API tools faq
paste
Advertisement
TrickmanOff

HW

TrickmanOff
Dec 14th, 2020
1,693
0
Never
Add comment
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 21.70 KB | None | 0 0
raw download clone embed print report
  1. \documentclass[12pt]{article}
  2.  
  3. \usepackage[left=2cm,right=2cm,
  4. top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
  5.  
  6. \usepackage[utf8]{inputenc}
  7. \usepackage[russian]{babel}
  8.  
  9. \usepackage{chngcntr}
  10. \usepackage{amsmath}
  11. \usepackage{mathtools}
  12. \usepackage{amssymb}
  13.  
  14. \usepackage{graphicx}
  15. \graphicspath{ {./images/} }
  16.  
  17. \usepackage{ dsfont }
  18.  
  19. \usepackage{wrapfig}
  20. \usepackage{framed}
  21.  
  22. \usepackage{mdframed}
  23.  
  24. %for inserting pdf
  25. \usepackage{pdfpages}
  26.  
  27. %\usepackage{MnSymbol,wasysym}
  28.  
  29. \usepackage{mathtools}
  30. \DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
  31. \DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
  32.  
  33. \newcommand{\eps}{\varepsilon}
  34. \newcommand{\lrarrow}{\Leftrightarrow}
  35. \newcommand{\rarrow}{\Rightarrow}
  36.  
  37. \newcommand{\ans}{\textbf{Ответ: }}
  38. \newcommand{\proofend}{%
  39.     \begin{flushright}%
  40.         $\blacksquare$%
  41.     \end{flushright}%
  42. }
  43.  
  44. \newcounter{solution}
  45.  
  46. \newcommand{\solution}[1]{%
  47. \stepcounter{solution}%
  48. \paragraph{#1)}%
  49. }
  50.  
  51. \linespread{1.4}
  52.  
  53. \counterwithin*{equation}{solution}
  54.  
  55. \newcommand{\osm}{%
  56. \bar{o}
  57. }
  58.  
  59. \newcommand{\obg}{%
  60. \underline{O}
  61. }
  62.  
  63. \usepackage{wasysym}
  64.  
  65. \begin{document}
  66.     \begin{tabular}{p{0.5\textwidth} p{0.5\textwidth}}
  67.         \begin{flushleft}\bf{ПМИ-203-2 Егоров Егор}\end{flushleft} & \begin{flushright}11/12/2020\end{flushright}
  68.     \end{tabular}
  69.  
  70.     \begin{center}
  71.         \textbf{!!!НОВОГОДНЕЕ ДЗ!!!}
  72.     \end{center}
  73.  
  74.     \solution{10b}
  75.     {
  76.     \[
  77.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos (\sin x) - \sqrt{1 - x^2 + x^4}}{x^4}
  78.     \]
  79.  
  80.     \begin{flalign*}
  81.         &\cos (\sin x) =
  82.         %
  83.         \lim_{x \to 0} \cos \left(  x - \dfrac{x^3}{3!} + \osm(x^4) \right) =\\=
  84.         %
  85.         &1 - \dfrac{\left (x - \dfrac{x^3}{3!} + \osm(x^4) \right)^2}{2!}
  86.         + \dfrac{\left (x - \dfrac{x^3}{3!} + \osm(x^4) \right)^4}{4!}
  87.         + \osm\left(\left (x - \dfrac{x^3}{3!} + \osm(x^4) \right)^5 \right)
  88.         =\\=
  89.         %
  90.         &
  91.         1 - \dfrac{x^2 - \dfrac{2x^4}{3!} + \osm(x^4)}{2} +
  92.         \dfrac{x^4 + \osm(x^4)}{24} +
  93.         \osm(x^4) =
  94.         %
  95.         1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{3!} + \osm(x^4) + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4) + \osm(x^4)
  96.         =\\=
  97.         %
  98.         &
  99.         1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4) =
  100.         %
  101.         1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \osm(x^4)
  102.     \end{flalign*}
  103.  
  104.     \begin{flalign*}
  105.         &\sqrt{1 - x^2 + x^4} =
  106.         %
  107.         (1 - x^2 + x^4)^{\tfrac{1}{2}} =
  108.         %
  109.         1 + \dfrac{1}{2}(-x^2 + x^4) + \dfrac{1}{2!} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - 1 \right)(-x^2 + x^4)^2 + \osm \left((-x^2 + x^4)^2\right) =\\=
  110.         %
  111.         &1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{1}{8}(x^4 + \osm(x^4)) + \osm(x^4) =
  112.         %
  113.         1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \osm(x^4) =
  114.         %
  115.         1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3x^4}{8} + \osm(x^4)
  116.     \end{flalign*}
  117.  
