SolveAlways[5 d[1, 2] == a d[1, 2] + b d[1, 3], {d[1, 2], d[1, 3]}]

vector = 12 + 2 d[1, 2] + 2 d[1, 3] + 2 d[1, 4] - 2 d[1, 5] +
   2 d[2, 3] - 2 d[2, 5] + 2 d[3, 4] - 2 d[3, 5] - 2 d[4, 5];
basis = {1, d[1, 2] + d[1, 3] + d[1, 4] + d[2, 3] + d[3, 4],
  d[1, 5] + d[2, 5] + d[3, 5] + d[4, 5],
  d[1, 2] d[3, 4] + d[1, 3] d[2, 4] + d[1, 4] d[3, 2],
  d[1, 5] d[2, 3] + d[1, 5] d[2, 4] + d[1, 3] d[2, 5] +
   d[1, 4] d[2, 5] + d[1, 5] d[3, 4] + d[2, 5] d[3, 4] +
   d[1, 2] d[3, 5] + d[1, 4] d[3, 5] + d[2, 4] d[3, 5] +
   d[1, 2] d[4, 5] + d[1, 3] d[4, 5] + d[2, 3] d[4, 5]}
len = Length[basis];
SolveAlways[vector == Array[c, len].basis, Variables[basis]]