Not a member of Pastebin yet?
Sign Up,
it unlocks many cool features!
- 53c53
- < <text-author>К люч к карточному фокусу</text-author>
- ---
- > <text-author>Ключ к карточному фокусу</text-author>
- 69c69
- < <p>Как говорил один из самых крупных математиков XX века Джон фон Нёйман (1903 - 1957): “В конечном счёте, современная математика находит применение. А ведь заранее не ясно, что так должно быть”.</p>
- ---
- > <p>Как говорил один из самых крупных математиков XX века Джон фон Нейман (1903 - 1957): “В конечном счёте, современная математика находит применение. А ведь заранее не ясно, что так должно быть”.</p>
- 73c73
- < <p>Что же касается вопроса, чтбо именно из математики, причем из математики неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, то однозначный ответ на этот вопрос вряд ли уместен. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества - предоставить своему члену ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, откуда этот субъективный минимум можно было бы выбирать. Вообще, знание есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание, принадлежащее Сухарто (второму президенту Индонезии - не путать с первым её президентом, Сукарно): “В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно”. Иногда, тем не менее, в дальнейшем изложении будут встречаться рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; эти рекомендации не предлагаются как нечто категорическое и даются лишь в качестве возможных примеров и материала для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике - слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя эта тема не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь мнением, что хорошо бы в этой программе устранить перекос в вычислительную сторону математики и уделить больше внимания стороне качественной, не связанной непосредственно с вычислениями.</p>
- ---
- > <p>Что же касается вопроса, что́ именно из математики, причем из математики неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, то однозначный ответ на этот вопрос вряд ли уместен. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества - предоставить своему члену ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, откуда этот субъективный минимум можно было бы выбирать. Вообще, знание есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание, принадлежащее Сухарто (второму президенту Индонезии - не путать с первым её президентом, Сукарно): “В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно”. Иногда, тем не менее, в дальнейшем изложении будут встречаться рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; эти рекомендации не предлагаются как нечто категорическое и даются лишь в качестве возможных примеров и материала для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике - слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя эта тема не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь мнением, что хорошо бы в этой программе устранить перекос в вычислительную сторону математики и уделить больше внимания стороне качественной, не связанной непосредственно с вычислениями.</p>
- 83c83
- < <p>Изложенная только что тема содержит в себе три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3<sup>2 </sup>+ 4<sup>2 </sup>= 5<sup>2</sup>. В каждой из этих подтем можно усмотреть некие элементы, относящиеся к тому, чтбо автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Приведём примеры таких элементов.</p>
- ---
- > <p>Изложенная только что тема содержит в себе три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>. В каждой из этих подтем можно усмотреть некие элементы, относящиеся к тому, что́ автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Приведём примеры таких элементов.</p>
- 90c90
- < <p>Наконец, о равенстве 3<sup>2 </sup>+ 4<sup>2 </sup>= 5<sup>2</sup>. Если положительные числа <emphasis>a, b, c</emphasis> обладают тем свойством, что <emphasis>a</emphasis><sup>2</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>2</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>2</sup><emphasis>,</emphasis> то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют <emphasis>пифагоровыми</emphasis>. Вот ещё пример пифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникает естественный вопрос, а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и так далее степень? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел <emphasis>a, b, c,</emphasis> чтобы выполнялось равенство <emphasis>a</emphasis><sup>3</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>3</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>3</sup><emphasis>,</emphasis> или равенство <emphasis>a</emphasis><sup>4</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>4</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>4</sup><emphasis>,</emphasis> или <emphasis>a</emphasis><sup>5</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>5</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>5</sup> и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть <emphasis>тройкой Ферма</emphasis>.</p>
- ---
- > <p>Наконец, о равенстве 3<sup>2</sup>+ 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>. Если положительные числа <emphasis>a, b, c</emphasis> обладают тем свойством, что <emphasis>a</emphasis><sup>2</sup> + <emphasis>b</emphasis><sup>2</sup> = <emphasis>c</emphasis><sup>2</sup>, то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют <emphasis>пифагоровыми</emphasis>. Вот ещё пример пифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникает естественный вопрос, а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и так далее степень? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел <emphasis>a, b, c,</emphasis> чтобы выполнялось равенство <emphasis>a</emphasis><sup>3</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>3</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>3</sup><emphasis>,</emphasis> или равенство <emphasis>a</emphasis><sup>4</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>4</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>4</sup><emphasis>,</emphasis> или <emphasis>a</emphasis><sup>5</sup>+ <emphasis>b</emphasis><sup>5</sup>= <emphasis>c</emphasis><sup>5</sup> и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть <emphasis>тройкой Ферма</emphasis>.</p>