  118.     \begin{flalign*}
  119.         &\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos (\sin x) - \sqrt{1 - x^2 + x^4}}{x^4} =
  120.         %
  121.         \lim_{x \to 0} \dfrac{
  122.         1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \osm(x^4)
  123.         - 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{3x^4}{8} - \osm(x^4)
  124.         }{x^4} =\\=
  125.         %
  126.         &\lim_{x \to 0} \dfrac{ - \dfrac{4x^4}{24} + \osm(x^4)}{x^4} =
  127.         %
  128.         \lim_{x \to 0} \dfrac{ - \dfrac{4}{24} + \osm(1)}{1} =
  129.         %
  130.         -\dfrac{1}{6}
  131.     \end{flalign*}
  132.  
  133.     \ans $-\dfrac{1}{6}$
  134.     }
  135.  
  136.     \newpage
  137.  
  138.     \solution{10c}
  139.     {
  140.     \[
  141.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \tfrac{\sin x}{x} + e^{x^2/6} - 1}
  142.     {\ln \cos x + \sqrt{1 + x^2} - 1}
  143.     \]
  144.  
  145.     \begin{flalign*}
  146.         &\ln \cos x = \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4) \right) = \\=
  147.         %
  148.         &- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4) -
  149.         \dfrac{1}{2} \cdot \left( - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4)  \right)^2
  150.         + \osm \left( \left( - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4)  \right)^2 \right) =\\=
  151.         %
  152.         &- \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \osm(x^4) -
  153.         \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x^4}{4} + \osm(x^4) \right) + \osm(x^4) =
  154.         %
  155.         - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^4}{8} + \osm(x^4) =
  156.         %
  157.         - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} + \osm(x^4)
  158.     \end{flalign*}
  159.  
  160.     \begin{flalign*}
  161.         &\sqrt{1 + x^2} =
  162.         %
  163.         1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2!} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - 1 \right)x^4 + \osm(x^4) =
  164.         %
  165.         1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \osm(x^4)
  166.     \end{flalign*}
  167.  
  168.     \begin{flalign*}
  169.         &\ln \dfrac{\sin x}{x} =
  170.         %
  171.         \ln \dfrac{x - x^3/6 + x^5/120 + \osm(x^6)}{x} =
  172.         %
  173.         \ln \left(  1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + \osm(x^51)) \right) =\\=
  174.         %
  175.         &- \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + \osm(x^4) -
  176.         \dfrac{1}{2} \cdot \left( - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + \osm(x^4) \right)^2 +
  177.         \osm \left( \left( - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + \osm(x^4) \right)^2  \right) =\\=
  178.         %
  179.         &- \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} + \osm(x^4) -
  180.         \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x^4}{36} + \osm(x^4) \right) +
  181.         \osm(x^4) =
  182.         %
  183.         - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \dfrac{x^4}{72} + \osm(x^4) =\\=
  184.         %
  185.         &-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} + \osm(x^4)
  186.     \end{flalign*}
  187.  
  188.     \[
  189.         e^{x^2/6} =
  190.         %
  191.         1 + \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x^4}{36} + \osm(x^4) =
  192.         %
  193.         1 + \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{72} + \osm(x^4)
  194.     \]
  195.    
  196.     \begin{flalign*}
  197.         &\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \tfrac{\sin x}{x} + e^{x^2/6} - 1}
  198.         {\ln \cos x + \sqrt{1 + x^2} - 1} =
  199.         %
  200.         \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} + \osm(x^4) + 1 + \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{72} + \osm(x^4) - 1}
  201.         {- \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} + \osm(x^4)  + 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \osm(x^4) - 1} =\\=
  202.         %
  203.         &\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{120} + \osm(x^4)}
  204.         {-\dfrac{5x^4}{24} + \osm(x^4)} =
  205.         %
  206.         \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{120} + \osm(1)}
  207.         {-\dfrac{5}{24} + \osm(1)} =
  208.         %
  209.         - \dfrac{1}{120} \cdot \dfrac{24}{5} =
  210.         %
  211.         -\dfrac{1}{25}
  212.     \end{flalign*}
  213.  
  214.     \ans $-\dfrac{1}{25}$
  215.     }
  216.    
  217.     \solution{6f}
  218.     {
  219.     \begin{center}
  220.         Найти производную и дифференциал функции:
  221.     \end{center}
  222.     \[
  223.     f(x) = x^{a^a} + a^{x^a} + a^{a^x} \quad (a > 0)
  224.     \]
  225.    
