EDC 08/03/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)

  // Hoje vamos discutir como descobrir uma solução para um Problema de Valor Inicial (PVI)

  Na última aula vimos que para um EDO linear de primeira ordem, as soluções são da forma:

    y(t) = C e^t

  Agora sendo C um valor qualquer isso nós deu infinitas soluções correto?

  Como fazer para determinar um único valor de solução?

  Isso é feito somente quando se sabe um ponto pelo qual a equação passa.
  Esse ponto é chamado de valor inicial.

  Ex: considere que a equação passa pelo ponto t=0, y=1
      ou escrito de outra forma: y(0) = 1.

  então temos:

    y(0) = C * e^0 = 1

  Certo?

  Isolando C a solução é C = 1, bem simples.

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  Ex 2:
  Seja o PVI:
    { t y' + 2 y = 4 t²
    { y(1) = 2

  Comparando com o modelo y' + p(t) y = g(t)

  Vemos que a ED está quase no formato do modelo, exceto pelo t multiplicando y',
  como corrigir? dividindo tudo por t.

    { y' + 2/t y = 4 t
    { y(1) = 2

  Agora p(t) = 2/t.
        g(t) = 4 t.

  Porém esse é o tipo de equação onde pode-se usar um fator integrante.

  Nesse caso:
    µ(t) = e ^ int p(t) dt
    µ(t) = e ^ int 2/t dt
    µ(t) = e ^ (2 ln t)
    µ(t) = e ^ (ln t²)
    µ(t) = t²

  Multiplicando ambos os lados por t²

    t² y' + 2t y = 4t³

  Note que o lado esquerdo é a derivada de t² y então substituindo:

    (t²y)' = 4t³

  Integrando os dois lados temos:

    t²y = t⁴ + c

  Isolando y temos:

    y = t² + c t⁻²

  E essa é a solução geral =].

    Agora substituindo y(1) = 2

  Temos: 2 = y(1) = 1² + c 1⁻²

    2 = 1 + c ==> c = 1

  E essa é a solução do PVI.

  Ficou claro o que é um PVI, e o qual a diferença da solução de um PVI para uma solução geral de uma ED?

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  FIM DO METODO DE FATOR INTEGRANTE

  AGORA VAMOS FALAR DO METODO DA EQUAÇÃO "SEPARAVEL" (que é as vezes mais fácil que o fator integrante, e funciona para EDOs não-lineares).

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  Introdução ao método da separação de variáveis:

  Seja a ED:

    dy/dx = ay + b

  onde a e b são constantes.

  Essa eq. é linear e pode ser colocada na forma y' + p y = g, mas não faremos isso. // o professor vai fazer outra coisa.

REVISÃO:
  y = f(x)

  Qual o valor de y'?

  y' = f'(x) dx, pela regra da cadeia.

  caso z = z(x,y)

  Qual a derivada de z?

  nesse caso é a soma das derivadas em ambos os sentidos ou seja:

  z' = z´x dx + x´y dy

FIM REVISÃO.

  Agora vamos brincar com a fórmula que já temos, vamos colocar tudo que é função de x de um lado da equação e tudo que for função de y do outro lado?

    dy/(ay + b) = dx

  Integrando o lado esquerdo (e supondo a!=0) temos:

  por substituição:
    u = ay + b, du = a dy
  assim temos:
    1/a int 1/u du

  O que da:

    1/a ln (ay + b) = int dx

  Integrando o direito:

    1/a ln (ay + b) = x + c

  ou escrito de outra forma:

    ln (ay + b) = a(x + c)

  Aplicando exponencial:

    ay + b = e^(x + c)

  isolando y temos:

    y = 1/a ( e^a(x+c) - b )

  E essa é a solução geral =].

  Interessante? E note que esse metodo não necessita que a equação seja linear!

  Esse método é aplicável sobre as EDOs chamadas "Separáveis":

CONCEITO:
  Uma ED é separável se for possível coloca-la de tal forma que dx multiplique todos os elementos que são função de x, e dy todas os função de y:

    M(x) dx + N(y)dy = 0

  Fácil de decorar? +- né, mas note que é necessário que dx e dy multipliquem para voce poder integrar dos dois lados.
  E não pode sobrar uma constante solta, voce tem que junta-la com um dos dois lados.

FIM CONCEITO

  Esse método funciona para EDOs não-lineares (ou lineares) de primeira ordem =]. (talvez funcione para segunda ordem tb num sei, mas os exemplos foram de 1° ordem)

  Esse é um dos 2 métodos mais básicos do curso (o outro é o do fator integrante)

  // No exemplo acima a EDO era linear o professor deu outro exemplo de uma não linear para mostrar que o método também funciona:

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  Ex 3:

    dy/dx = x-1/(y²+1)

  Linear? não y tem potencia 2 então não é linear.

  Separável? Sim, basta jogar o dx pro outro lado e o y²+1 pra esquerda.

    (y² + 1)dy = (x-1)dx

  Integrando temos:

    y³/3 + y = x²/2 - x + c

  Moleza não? agora seria necessário isolar y.

  Mas e se não fosse possível isolar?

  Nesse caso podemos considerar que isso é uma solução geral, sem precisar terminar de isolar o y.
  O professor mostrou que isso pode ser entendido como uma curva de nível de uma função z = (x,y) na altura z = c

  Nesse caso teriamos que isolar c:

    c      = y³/3 + y - x²/2 + x
    z(x,y) = y³/3 + y - x²/2 + x
    // Será que isso ficou confuso?
    // Note que isso é só um artificio para deixar a equação mais fácil de ser imaginada.
    // O professor desenhou uma curva em 3 dimensões e mostrou como essa curva poderia aparecer lá.

  Para cada valor de c, tenho uma nova solução de um PVI (Prob. de Valor Inicial pra quem já esqueceu)

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CONCEITO:
  Se uma equação é separável então a integral de M mais a integral de N são uma curva de nível. (ou podem ser pensadas dessa forma)

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  // Exercicio de fim de aula:
  // (x² + 1) y' = x/(y⁴+y²)
  // Resolvam voces mesmos.

// Fim da aula.