- 92,93c92,93
- < <p>Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их (да и то без доказательств) сообщалась им в частной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 году. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 году старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Лишь в 1994 г. Эндрю Уайлз при участии своего ученика Ричарда Тэйлора доказал наконец Великую теорему - и притом доказал с использованием всей мощи современной математики, так что если сам Ферма и владел доказательством (что более чем сомнительно), то заведомо не таким. А до того Великая теорема оставалась Великой гипотезой.</p>
- < <p>Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание <emphasis>Проблемы Ферма</emphasis>. Простота формулировки проблемы, доступной школьнику младших классов, делала её привлекательной для широких кругов любителей. Привлекательность усиливалась давностью постановки и ореолом некоей таинственности, сопутствующей постановке. А тут ещё в 1908 году была объявлена премия в сто тысяч германских марок за решение Проблемы Ферма. Вскоре мировая война обесценила премию, но было уже поздно: слух о премии привлёк к Проблеме Ферма ещё больше «старателей». Возникла особая разновидность людей, называемых <emphasis>ферматистами</emphasis>. Ферматисты - это люди, не имеющие специального математического образования, фанатично убеждённые в том, что они решили Проблему Ферма, и настойчиво ищущие признания. Признания они, естественно, не получили, но, завалив своими рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов, заставили эти кафедры занять оборонительную позицию: университеты стали возвращать авторам любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая при этом стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога. А известный гётттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 году иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который он поручал заполнять своим аспирантам: «Дорогой сэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице…, строка…»</p>
- ---
- > <p>Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их (да и то без доказательств) сообщалась им в частной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 году. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 году старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Лишь в 1994 г. Эндрю Уайлс при участии своего ученика Ричарда Тэйлора доказал наконец Великую теорему - и притом доказал с использованием всей мощи современной математики, так что если сам Ферма и владел доказательством (что более чем сомнительно), то заведомо не таким. А до того Великая теорема оставалась Великой гипотезой.</p>
- > <p>Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание <emphasis>Проблемы Ферма</emphasis>. Простота формулировки проблемы, доступной школьнику младших классов, делала её привлекательной для широких кругов любителей. Привлекательность усиливалась давностью постановки и ореолом некоей таинственности, сопутствующей постановке. А тут ещё в 1908 году была объявлена премия в сто тысяч германских марок за решение Проблемы Ферма. Вскоре мировая война обесценила премию, но было уже поздно: слух о премии привлёк к Проблеме Ферма ещё больше «старателей». Возникла особая разновидность людей, называемых <emphasis>ферматистами</emphasis>. Ферматисты - это люди, не имеющие специального математического образования, фанатично убеждённые в том, что они решили Проблему Ферма, и настойчиво ищущие признания. Признания они, естественно, не получили, но, завалив своими рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов, заставили эти кафедры занять оборонительную позицию: университеты стали возвращать авторам любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая при этом стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога. А известный гёттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 году иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который он поручал заполнять своим аспирантам: «Дорогой сэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице…, строка…»</p>
- 120c120
- < <p>Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали в школе Пифагора, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. От старых времён дошло до нас чисто геометрическое, и притом чрезвычайно изящное, доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным доказательством - это неизвестно. Сейчас наиболее популярно сведбение вопроса к вопросу из теории чисел. Именно используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2<emphasis>x</emphasis><sup>2</sup>= <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>. (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения икса и игрека дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а очень надо бы: на этом примере демонстрируется и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности происходит очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой части доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа <emphasis>x</emphasis> и <emphasis>y</emphasis>, что 2<emphasis>x</emphasis><sup>2 </sup>= <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>. Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. В первой части используется прямая теорема Пифагора: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне какое-то число <emphasis>x</emphasis> раз, а в диагонали какое-то число <emphasis>y</emphasis> раз; тогда по теореме Пифагора 2<emphasis>x</emphasis><sup>2 </sup>= <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>. Во второй части используется обратная теорема Пифагора: если найдутся такие целые числа <emphasis>x</emphasis> и <emphasis>y</emphasis>, что 2<emphasis>x</emphasis><sup>2 </sup>= <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>, то по этой обратной теореме треугольник с длинами сторон <emphasis>x</emphasis>, <emphasis>x</emphasis> и <emphasis>y</emphasis> будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины <emphasis>x</emphasis> и диагональю длины <emphasis>y</emphasis>. Таким образом, великое пифагорейское открытие было не только замечательным само по себе, но и проложило дорогу к установлению отсутствия решений у уравнений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решения (в целых числах, как в нашем примере, или в действительных числах, как уравнение <emphasis>x</emphasis><sup>2 </sup>= -1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2<emphasis>x</emphasis><sup>2 </sup>= <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup> настолько просто, что доступно школьнику младших классов; боюсь, что в школах его не излагают.</p>
- ---
- > <p>Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали в школе Пифагора, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. От старых времён дошло до нас чисто геометрическое, и притом чрезвычайно изящное, доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным доказательством - это неизвестно. Сейчас наиболее популярно сведе́ние вопроса к вопросу из теории чисел. Именно используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2<emphasis>x</emphasis><sup>2</sup>= <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>. (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения икса и игрека дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а очень надо бы: на этом примере демонстрируется и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности происходит очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой части доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа <emphasis>x</emphasis> и <emphasis>y</emphasis>, что 2<emphasis>x</emphasis><sup>2</sup> = <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>. Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. В первой части используется прямая теорема Пифагора: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне какое-то число <emphasis>x</emphasis> раз, а в диагонали какое-то число <emphasis>y</emphasis> раз; тогда по теореме Пифагора 2<emphasis>x</emphasis><sup>2</sup> = <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>. Во второй части используется обратная теорема Пифагора: если найдутся такие целые числа <emphasis>x</emphasis> и <emphasis>y</emphasis>, что 2<emphasis>x</emphasis><sup>2</sup> = <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup>, то по этой обратной теореме треугольник с длинами сторон <emphasis>x</emphasis>, <emphasis>x</emphasis> и <emphasis>y</emphasis> будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины <emphasis>x</emphasis> и диагональю длины <emphasis>y</emphasis>. Таким образом, великое пифагорейское открытие было не только замечательным само по себе, но и проложило дорогу к установлению отсутствия решений у уравнений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решения (в целых числах, как в нашем примере, или в действительных числах, как уравнение <emphasis>x</emphasis><sup>2</sup> = -1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2<emphasis>x</emphasis><sup>2</sup> = <emphasis>y</emphasis><sup>2</sup> настолько просто, что доступно школьнику младших классов; боюсь, что в школах его не излагают.</p>
- 130,131c130,131
- < <p>Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в объём этого понятия и иррациональные числа, есть взгляд с современной точки зрения. Чтобы прийти к этой точке зрения, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Очень постепенно в обиход входили дроби - сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть ббольшим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и так далее. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе - как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и, в конечном счёте, к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII века Насирэддин Тусби. Рассуждая об однородных величинах (таковыми являются длины, или веса, или объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, завершающую точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».</p>
- < <p>Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются как всего лишь полезные комментарии. Заключённая в этих комментариях вербализация свидетельствует, что в XIII - XVIII веках понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Постепенно, однако, возрастала потребность не только в интуитивном осознании, но и в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона потому не являются таковыми, что содержашиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним требованиям строгости, появились лишь около 1870 года. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Mбeray; 1835 - 1911). В его жизни было два события, каждое из которых поставило его на почётнейшее первое место в некоторой значимой сфере. В 1854 году Мерэ оказался касбиком - то есть первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (каковую благополучно окончил в 1857 г.); в первоначальном своём значении слово <emphasis>cacique</emphasis> означает индейского племенного вождя в доколумбовой Латинской Америке. В 1869 году Мерэ опубликовал статью, в которой было впервые дано определение действительного числа и впервые изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе из этих событий остались лишь фактами его биографии. Мерэ имел статус уважаемого, но не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться именно таковым. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. На развитие науки повлияли появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дедекинда (1831 - 1916) и Георга Кантора (1845 - 1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.</p>