  226.     \begin{enumerate}
  227.         \item $x^{a^a}$
  228.         \[
  229.         (x^{a^a})' = a^a x^{a^a - 1}
  230.         \]
  231.    
  232.         \item $a^{x^a}$
  233.         \begin{flalign*}
  234.         s(x) &= x^a \quad s'(x) = ax^{a-1}\\
  235.         g(x) &= a^x \quad g'(x) = \ln a \cdot a^x
  236.         \end{flalign*}
  237.    
  238.         $a^{x^a} = g(s(x))$
  239.         \[
  240.         (g(s))'(x) = g'(s(x)) \cdot s'(x) =
  241.         %
  242.         \ln a \cdot a^{x^a} \cdot ax^{a-1} =
  243.         %
  244.         a^{x^a + 1}x^{a-1} \ln a
  245.         \]
  246.  
  247.         \item $a^{a^x}$
  248.         \[
  249.         g(x) = a^x \quad g'(x) = a^x \ln a
  250.         \]
  251.        
  252.         $a^{a^x} = g(g(x))$
  253.         \[
  254.         (g(g))'(x) = g'(g(x))\cdot g'(x) =
  255.         %
  256.         a^{a^x} \ln a \cdot a^x \ln a =
  257.         %
  258.         a^{a^x + x}\ln^2 a
  259.         \]
  260.     \end{enumerate}
  261.  
  262.     Тогда (\ans)
  263.     \[
  264.     f'(x) = a^a x^{a^a - 1} + a^{x^a + 1}x^{a-1} \ln a + a^{a^x + x}\ln^2 a
  265.     \]
  266.     \[
  267.     df = \left( a^a x^{a^a - 1} + a^{x^a + 1}x^{a-1} \ln a + a^{a^x + x}\ln^2 a \right)dx
  268.     \]
  269.     }
  270.  
  271.     \solution{6i}
  272.     {
  273.     \begin{center}
  274.         Найти производную и дифференциал функции:
  275.     \end{center}
  276.     \[
  277.     f(x) = (1 + x)^{1/x}
  278.     \]
  279.    
  280.     $(1 + x)^{1 / x} = e^{(\ln (1 + x) ) / x} $
  281.    
  282.     \begin{gather*}
  283.     t(x) = \dfrac{\ln (1 + x) } {x}\\
  284.     t'(a) = \dfrac{(\ln(1 + x))'(a) \cdot a - \ln(1 + a) \cdot (x)'(a)}{a^2} =
  285.     %
  286.     \dfrac{\dfrac{1}{1 + a} \cdot a - \ln(1+a)}{a^2} =
  287.     %
  288.     \dfrac{1}{(1+a)a} - \dfrac{\ln(1+a)}{a^2}
  289.     \end{gather*}
  290.  
  291.     \[
  292.     g(x) = e^x \quad g'(a) = e^a
  293.     \]
  294.    
  295.     $(1 + x)^{1 / x} = e^{(\ln (1 + x) ) / x} = g(t(x))$
  296.    
  297.     \[
  298.     (g(t(x)))'(a) = g'(t(a)) \cdot t'(a) = e^{\ln(1+a)/a} \cdot
  299.     \left( \dfrac{1}{(1+a)a} - \dfrac{\ln(1+a)}{a^2} \right) =
  300.     (1+a)^{1 / a} \cdot
  301.     \left( \dfrac{1}{(1+a)a} - \dfrac{\ln(1+a)}{a^2} \right)
  302.     \]
  303.    
  304.     Тогда (\ans)
  305.     \[
  306.     f'(a) = (1+a)^{1 / a} \cdot
  307.     \left( \dfrac{1}{(1+a)a} - \dfrac{\ln(1+a)}{a^2} \right)
  308.     \]
  309.     \[
  310.     df = (1+a)^{1 / a} \cdot
  311.     \left( \dfrac{1}{(1+a)a} - \dfrac{\ln(1+a)}{a^2} \right)dx
  312.     \]
  313.     }
  314.  
