EDC 29/03/2012

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  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).

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  O professor Gastão esta de viagem, então um professor temporário esta nos dando essa e a próxima aula.
  (eu devia ter perguntado o nome dele :D, esqueci... =P)

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  Método da Variação dos parâmetros.

  Para EDOs da forma:

    (1) y'' + p y' + q y = g

  esse método é semelhante ao que aprendemos na ultima aula porém mais geral.

  Na ultima aula estudamos como chutar uma solução para a EDO e testar por substituição para quando g(t) tinha a forma de seno, cosseno, polinomial, exponencial etc.

  Nessa aula vamos expandir esse método para um metodo mais geral aceitando qualquer valor de g(t) onde ele seja continuo.

  Lembram-se da solução geral das EDOs homogeneas?

    y3 = c1 y1 + c2 y2

  Vamos tentar um método analogo a este, onde sabendo as soluções y1 e y2 da homogenea associada determinamos duas novas funções da forma:

    x1 = m1(t) y1(t)
    x2 = m2(t) y2(t)

  E onde x3 sendo a solução da equação não homogenea seria:

    (2) x3 = x1(t) + x2(t)

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  Se eu substituir (2) em (1) (obviamente substituindo x3 em y)

  Tenho (atravez de uma algebra):

    [m1'y1 + m2'y2]' + [m1'y1 + m2'y2] + [m1' y1' + m2' y2'] = g

  Já que eu posso e scolher os valores de m1 e m2, vamos determinar que o valor escolhido é tal que:

    m1'y1 + m2'y2 = 0

  Isso simplifica nossa vida porque a formula acima fica bem mais simples:

    m1' y1' + m2' y2' = g

  Temos agora um sistema com duas equações:

    { m1'y1  + m2'y2  = 0
    { m1'y1' + m2'y2' = g

  Na forma matricial fica:

    | y1  y2 | | m1'|   | 0 |
    | y1' y2'| | m2'| = | g |

  // (Note que a matriz da esquerda é a mesma matriz da qual nós tiramos o determinante no wronskiano)

  Resolvendo o sistema temos:

    m1(t) = - int y2 g /( y1 y2' - y1' y2 ) dt + c1
    m2(t) =   int y1 g /( y1 y2' - y1' y2 ) dt + c2

  Lembrando da formula que soluciona a não homogenea:

    y3 = m1 y1 + m2 y2

  Subtituindo tenho:

    y3 = - y1 int y2 g /( y1 y2' - y1' y2 ) dt + y2 int y1 g /( y1 y2' - y1' y2 ) dt + c2

  E essa é uma solução particular da não-homogenea.

  Agora note um macete para se encontrar a geral da não-homogenea.

  Se tenho yh sendo a sol. geral da homogenea e somo com y3 também será solução da não-homogenea

  O motivo é que é quase como se eu estivesse somando "0" já que quando a substitui-se na EDO original,
  os termos que são solução da homogenea vão se anular mutuamente =P.

  Assim  perceba que posso escrever uma solução mais geral da não-homogenea na forma:

    Y3 = yh + y3 = [c1 y1 + c2 y2] + - y1 int y2 g /( y1 y2' - y1' y2 ) dt + y2 int y1 g /( y1 y2' - y1' y2 ) dt + c2

  Por fim note que (y1 y2' - y1' y2) é a solução do Wronskiano =P.
  As vezes voce pode ver essa mesma formula acima escrita na forma:

    Y3 = yh + y3 = [c1 y1 + c2 y2] + - y1 int y2 g / W(y1, y2) dt + y2 int y1 g / W(y1, y2) dt + c2

  Que é a mesma coisa onde W(X, Y) indica o wronskiano entre as soluções X e Y, só uma substituição.

  E assim está explicado o método de variação de parametros para se encontrar solução para EDOs Linares de 2° Ordem, não-homogeneas =].

  Então note que a idéia é básicamente solucionar os valores de m1 e m2 e já se tem a solução geral =].
  O problema mesmo é só essas duas integrais.

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  Seguiu-se um exercicio, não anotei, vou prestar atenção na aula pra alcançar o professor.

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  Exercicio:

  Seja uma bolinha de massa m pendurada em uam massa de coeficiente elastico k:

  No ponto de equilibrio temos as seguintes forças:

  A força da gravidade Fg = m g
  A força da mola      Fm = k l
  onde l é a distensão da mola em reação ao peso da bolinha.