- ---
- > <p>Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в объём этого понятия и иррациональные числа, есть взгляд с современной точки зрения. Чтобы прийти к этой точке зрения, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Очень постепенно в обиход входили дроби - сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть бо́льшим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и так далее. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе - как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и, в конечном счёте, к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII века Насирэддин Тусби. Рассуждая об однородных величинах (таковыми являются длины, или веса, или объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, завершающую точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».</p>
- > <p>Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются как всего лишь полезные комментарии. Заключённая в этих комментариях вербализация свидетельствует, что в XIII - XVIII веках понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Постепенно, однако, возрастала потребность не только в интуитивном осознании, но и в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона потому не являются таковыми, что содержашиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним требованиям строгости, появились лишь около 1870 года. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Méray; 1835 - 1911). В его жизни было два события, каждое из которых поставило его на почётнейшее первое место в некоторой значимой сфере. В 1854 году Мерэ оказался касбиком - то есть первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (каковую благополучно окончил в 1857 г.); в первоначальном своём значении слово <emphasis>cacique</emphasis> означает индейского племенного вождя в доколумбовой Латинской Америке. В 1869 году Мерэ опубликовал статью, в которой было впервые дано определение действительного числа и впервые изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе из этих событий остались лишь фактами его биографии. Мерэ имел статус уважаемого, но не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться именно таковым. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. На развитие науки повлияли появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дедекинда (1831 - 1916) и Георга Кантора (1845 - 1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.</p>
- 174c174
- < <p>На примере с умножением можно получить представление о понятии <emphasis>массовая задача</emphasis>. Массовая задача образуется путём совместного рассмотрения серии однотипных единичных задач. В случае умножения каждая единичная задача состоит в указании пары конкретных чисел (как, например, тех, которые были названы Ученице Учителем) и требовании найти их произведение. Это произведение является <emphasis>решением</emphasis> предложенной единичной задачи. Массовая же задача состоит здесь в требовании найти некий метод, позволяюший найти произведение для каждой отдельной пары чисел. Другой простой пример. Задача решить квадратное уравнение <emphasis>x</emphasis><sup>2 </sup>- 13<emphasis>x</emphasis>+ 30 = 0 - это единичная задача, и её решением служит пара чисел 3 и 10. А вот изучаемая в средней школе задача о решении произвольного квадратного уравнения - это массовая задача, и её решением служит всем известная (или долженствующая быть всем известной) формула, дающая решение для любого конкретного квадратного уравнения. Остановим свой взгляд на какой-нибудь массовой задаче и посмотрим, чем отличаются друг от друга составляющие её единичные задачи. Мы видим, что они отличаются своими <emphasis>исходными данными</emphasis>. Для каждой единичной задачи умножения исходным данным служит конкретная пара чисел. А для каждой единичной задачи на решение квадратного уравнения исходное данное - это конкретное квадратное уравнение.</p>
- ---
- > <p>На примере с умножением можно получить представление о понятии <emphasis>массовая задача</emphasis>. Массовая задача образуется путём совместного рассмотрения серии однотипных единичных задач. В случае умножения каждая единичная задача состоит в указании пары конкретных чисел (как, например, тех, которые были названы Ученице Учителем) и требовании найти их произведение. Это произведение является <emphasis>решением</emphasis> предложенной единичной задачи. Массовая же задача состоит здесь в требовании найти некий метод, позволяюший найти произведение для каждой отдельной пары чисел. Другой простой пример. Задача решить квадратное уравнение <emphasis>x</emphasis><sup>2</sup> - 13<emphasis>x</emphasis> + 30 = 0 - это единичная задача, и её решением служит пара чисел 3 и 10. А вот изучаемая в средней школе задача о решении произвольного квадратного уравнения - это массовая задача, и её решением служит всем известная (или долженствующая быть всем известной) формула, дающая решение для любого конкретного квадратного уравнения. Остановим свой взгляд на какой-нибудь массовой задаче и посмотрим, чем отличаются друг от друга составляющие её единичные задачи. Мы видим, что они отличаются своими <emphasis>исходными данными</emphasis>. Для каждой единичной задачи умножения исходным данным служит конкретная пара чисел. А для каждой единичной задачи на решение квадратного уравнения исходное данное - это конкретное квадратное уравнение.</p>
- 176c176
- < <p>Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, имеющий в своей этимологии географическое название. Таким названием служит слово «Хорезм». Великий учёный Мухаммед бен Муса аль-Хорезмби жил в конце VIII - первой половине IX века. Арабское имя «аль-Хорезми» буквально означает ‘из Хорезма’. Аль-Хорезми предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. При этом начиная с XII века его имя транслитерировалось как «Algoritmi». Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 году в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.</p>