  315.     \solution{7c}
  316.     {
  317.     \begin{center}
  318.         Выразить дифференциал функции $f$ через $du$ и $dv$:
  319.     \end{center}
  320.     \[
  321.     f = \dfrac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}
  322.     \]
  323.     \begin{align*}
  324.         &df = d\left( \dfrac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \right) =
  325.         %
  326.         \left\{ \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)' =  \left( x^{-1/2} \right)' =
  327.         -\dfrac{1}{2} x^{-3/2} = -\dfrac{1}{2x^{3/2}}, \text{ дифференциал сложной функции} \right\} =\\=
  328.         %
  329.         &-\dfrac{1}{2(u^2 + v^2)^{3/2}} \cdot d(u^2 + v^2) =
  330.         %
  331.         -\dfrac{d(u^2) + d(v^2)}{2(u^2 + v^2)^{3/2}} =
  332.         \left\{(x^2)' = 2x,\quad \text{дифференциал сложной функции} \right\} =\\=
  333.         %
  334.         &-\dfrac{2u\cdot du + 2v \cdot dv}{2(u^2 + v^2)^{3/2}} =
  335.         %
  336.         \dfrac{-u\cdot du - v\cdot dv}{(u^2 + v^2)^{3/2}}
  337.     \end{align*}
  338.  
  339.     \ans
  340.     $df = \dfrac{-u\cdot du - v\cdot dv}{(u^2 + v^2)^{3/2}}$
  341.     }
  342.  
  343.     \solution{9a}
  344.     {
  345.     \begin{center}
  346.         Найти производную порядка $n$ функции $f$:
  347.     \end{center}
  348.     \[
  349.     f(x) = \dfrac{1 + 2x}{3x - 1}
  350.     \]
  351.  
  352.     Найдём первую и вторую производные:
  353.     \[
  354.     f'(x) = \dfrac{ (1 + 2x)'(3x-1) - (1+2x)(3x-1)' } {(3x - 1)^2} =
  355.     %
  356.     \dfrac{2(3x-1) - 3(1+2x)}{(3x-1)^2} =
  357.     %
  358.     \dfrac{6x - 2 - 3 - 6x}{(3x-1)^2} =
  359.     %
  360.     -5(3x-1)^{-2}
  361.     \]
  362.    
  363.     \begin{flalign*}
  364.     &f''(x) = (-5(3x-1)^{-2})' = -5((3x-1)^{-2})' =
  365.     %
  366.     \left\{ (x^{-2})' = -2x^{-3} \right\} =
  367.     %
  368.     -5 \cdot (-2)(3x-1)^{-3}(3x-1)' =\\=
  369.     %
  370.     &-5 \cdot (-2)(3x-1)^{-3}\cdot 3
  371.     \end{flalign*}
  372.     Заметим, что $f''(x) = -2 \cdot 3(3x-1) \cdot f'(x)$. При взятии производной 3-го порядка произойдёт её домножение на $-3 \cdot 3(3x-1)$ и т.д.
  373.    
  374.     Предположим, что $f^{(n)} = (-1)^n \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot n! \cdot (3x-1)^{-n-1}$
  375.    
  376.     При $n=1$ это верно: $f'(x) = (-1)^1 \cdot 5 \cdot 3^0 \cdot 1 \cdot (3x-1)^{-2} = -5(3x-1)^{-2}$
  377.    
  378.     Пусть при $n \leq k, \quad k \geq 1$ это верно. Найдём $f^{(k+1)}$:
  379.     \begin{flalign*}
  380.     &f^{(k+1)} = (f^{(k)})' =
  381.     %
  382.     \left((-1)^k \cdot 5 \cdot 3^{k-1} \cdot k! \cdot (3x-1)^{-k-1}\right)' =
  383.     %
  384.     (-1)^k \cdot 5 \cdot 3^{k-1} \cdot k! \cdot \left( (3x-1)^{-k-1} \right)' =\\=
  385.     %
  386.     &(-1)^k \cdot 5 \cdot 3^{k-1} \cdot k! \cdot
  387.     \left( (-k-1)(3x-1)^{-k-2}\cdot 3  \right) =
  388.     %
  389.     (-1)^k \cdot 5 \cdot 3^{k-1} \cdot k! \cdot (-1) \cdot (k+1) \cdot 3 \cdot
  390.     (3x-1)^{-k-2} =\\=
  391.     %
  392.     &(-1)^{k+1}\cdot 5 \cdot 3^k \cdot (k+1)! \cdot (3x-1)^{-k-2}
  393.     \end{flalign*}
  394.  
  395.     Значит, и для $n = k+1$ формула верна. Следовательно, по принципу математической индукции, она верна для всех натуральных $n$.
  396.    
  397.     \ans
  398.     \[
  399.     f^{(n)} = (-1)^n \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot n! \cdot (3x-1)^{-n-1}
  400.     \]
  401.     }
  402.  
  403.     \newpage
  404.    
