começou com a exemplificação da solução de uma EDO de 2° ordem com g(t) = U5(t) - U20(t)

  Exercicio 1:

    { 2 y'' + y' + 2 y = U5(t) - U20(t)
    { y (0) = 0
    { y'(0) = 0

  Esse exercicio usa de tudo que aprendemos até agora, incluindo a linha 8 da tabela, tranformada de Uc(t), método das equações parciais, etc =].

  Eu cheguei atrazado então não vou tentar copiar o exercicio desde o inicio senão fico para traz.

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  (essa exercicio é um pedaço do exercicio de cima que comecei a copiar no meio)

  Exercicio de Frações Parciais:

    1/(s ( 2s² + s + 2 ) )

  O delta da eq. de 2° grau é negativo, entao não da para fatorar mais esse polinomio.

  Como fazer então?

  Seguindo a fórmula:

    f(x)/P(x) = p(x)/F1(x) + g(x)/F2(x)

    F1 = s
    F2 = 2s² + s + 2

  Vamos chutar:

    p(x) = A
    g(x) = Bs+C

  // Chutei assim porque dessa forma p tem um grau a menos que seu denominador, e o mesmo para g.
  // é um dos macetes que citei.

  A equação fica:

    1/(s ( 2s² + s + 2)) = A/s   +   (Bs + C)/(2s² + s + 2)

  Agora simplificando o formato para cortar os denominadores:

    1/(s ( 2s² + s + 2)) = (2 A s² + A s + 2 A + B s² + C s )/ (s (2s² + s + 2))

  Cortando os denominadores:

    1 = 2 A s² + A s + 2 A + B s² + C s

  Separando a equação por grau temos o sistema:

    { 2A + B = 0
    {  A + C = 0
    { 2A     = 1

  Resolvendo temos:

    a = 1/2, b = -1, c = -1/2

  A resposta então fica:

  1/(s (2s² + s + 2)) = 1/2 * 1/s + (-1 s - 1/2)/(2s² + s + 2)

  A transformada inversa de 1/2 1/s fica fácil né?

  Agora o segundo fator é mais complicado como fazer?

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  METODO DE COMPLETAR QUADRADOS.

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  Já que precisamos de simplificar a fração:

    (-1 s - 1/2) / (2s² + s + 2)

  Notem que dividindo encima e e embaixo por 2,
  e com um pouco de algebra podemos re-escrever o denominador assim:

    s² + s/2 + (1/4)² - (1/4)² + 1

  Agora notem que o lado esquerdo vira um quadrado notável e fica:

    (s+1/4)² + 15/16

  Então fazemos aparecer "1/4" no numerador também, como?

  Separando o 1/2 que tem lá em uma soma de 1/4 + 1/4

  Então quebra-se a fração em duas frações uma delas com o numerador 1/4 e a outra com o numerador s + 1/4
  E obviamente com os denominadores iguais.

  A fração completa vai ficar assim:

  Primeiro termo:

    1/2 (s+1/4)/((s+1/4)² + 15/16)

  Segundo termo:

    1/2 (1/4)/((s+1/4)² + 15/16)

  ou simplificando o segundo termo:

    1/8 1/((s+1/4)² + 15/16)

  Se chamarmos cada um desses termos de H3(x) e H4(x) respectivamente

  E dissermos que x = s + 1/4?

  Veja que interessante nossa função fica:

    H3(s+1/4) = H3(x) = x/(x² + 15/16)    *    1/2

    H4(s+1/4) = H4(x) = 1/(x² + 15/16)    *    1/8

  Agora podemos consultar a nossa tabela:

       f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
3)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
4)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
5)    y'           | s L(y) - y(0)
6)    sen(at)      | a/(s²+a²)
7)    cos(at)      | s/(s²+a²)
8)    y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))

  Calculando a inversa de laplace notamos que:

    L⁻¹(H3) = cos(raiz(15/16)t)     *    1/2

    L⁻¹(H4) = sen(raiz(15/16)t)     *    1/8 * 16/15

  Juntando isso com os outros calculos encontramos a resposta final.

  A menssagem do exercicio é: Nem sempre os valores estão tabelados certinhos.
  E para coloca-los no formato da tabela é preciso experiencia, ou seja é preciso fazer exercicios.

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CONCEITO:
  Impulso é a integral da força pelo tempo.
  Isso seria como somar a "quantidade" total de força que voce aplica a um objeto em um determinado periodo de tempo.

  Vamos falar mais abaixo de Impulso unitário.

  Na física nos referimos a ele como delta de dirac.

  Vou usar o caractere ð (altGr + d) para me referir a ele =], já que nao tenho a intenção de escrever um nome desse tamanho.
  Vou colocar isso no inicio de toda aula, para ficar fácil de lembrar.

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  Impulso unitário ou ð (delta de dirac)

  é quando voce tem um impulso grande em um intervalo de tempo que tende a 0.

  Ou seja, seja um impulso de 10 s com força 1.

  Ele teria valor 10.

  Agora suponha que eu mantenho o impulso com força 10, em um intervalo de tempo que tende a 0. Seria como ter uma força gigantesca em um intervalo de tempo mínusculo.

  Se esse impulso unitário ocorrer nos arredores do ponto t0, seria como dizer que voce tem uma função ð(t-t0).

  Assim ð é uma função que se anula em todos os pontos menos nesse pequeno intervalo. O professor usou a letra "tau" expressar o tamanho desses arredores do ponto t0.

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CONCEITO:
  Delta de dirac no ponto t0 ( ð(t-t0) ) é definido como a função para qual a integral de -inf até +inf:

    int (-inf, +inf) ð(t-t0) dt

  É igual a 1.

  E ela só tem valor diferente de 0 no intervalo +- Tau ao redor do ponto t0.

  Só faz sentido falar do delta de dirac dentro do sinal da integral e com o lim Tau->0
  porque ele não é propriamente uma função.

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  Exercicios:

  Pag 251 - 8, 9, 11, 12, 22, 23, 25, 37.
  Pag 257 - 5, 6, 11, 12, 14, 17, 23, 24, 25, 32, 33.
  Pag 263 - 3, 5.

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  // fim da aula!