- ---
- > <p>Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, имеющий в своей этимологии географическое название. Таким названием служит слово «Хорезм». Великий учёный Мухаммед бен Муса аль-Хорезми́ жил в конце VIII - первой половине IX века. Арабское имя «аль-Хорезми» буквально означает ‘из Хорезма’. Аль-Хорезми предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. При этом начиная с XII века его имя транслитерировалось как «Algoritmi». Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 году в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.</p>
- 180c180
- < <p>Средствами игры будут служить пластинки, наподобие тех доминошек, что используются при игре в домино. Как и в домино, каждая пластинка разделена на верхнюю и нижнюю половину. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино в том, чтбо именно написано. В случае домино в каждой из половин записывается количество очков, от 0 до 6. А нашем случае в каждой из половин записывается какая-то цепочка из букв икс и зет. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: <emphasis>x</emphasis>, <emphasis>z</emphasis>. Цепочки длины два: <emphasis>xx</emphasis>, <emphasis>xz</emphasis>, <emphasis>zx</emphasis>, <emphasis>zz</emphasis>. Цепочки длины три: <emphasis>xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. </emphasis>Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: <emphasis>zxzxxxz</emphasis>. Проиллюстрируем сказанное примерами возможных пластинок:</p>
- ---
- > <p>Средствами игры будут служить пластинки, наподобие тех доминошек, что используются при игре в домино. Как и в домино, каждая пластинка разделена на верхнюю и нижнюю половину. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино в том, что́ именно написано. В случае домино в каждой из половин записывается количество очков, от 0 до 6. А нашем случае в каждой из половин записывается какая-то цепочка из букв икс и зет. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: <emphasis>x</emphasis>, <emphasis>z</emphasis>. Цепочки длины два: <emphasis>xx</emphasis>, <emphasis>xz</emphasis>, <emphasis>zx</emphasis>, <emphasis>zz</emphasis>. Цепочки длины три: <emphasis>xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. </emphasis>Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: <emphasis>zxzxxxz</emphasis>. Проиллюстрируем сказанное примерами возможных пластинок:</p>
- 214,216c214,216
- < <p>Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после своего осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не дболжно смущаться тем, что в выражении “равенство количеств” слово “количество” уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, даже вообще можно не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых располагает стадом коз, а другой - стадом овец. Они хотят обменяться своими стадами, но при условии, что стада равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца - ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств.</p>
- < <p>Пример из первобытной жизни приводит нас к важнейшему понятию <emphasis>эквивалентности множеств</emphasis>. Говорят, что два множества <emphasis>эквивалентны,</emphasis> если можно так сопоставить друг с другом элементы первого множества и элементы второго множества, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Наши скотоводы как раз и установили эквивалентность своих стад. А синьор Сальвиати установил эквивалентность множества всех квадратов и множества всех чисел; эту эквивалентность можно наглядно показать посредством следующей таблицы:</p>
- < <p>Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являюшихся, - ну, скажем, 7, 23 и 111. Следующая таблица показывает эквивалентность множества квадратов и расширенного множества, состоящего из всех квадратов и трёх указанных не-квадратов:</p>
- ---
- > <p>Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после своего осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не до́лжно смущаться тем, что в выражении “равенство количеств” слово “количество” уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, даже вообще можно не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых располагает стадом коз, а другой - стадом овец. Они хотят обменяться своими стадами, но при условии, что стада равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца - ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств.</p>
- > <p>Пример из первобытной жизни приводит нас к важнейшему понятию <emphasis>эквивалентности множеств</emphasis>. Говорят, что два множества <emphasis>эквивалентны,</emphasis> если можно так сопоставить друг с другом элементы первого множества и элементы второго множества, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Наши скотоводы как раз и установили эквивалентность своих стад. А синьор Сальвиати установил эквивалентность множества всех квадратов и множества всех чисел; эту эквивалентность можно наглядно показать посредством следующей таблицы: <emphasis>(прим. корректора: таблица в оригинальном файле отсутствует)</emphasis></p>
- > <p>Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являюшихся, - ну, скажем, 7, 23 и 111. Следующая таблица показывает эквивалентность множества квадратов и расширенного множества, состоящего из всех квадратов и трёх указанных не-квадратов: <emphasis>(прим. корректора: таблица в оригинальном файле отсутствует)</emphasis></p>
- 220c220
- < <p>И ещё об одном виде чисел - о так называемых <emphasis>алгебраических числах</emphasis>. Действительное число называется <emphasis>алгебраическим,</emphasis> если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале “от простого к сложному”. Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют “трансцендентными”. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чисел <strong><emphasis>e</emphasis></strong> и . Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.</p>
- ---