  405.     \solution{9c}
  406.     {
  407.     \begin{center}
  408.         Найти производную порядка $n$ функции $f$:
  409.     \end{center}
  410.     \[
  411.     f(x) = \sin x \cdot \cos^2(2x)
  412.     \]
  413.    
  414.     \[
  415.     f(x) = \sin x \cdot \cos^2(2x) =
  416.     \sin x \cdot \dfrac{1 + \cos(4x)}{2} =
  417.     2^{-1}( \sin x + \sin x \cos(4x))
  418.     \]
  419.    
  420.     Рассмотрим производные первых нескольких порядков от $\sin x$ и $cos(4x)$:
  421.    
  422.     \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
  423.         0   &   $\sin x$    &   $\cos(4x)$ \\ \hline
  424.         1   &   $\cos x$    &   $-4\sin(4x)$ \\ \hline
  425.         2   &   $-\sin x$   &   $-4^2\cos(4x)$ \\ \hline
  426.         3   &   $-\cos x$   &   $4^3\sin(4x)$ \\ \hline
  427.         4   &   $\sin x$    &   $4^4\cos(4x)$ \\ \hline
  428.     \end{tabular}
  429.     \vspace{5mm}
  430.    
  431.     Можно видеть некоторую <<периодичность>> производных по модулю 4, а именно:
  432.     \begin{enumerate}
  433.         \item \underline{при чётном $n$}:
  434.         \begin{align*}
  435.             (\sin x)^{(n)} &= (-1)^{\tfrac{n}{2}}\sin x\\
  436.             (\cos(4x))^{(n)} &= (-1)^{\tfrac{n}{2}} 4^n \cos(4x)
  437.         \end{align*}
  438.        
  439.         \item \underline{при нечётном $n$}:
  440.         \begin{align*}
  441.             (\sin x)^{(n)} &= (-1)^{\tfrac{n-1}{2}} \cos x\\
  442.             (\cos(4x))^{(n)} &= (-1)^{\tfrac{n+1}{2}} 4^n \sin (4x)
  443.         \end{align*}
  444.        
  445.     \end{enumerate}
  446.  
  447.     Воспользуемся обобщённым правилом Лейбница для вычисления $(sin x \cdot cos (4x))^{(n)}$:  
  448.    
  449.     \begin{enumerate}
  450.         \item \underline{при чётном $n$}:
  451.         \begin{flalign*}
  452.         &(\sin x \cdot \cos x)^{(n)} = \sum_{k = 0}^n C_k^n (\cos (4x))^{(k)} (\sin x)^{(n-k)}  =\\=
  453.         %
  454.         &\left\{ \text{рассмотрим отдельно суммы по чётным и нечётным $k$} \right\} =\\=
  455.         %
  456.         &\sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i} (\cos (4x))^{(2i)} (\sin x)^{(n-2i)} +
  457.         \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1} (\cos (4x))^{(2i-1)} (\sin x)^{(n-2i+1)} =\\=
  458.         %
  459.         &\left\{2i, (n-2i) \textit{ - чётны}, \quad (2i-1), (n-2i+1) \text{ - нечётны} \right\} =\\=
  460.         %
  461.         &
  462.          \sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}
  463.          (-1)^i 4^{2i} \cos(4x) \cdot
  464.          (-1)^{\tfrac{n}{2} - i} \sin x +
  465.          %
  466.         \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1}
  467.         (-1)^i 4^{2i-1} \sin(4x) \cdot
  468.         (-1)^{\tfrac{n}{2} - i} \cos x =\\=
  469.         %
  470.         &\sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}
  471.         (-1)^{\tfrac{n}{2}} 4^{2i} \cos(4x) \cdot \sin x +
  472.         \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1}
  473.         (-1)^{\tfrac{n}{2}} 4^{2i-1} \sin(4x) \cdot \cos x =\\=
  474.         %
  475.         &(-1)^{\tfrac{n}{2}}\cos(4x)\sin x \sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}  4^{2i} +
  476.         %
  477.         (-1)^{\tfrac{n}{2}} \sin(4x) \cos x \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1} 4^{2i-1} =\\=
  478.         %
  479.         &
  480.         (-1)^{\tfrac{n}{2}} \left(
  481.             \cos(4x)\sin x \left( \sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}  4^{2i}  \right) +
  482.             \sin(4x) \cos x \left( \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1} 4^{2i-1} \right)
  483.             \right)
  484.         \end{flalign*}
  485.    