  E sabemos que como isso é um ponto de equilibrio as duas forças devem ser iguais:

    Fm  = Fg
    m g = k l

  Agora considere que puxamos a bolinha para baixo uma distancia s, para forçar a mola a oscilar.

  A nova força da mola é:

    Fm = k ( l + s )

  Temos agora também a resistencia seja do ar ou qualquer coisa que amortece o movimento:

    Fa (t) = -ð s' (t)

  Se a é a aceleração sabemos que s'' é = a (a variação da distancia é a velocidade, a variação da velocidade é aceleração)

  Assim podemos cálcular que a força de frenagem R é:

    R = m a = m s''(t) = w + Fm + Fa + Força_Externa_Qualquer

  Ou simplificando e chamando a força externa de F temos:

    m s'' = w + Fm + Fa + F

  Fazendo as substituições adequadas de Fm e Fa e colocando a equação no formato:

    y'' +  p y' + q y = g

  Temos:

    m s'' + ð s' + k s = F(t)

  Note que pra ficar perfeitamente no formato teriamos de dividir tudo por m, mas deu pra entender a idéia.

  É sobre esse sistema massa-mola que vamos estudar.

  Normalmente teremos condições iniciais da forma:

    S(0) = S0, S'(0) = V0

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  Agora um exercicio de verdade com base no modelo acima:

  Vibrações Livres não Amortecidas

  Note que o titulo diz que é Livre => F(t) = 0, e que é não amortecido => ð = 0

  =], agora podemos começar a trablhar já sabendo que o formato da EDO é:

    m s'' + 0 s' + k s = 0

  Uma EDO homogenea e com sem o termo s':

    m s'' + k s = 0

  A solução para essa EDO é feita pelo método da equação caracteristica:

  Supondo e^(rt) como solução vamos encontrar a equação:

    m r² + k = 0

  E é fácil ver que as duas raizes de r são: +- raiz( k/m )

  E portanto as soluções y1 e y2 são:

    y1 = e^( raiz(k/m) t) e y2 = e^( -raiz(k/m) t)

  Sendo a sol. Geral:

  y3 = c1 e^( raiz(k/m) t) + c2 e^(-raiz(k/m) t)

  O professor falou sobre como entender as soluções na forma de senos e cossenos.
  Explicou como o cos(r t - C)  seria entendido de forma que quanto maior r menor
  o periodo da oscilação, e que C causa apenas um deslocamento no eixo x dessa vibração
  // Esse C acho que era uma variável conhecia como ð ou k mas eu não copiei a tempo =P

  r = frequencia natural

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  Seguiu um outro exemplo com uma vibração livre amortecida (ou seja ð != 0, mas F ainda = 0)

  Dessa vez ao descobrirmos as raizes da eq. caracteristica tivemos de considerar os 3 casos:

    <delta> > 0
    <delta> = 0
    <delta> < 0

  O professor mostrou que independente do caso, a oscilação s tende a 0 quando t tende a infinito, o que é bem o esperado se pensarmos bem.

  Nesse exemplo o professor mostrou que quando há amortecimento o valor da "frequencia natural" acaba por ser um pouco diferente da frequencia natural
  E chamamos ela então de:

    µ = quase frequencia

  e com base nela podemos calcular o periodo equivalente:

    T = 2 pi/µ = quase periodo

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  No terceiro exemplo ele mostrou Vibrações Forçadas (F(t) != 0) com amortecimento (ð!=0)

  Primeiramente teremos de solucionar um problema sem força externa ou seja a homogenea associada.

    m s'' + ð s' + k s = 0

  Lembrando do formato da solução geral das não homogeneas:

    s(t) = [c1 s1 + c2 s2] + A cos (w t) + B sen (w t)

  a parte da esquerda é a solução da homogenea, que já resolvemos no último exercicio.

  Vamos estudar o efeito do resto da equação no movimento.

  Quando a frequencia dessa parte da equação bate com a frequencia natural do seu sistema e o amortecimento é baixo,
  voce aumenta a amplitude da vibração até a mola quebrar.

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  // Fim da aula
  // Terça é aula de exercicios.