- > <p>И ещё об одном виде чисел - о так называемых <emphasis>алгебраических числах</emphasis>. Действительное число называется <emphasis>алгебраическим,</emphasis> если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале “от простого к сложному”. Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют “трансцендентными”. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чисел <strong><emphasis>e</emphasis></strong> и <strong><emphasis>π</emphasis></strong>. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.</p>
- 227,228c227,228
- < <p>Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, чтбо это означает. Каждое количество представлено коллекцией всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих коллекций, а неравенство - их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, которое из них больше, а которое меньше. (Не запутайтесь: слова “больше” и “меньше” относятся к количествам, а не к представляющим их коллекциям множеств!)</p>
- < <p>Спросим уже знакомых нам не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов - в предположении, что стада различны по численности. Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то ббольшим является количество коз. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то ббольшим будет количество овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно - множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который действует применительно к любым множествам. Решение состоит в том, чтобы к предложенной нашими скотоводами формулировке добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.</p>
- ---
- > <p>Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, что́ это означает. Каждое количество представлено коллекцией всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих коллекций, а неравенство - их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, которое из них больше, а которое меньше. (Не запутайтесь: слова “больше” и “меньше” относятся к количествам, а не к представляющим их коллекциям множеств!)</p>
- > <p>Спросим уже знакомых нам не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов - в предположении, что стада различны по численности. Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то бо́льшим является количество коз. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то бо́льшим будет количество овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно - множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который действует применительно к любым множествам. Решение состоит в том, чтобы к предложенной нашими скотоводами формулировке добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.</p>
- 230c230
- < <p>Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (то есть присущим только этому и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют <emphasis>алфавитом,</emphasis> составляющие его знаки - <emphasis>буквами,</emphasis> а всякую конечную цепочку букв - <emphasis>словом</emphasis> в данном алфавите. [В отличие от “языковедческого”<emphasis> слова,</emphasis> “математическое” слово может быть совершенно непроизносимым. Например, в русском переводе рассказа Лема “Вторжение с Альдебарана” встречаются такие имена альдебаранцев: <emphasis>НГТРКС</emphasis> и <emphasis>ПВГДРК;</emphasis> эти имена являются словами в русском алфавите. Возможно и такое, скажем, слово:)))=hgйъh=+(.] Нетрудно убедиться, что какой ни взять алфавит, множество всех слов в этом алфавите будет счётным. Тем самым никак не больше счётной будет любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты - и даже очень много таких объектов, - для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумать, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.</p>
- ---
- > <p>Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (то есть присущим только этому и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют <emphasis>алфавитом,</emphasis> составляющие его знаки - <emphasis>буквами,</emphasis> а всякую конечную цепочку букв - <emphasis>словом</emphasis> в данном алфавите. [В отличие от “языковедческого”<emphasis> слова,</emphasis> “математическое” слово может быть совершенно непроизносимым. Например, в русском переводе рассказа Лема “Вторжение с Альдебарана” встречаются такие имена альдебаранцев: <emphasis>НГТРКС</emphasis> и <emphasis>ПВГДРК;</emphasis> эти имена являются словами в русском алфавите. Возможно и такое, скажем, слово: <emphasis>)))=hgйъh=+(.]</emphasis>. Нетрудно убедиться, что какой ни взять алфавит, множество всех слов в этом алфавите будет счётным. Тем самым никак не больше счётной будет любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты - и даже очень много таких объектов, - для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумать, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.</p>
- 239,240c239,240
- < <p>Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший - и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами “первая”, “вторая”, “третья” и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I (“я плохой”), II (“я хороший, потому что осознал, что плохой”), III (“я плохой, потому что себя похвалил”) и так далее. С лестницей же в целом (“я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу”) соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I (“я плохой, потому что себя похвалил”), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, +. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с идут <emphasis>бесконечные порядковые числа</emphasis>. Их именами служат выражения “омега”, “омега плюс один”, “омега плюс два”, “омега плюс три” и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить “омеговый”, “омега плюс первый” и так далее; но так почему-то не говорят.</p>