  486.         \item \underline{при нечётном $n$}:
  487.         \begin{flalign*}
  488.         &(\sin x \cdot \cos x)^{(n)} = \sum_{k = 0}^n C_k^n (\cos (4x))^{(k)} (\sin x)^{(n-k)}  =\\=
  489.         %
  490.         &\left\{ \text{рассмотрим отдельно суммы по чётным и нечётным $k$} \right\} =\\=
  491.         %
  492.         &\sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i} (\cos (4x))^{(2i)} (\sin x)^{n-2i} +
  493.         \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1} (\cos (4x))^{(2i+1)} (\sin x)^{n -2i - 1} =\\=
  494.         %
  495.         &\left\{2i, (n-2i - 1) \textit{ - чётны}, \quad (n - 2i), (2i + 1) \text{ - нечётны} \right\} =\\=
  496.         %
  497.         &\sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i}
  498.         (-1)^i 4^{2i} \cos(4x) \cdot
  499.         (-1)^{\tfrac{n-2i-1}{2}} \cos x +\\
  500.         %
  501.         &+\sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1}
  502.         (-1)^{\tfrac{2i+1+1}{2}} 4^{2i+1} \sin(4x) \cdot
  503.         (-1)^{\tfrac{n-2i-1}{2}} \sin x =\\=
  504.         %
  505.         &\sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i}
  506.         (-1)^{\tfrac{n-1}{2}} 4^{2i} \cos(4x) \cos x +
  507.         %
  508.         \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1}
  509.         (-1)^{\tfrac{n+1}{2}} 4^{2i+1} \sin(4x) \sin x
  510.         =\\=
  511.         %
  512.         &(-1)^{\tfrac{n-1}{2}} \cos(4x) \cos x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i} 4^{2i} \right) +
  513.         %
  514.         (-1)^{\tfrac{n+1}{2}} \sin(4x) \sin x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1} 4^{2i+1} \right) =\\=
  515.         %
  516.         &(-1)^{\tfrac{n-1}{2}} \left(
  517.         \cos(4x) \cos x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i} 4^{2i} \right) -
  518.         %
  519.         \sin(4x) \sin x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1} 4^{2i+1} \right)
  520.         \right)
  521.         \end{flalign*}
  522.     \end{enumerate}
  523.  
  524.     Кажется, что можно использовать формулы синуса суммы и косинуса суммы, т.к. разность страшных сумм - степень тройки, но выражение не станет меньше, поэтому я этого делать не буду -\_-
  525.    
  526.     Теперь найдём $f^{(n)}$:
  527.     \begin{enumerate}
  528.         \item \underline{при чётном $n$}:
  529.         \begin{align*}
  530.             &f^{(n)} = \dfrac{1}{2} ( \sin x + \sin x \cos(4x))^{(n)} =
  531.             \dfrac{1}{2}\left( (\sin x)^{(n)} + (\sin x \cos (4x))^{(n)} \right) =\\=
  532.             %
  533.             &\dfrac{1}{2} \left(
  534.                 (-1)^{\tfrac{n}{2}} \sin x +
  535.                 (-1)^{\tfrac{n}{2}} \left(
  536.                 \cos(4x)\sin x \left( \sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}  4^{2i}  \right) +
  537.                 \sin(4x) \cos x \left( \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1} 4^{2i-1} \right)
  538.                 \right)
  539.             \right) =\\=
  540.             %
  541.             &\dfrac{(-1)^{n/2}}{2} \left(
  542.                 \sin x +
  543.                 \cos(4x)\sin x \left( \sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}  4^{2i}  \right) +
  544.                 \sin(4x) \cos x \left( \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1} 4^{2i-1} \right)
  545.             \right)
  546.         \end{align*}
  547.    
  548.         \item \underline{при нечётном $n$}:
  549.         \begin{align*}
  550.             &f^{(n)} = \dfrac{1}{2} ( \sin x + \sin x \cos(4x))^{(n)} =
  551.             \dfrac{1}{2}\left( (\sin x)^{(n)} + (\sin x \cos (4x))^{(n)} \right) =\\=
  552.             %
  553.             &\dfrac{1}{2} \left(
  554.                 (-1)^{\tfrac{n-1}{2}} \cos x +
  555.                 (-1)^{\tfrac{n-1}{2}} \left(
  556.                 \cos(4x) \cos x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i} 4^{2i} \right) -
  557.                 %
  558.                 \sin(4x) \sin x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1} 4^{2i+1} \right)
  559.                 \right)
  560.             \right) =\\=
  561.             %
  562.             &\dfrac{(-1)^{(n-1)/2}}{2} \left(
  563.                 \cos x +
  564.                 \cos(4x) \cos x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i} 4^{2i} \right) -
  565.                 %
  566.                 \sin(4x) \sin x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1} 4^{2i+1} \right)
  567.             \right)
  568.         \end{align*}
  569.     \end{enumerate}
  570.  
