Integrate[(1 - Cos[t])^2 Sqrt[1 - m Cos[t]^2], t] // FullSimplify // InputForm

-(-12*(-1 + m)*Sqrt[m]*ArcTanh[(Sqrt[2]*Sqrt[m]*Sin[t])/Sqrt[2 - m - m*Cos[2*t]]]*
Sqrt[2 - m - m*Cos[2*t]] + 4*(-1 + m)*(-1 + 5*m)*Sqrt[(-2 + m + m*Cos[2*t])/(-1 + m)]*
EllipticE[t, m/(-1 + m)] + 4*(-1 + m)*Sqrt[(-2 + m + m*Cos[2*t])/(-1 + m)]*
EllipticF[t, m/(-1 + m)] + Sqrt[2]*m*(-2 + m + m*Cos[2*t])*(-6*Sin[t] + Sin[2*t]))/
  (12*m*Sqrt[2 - m - m*Cos[2*t]])