- < <p>Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора - на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, <sup>1</sup>/<sub>2</sub>, <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, <sup>3</sup>/<sub>4</sub>, <sup>4</sup>/<sub>5</sub> и так далее и всех чисел 1, 1<sup>1</sup>/<sub>2</sub>, 1<sup>2</sup>/<sub>3</sub>, 1<sup>3</sup>/<sub>4</sub>, 1<sup>4</sup>/<sub>5</sub> и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент <sup>1</sup>/<sub>2</sub> получит номер II, элемент <sup>2</sup>/<sub>3</sub> получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 1<sup>1</sup>/<sub>2</sub> получит номер + I, элемент 1<sup>2</sup>/<sub>3</sub> получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер +, и элемент 3 получит номер ++ I.</p>
- ---
- > <p>Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший - и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами “первая”, “вторая”, “третья” и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I (“я плохой”), II (“я хороший, потому что осознал, что плохой”), III (“я плохой, потому что себя похвалил”) и так далее. С лестницей же в целом (“я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу”) соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I (“я плохой, потому что себя похвалил”), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с ω идут <emphasis>бесконечные порядковые числа</emphasis>. Их именами служат выражения “омега”, “омега плюс один”, “омега плюс два”, “омега плюс три” и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить “омеговый”, “омега плюс первый” и так далее; но так почему-то не говорят.</p>
- > <p>Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора - на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, <sup>1</sup>/<sub>2</sub>, <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, <sup>3</sup>/<sub>4</sub>, <sup>4</sup>/<sub>5</sub> и так далее и всех чисел 1, 1<sup>1</sup>/<sub>2</sub>, 1<sup>2</sup>/<sub>3</sub>, 1<sup>3</sup>/<sub>4</sub>, 1<sup>4</sup>/<sub>5</sub> и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент <sup>1</sup>/<sub>2</sub> получит номер II, элемент <sup>2</sup>/<sub>3</sub> получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 1<sup>1</sup>/<sub>2</sub> получит номер + I, элемент 1<sup>2</sup>/<sub>3</sub> получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер + ω, и элемент 3 получит номер ++ I.</p>
- 277c277
- < <p>Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё же истинна - аксиома Евклида или аксиома Лобачевского. Давайте разберёмся. Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит “истинна”. Казалось бы, ясно: истинна - значит, соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, - одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых - как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч - в меньшей степени шар, чем биллиардный шар или подшипник. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком - все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, то есть то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да даже и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая отшлифованная поверхность лишь приближается к идеальной форме, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света - и тот искривляется в реальном пространстве. Для возникновения же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно - требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, является <emphasis>отражением</emphasis> реального мира).</p>
- ---
- > <p>Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё же истинна - аксиома Евклида или аксиома Лобачевского. Давайте разберёмся. Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит “истинна”. Казалось бы, ясно: истинна - значит, соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, - одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых - как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч - в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или подшипник. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком - все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, то есть то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да даже и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая отшлифованная поверхность лишь приближается к идеальной форме, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света - и тот искривляется в реальном пространстве. Для возникновения же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно - требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, является <emphasis>отражением</emphasis> реального мира).</p>
- 279c279
- < <p>Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для ббольших другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли - именно потому, что участок, план которого снимается, небольшой. Поэтому для сравнительно небольших участков разумно исходить из того, что Земля плоская - именно поэтому это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России необходимо учитывать шарообразность Земли, а при тонких расчётах - то, что Земля есть эллипсоид (а точнее - геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам: к положению стрелка и к цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично, евклидова геометрия хорошо работает “в малом”, то есть в доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит “в очень большом”. В рассказе Уэллса “История Платтнера” его герой Готфрид Платтнер претерпевает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в следующей главе нашего очерка.</p>
- ---
- > <p>Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для бо́льших другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли - именно потому, что участок, план которого снимается, небольшой. Поэтому для сравнительно небольших участков разумно исходить из того, что Земля плоская - именно поэтому это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России необходимо учитывать шарообразность Земли, а при тонких расчётах - то, что Земля есть эллипсоид (а точнее - геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам: к положению стрелка и к цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично, евклидова геометрия хорошо работает “в малом”, то есть в доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит “в очень большом”. В рассказе Уэллса “История Платтнера” его герой Готфрид Платтнер претерпевает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в следующей главе нашего очерка.</p>