  571.     \ans
  572.     \begin{enumerate}
  573.         \item \underline{при чётном $n$}:
  574.         \[
  575.         f^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n/2}}{2} \left(
  576.         \sin x +
  577.         \cos(4x)\sin x \left( \sum_{i = 0}^{n/2} C_{n}^{2i}  4^{2i}  \right) +
  578.         \sin(4x) \cos x \left( \sum_{i = 1}^{n/2} C_n^{2i - 1} 4^{2i-1} \right)
  579.         \right)
  580.         \]
  581.        
  582.         \item \underline{при нечётном $n$}:
  583.         \[
  584.         f^{(n)} =\dfrac{(-1)^{(n-1)/2}}{2} \left(
  585.         \cos x +
  586.         \cos(4x) \cos x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_{n}^{2i} 4^{2i} \right) -
  587.         %
  588.         \sin(4x) \sin x \left( \sum_{i = 0}^{(n-1)/2} C_n^{2i + 1} 4^{2i+1} \right)
  589.         \right)
  590.         \]
  591.     \end{enumerate}
  592.     }
  593.  
  594.     \solution{10a}
  595.     {
  596.     \[
  597.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin 2x - 2 \arcsin x}{x^3}
  598.     \]
  599.    
  600.     Функции в числителе и знаменателе дифференцируемы на интервале $(-1, 1)$:
  601.    
  602.     $\arcsin'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
  603.    
  604.     $(\arcsin(2x))' = 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} =
  605.     \dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
  606.    
  607.     \vspace{5mm}
  608.     Применим правило Лопиталя:
  609.     \[
  610.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin 2x - 2 \arcsin x}{x^3} =
  611.     %
  612.     \lim_{x \to 0} \dfrac{ (\arcsin 2x - 2 \arcsin x)' } {(x^3)'} =
  613.     %
  614.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}}}{3x^2}
  615.     \]
  616.    
  617.     $\left( \dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} \right)' =
  618.     (2(1 - 4x^2)^{-\tfrac{1}{2}})' =
  619.     2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) (1 - 4x^2)^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-4) \cdot 2x =
  620.     8x(1 - 4x^2)^{-\tfrac{3}{2}}$
  621.    
  622.     $\left( \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\right)'=
  623.     (2(1 - x^2)^{-\tfrac{1}{2}}) =
  624.     2\cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) (1 - x^2)^{-\tfrac{3}{2}} \cdot (-2)x =
  625.     2x(1-x^2)^{-\tfrac{3}{2}}$\\
  626.    
  627.     Применим правило Лопиталя ещё раз:
  628.    
  629.     \begin{flalign*}
  630.     &\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}}}{3x^2} =
  631.     %
  632.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\left(\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}} \right)'}
  633.     {(3x^2)'} =
  634.     %
  635.     \lim_{x \to 0} \dfrac{8x(1 - 4x^2)^{-\tfrac{3}{2}} -2x(1-x^2)^{-\tfrac{3}{2}} }
  636.     {6x} =\\=
  637.     %
  638.     &\lim_{x \to 0} \dfrac{8(1 - 4x^2)^{-\tfrac{3}{2}} -2(1-x^2)^{-\tfrac{3}{2}} }
  639.     {6} =
  640.     %
  641.     \dfrac{8 \cdot 1 - 2\cdot 1}{6} = 1
  642.     \end{flalign*}
  643.  
  644.     \ans
  645.     \[
  646.     \lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin 2x - 2 \arcsin x}{x^3}  = 1
  647.     \]
  648.     }
  649.    
  650.     \solution{10b}
  651.     {
  652.     \[
  653.     \lim_{x \to 1} \dfrac{x^x - x}{1 - x + \ln x}
  654.     \]
  655.    
  656.     Функции в числителе и знаменателе дифференцируемы в проколотой окрестности точки 1:
  657.    
  658.     $(x^x)' = e^{x\ln x} =
  659.     e^{x\ln x} \cdot (x \ln x)' =
  660.     e^{x \ln x} ( \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} ) =
  661.     e^{x \ln x}  (\ln x + 1) =
  662.     x^x(\ln x + 1)$
  663.    
