\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{relsize}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{lmodern}
\selectlanguage{polish}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1cm]{geometry}
\newtheorem{tw}{Twierdzenie}
\newtheorem{prz}{Przykład}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{Definicja}
\newtheorem{fact}{Fakt}
\begin{document}
\title{Pierścienie}
\author{Dariusz Kwiatkowski}

\maketitle

\begin{defi}
        Niech $P \neq \emptyset$;
        $+:P \times P \rightarrow P$;
        $ *: P \times P \rightarrow P$\\
        Pierścieniem nazywamy strukturę $(P, +, *)$, taką że:
        \begin{itemize}
        \item $(P, +)$ jest grupą abelową, czyli:
        \begin{enumerate}
        \item $+$ jest łączne
        \item $+$ jest przemienne
        \item $+$ posiada element neutralny
        \item każdy element w grupie posiada element odwrotny
        \end{enumerate}
        \item Dodawanie jest rodzielne względem mnożenia:\\
        $\forall_{x, y, z} (x + y)*z = x*y + y*z$\\
        $\forall_{x, y, z} x*(y + z) = x*y + x*z$

        \item jeżeli $*$ jest działaniem z elementem neutralnym to mówimy, że pierścień jest z jedynką
        \item jeżeli działanie mnożenia jest przemienne to mówimy, że pierścień jest przemienny

        \end{itemize}
\end{defi}

\begin{fact}
$1=0 \Leftrightarrow$ P jest zbiorem jednoelementowym
\end{fact}
\begin{fact}
$0$ jest jedynym elementem neutalnym dodawania
\end{fact}
\begin{fact}
$ \forall_{x} x*0 = 0$
\end{fact}
\begin{fact}
 Każde ciało jest pierścieniem
\end{fact}

\begin{defi}
Element $p \in P$ nazywamy:
\begin{itemize}
\item odwracalnym, jeśli: $\exists_{s \in P} p * s = 1$
\item dzielnikiem zera, jeśli: $\exists_{s \in P \wedge s \neq 0 } p * s = 0$
\item nilpotentnym, jeśli: $\exists_{n \geq 1} p^n = 0$
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{tw}
Jeżeli $a$ jest nilpotentem, a $p$ elementem odwracalnym to $a + p$ też jest elementem odwracalnym\\\\
\textbf{Dowód:}
\begin{itemize}
\item Jeżeli $a$ jest nilpotentem, to $\forall_{p \in P} a * p$ też jest nilpotentem
\item Jeżeli $a$ jest nilpotentem, to $a + 1$ jest elementem odwracalnym:
$a + 1 = 1 - (-a)$\\
$(1 - (-a))*((-a)^{n-1} + (-a)^{n-2} + ... + 1 ) = 1 - (-a)^n = 1$\\
Więc s = $((-a)^{n-1} + (-a)^{n-2} + ... + 1 )$ jest elementem odwrotnym do $a+1$
\item $a$ - element nilpotentny, $p$ - element odwracalny \\
$a+p = p*(p^-1*a + 1)$ p jest elementem odwracalnym, $(p^-1*a + 1)$ jest elementem odwracalnym\\
Iloczyn elementów odwracalnych jest elementem odwracalnym
\end{itemize}
\end{tw}


\end{document}