- 290c290
- < <p>Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, чтбо такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения.</p>
- ---
- > <p>Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, что́ такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения.</p>
- 310c310
- < <p>Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. <emphasis>Отрезок</emphasis> имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. <emphasis>Интервал</emphasis> же состоит только из всех точек, расположенных между его концами, сами же концы в состав интервала не входят; можно сказать, что интервал - это отрезок с удалёнными из него концами, а отрезок -это интервал с добавленными к нему концами. Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных <emphasis>многообразий,</emphasis> причём интервал есть многообразие <emphasis>без края,</emphasis> а отрезок - многообразие <emphasis>с краем; </emphasis>край в случае отрезка состоит из двух концов. Главное свойство многообразий, лежащее в основе их определения, состоит в том, что в многообразии окрестности всех точек, за исключением точек края (которого может и не быть), устроены совершенно одинаково. При этом <emphasis>окрестностью</emphasis> какой-либо точки <emphasis>A </emphasis>называется совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки <emphasis>A</emphasis>. Микроскопическое существо, живущее в многообразии без края и способное видеть только ближайшие к себе точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы <strong>T</strong>: здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек - это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного не-многообразия - линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием - а вот с краем или без края, зависит от того, куда мы относим контур дыры. Если мы относим его к дыре, получаем многообразие без края; если оставляем контур на плоскости, получаем многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании ножницами вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.</p>
- ---
- > <p>Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. <emphasis>Отрезок</emphasis> имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. <emphasis>Интервал</emphasis> же состоит только из всех точек, расположенных между его концами, сами же концы в состав интервала не входят; можно сказать, что интервал - это отрезок с удалёнными из него концами, а отрезок - это интервал с добавленными к нему концами. Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных <emphasis>многообразий,</emphasis> причём интервал есть многообразие <emphasis>без края,</emphasis> а отрезок - многообразие <emphasis>с краем; </emphasis>край в случае отрезка состоит из двух концов. Главное свойство многообразий, лежащее в основе их определения, состоит в том, что в многообразии окрестности всех точек, за исключением точек края (которого может и не быть), устроены совершенно одинаково. При этом <emphasis>окрестностью</emphasis> какой-либо точки <emphasis>A </emphasis>называется совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки <emphasis>A</emphasis>. Микроскопическое существо, живущее в многообразии без края и способное видеть только ближайшие к себе точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы <strong>T</strong>: здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек - это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного не-многообразия - линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием - а вот с краем или без края, зависит от того, куда мы относим контур дыры. Если мы относим его к дыре, получаем многообразие без края; если оставляем контур на плоскости, получаем многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании ножницами вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.</p>
- 314c314
- < <p>Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости - с конгруэнтностью фигур и с их подобием. Напомним, что фигуры называются <emphasis>конгруэнтными,</emphasis> если они совпадают друг с другом при наложении. В школе конгруэнтные фигуры как бы не различают, и потому конгруэнтность называют равенством. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях. Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. Геометрия в целом - более высокая ступень абстракции, нежели физика, а физика - чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, биллиардный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики - все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для <emphasis>метрической геометрии,</emphasis> но все они одинаковы для <emphasis>геометрии подобия</emphasis>. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб - не одинаковы.</p>
- ---
- > <p>Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости - с конгруэнтностью фигур и с их подобием. Напомним, что фигуры называются <emphasis>конгруэнтными,</emphasis> если они совпадают друг с другом при наложении. В школе конгруэнтные фигуры как бы не различают, и потому конгруэнтность называют равенством. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях. Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. Геометрия в целом - более высокая ступень абстракции, нежели физика, а физика - чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, бильярдный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики - все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для <emphasis>метрической геометрии,</emphasis> но все они одинаковы для <emphasis>геометрии подобия</emphasis>. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб - не одинаковы.</p>
Add Comment
Please, Sign In to add comment