  664.     Применим правило Лопиталя:
  665.     \begin{align*}
  666.         \lim_{x \to 1} \dfrac{x^x - x}{1 - x + \ln x} =
  667.         \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^x - x)'}{(1 - x + \ln x)'} =
  668.         \lim_{x \to 1} \dfrac{x^x(\ln x + 1) - 1}{-1 + x^{-1}}
  669.     \end{align*}
  670.  
  671.     $(x^x \ln x)' =
  672.     (x^x)' \cdot \ln x + x^x \cdot \dfrac{1}{x} =
  673.     x^x(\ln x + 1)\ln x + x^{x-1}$
  674.  
  675.     Применим правило Лопиталя ещё раз:
  676.     \begin{align*}
  677.         &\lim_{x \to 1} \dfrac{x^x(\ln x + 1) - 1}{-1 + x^{-1}} =
  678.         \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^x(\ln x + 1) - 1)'}{(-1 + x^{-1})'} =
  679.         \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^x\ln x)' + (x^x)'}{-x^{-2}} =\\=
  680.         %
  681.         &\lim_{x \to 1} \dfrac{x^x(\ln x + 1)\ln x + x^{x-1} + x^x(\ln x + 1)}{-x^{-2}} =
  682.         %
  683.         \dfrac{1(0+1)\cdot 0 + 1 + 1(0 + 1)}{-1} = -2
  684.     \end{align*}
  685.  
  686.     \ans
  687.     \[
  688.     \lim_{x \to 1} \dfrac{x^x - x}{1 - x + \ln x} = -2
  689.     \]
  690.     }
  691.  
  692.     \solution{10c}
  693.     {
  694.     \[
  695.     \lim_{x \to 0} \left(
  696.         \dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}
  697.     \right)^{1 / x}
  698.     \]
  699.  
  700.     \[
  701.     \left(
  702.     \dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}
  703.     \right)^{1 / x} =
  704.     %
  705.     \left(
  706.     \dfrac{e^{\ln(1+x)/x}}{e}
  707.     \right)^{1 / x} =
  708.     %
  709.     e^{\tfrac{\ln(1+x)}{x^2} - \tfrac{1}{x}}
  710.     \]
  711.    
  712.     Найдём
  713.     \[
  714.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\ln(1+x)}{x^2} - \dfrac{1}{x} \right) =
  715.     %
  716.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\ln(1+x) - x}{x^2} \right)
  717.     \]
  718.    
  719.     Функции в числителе и знаменателе дифференцируемы в проколотой окрестности точки 0:
  720.    
  721.     $(\ln(1+x) - x)' = \dfrac{1}{1+x} - 1$ \quad \quad $(x^2)' = 2x$\\
  722.    
  723.     Применим правило Лопиталя:
  724.     \[
  725.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\ln(1+x) - x}{x^2} \right) =
  726.     %
  727.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{(\ln(1+x) - x)'}{(x^2)'} \right) =
  728.     %
  729.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{ \tfrac{1}{1+x} - 1}{2x}\right)
  730.     \]
  731.    
  732.     $\left( \dfrac{1}{1+x} - 1 \right)' = ((1+x)^{-1})' = -(1+x)^{-2}$\\
  733.  
  734.     Применим правило Лопиталя ещё раз:
  735.    
  736.     \[
  737.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{ \tfrac{1}{1+x} - 1}{2x}\right) =
  738.     %
  739.     \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{ \left( \tfrac{1}{1+x} - 1\right)'}{(2x)'}\right) =
  740.     %
  741.     \lim_{x \to 0} \dfrac{-(1+x)^{-2}}{2} =
  742.     %
  743.     \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}
  744.     \]
  745.  
  746.     Тогда
  747.     \[
  748.     \lim_{x \to 0} \left(
  749.     \dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}
  750.     \right)^{1 / x} =
  751.     %
  752.     \lim_{x \to 0} \left( e^{\tfrac{\ln(1+x)}{x^2} - \tfrac{1}{x}} \right) =
  753.     %
  754.     e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}
  755.     \]
  756.    
  757.     \ans
  758.     \[
  759.     \lim_{x \to 0} \left(
  760.     \dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}
  761.     \right)^{1 / x} =
  762.     %
  763.     \dfrac{1}{\sqrt{e}}
  764.     \]
  765.     }
  766.  
  767.     Делал дз часов 8 :(
  768.  
  769.     \begin{center}
  770.     \includegraphics[height = 8cm]{sad_cat}
  771.     \end{center}
  772. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement
Public Pastes
Advertisement
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy.  OK, I Understand
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up, it unlocks many cool features!