EDC 29/05/2012

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  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

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  Revendo a última aula:

  Na última aula aprendemos a calcular:

    a0, an, bn

  Com base em uma função f continua por partes e periodica com periodo 2L.

  Porém restaram duas dúvidas:

    - Dada uma função f, e uma Série de Fourrier associada, como saber se a série converge?
    - Sabendo que ela converge, como saber que ela converge para o valor de f(x)?

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Teorema:
  Se f e f' são cont. por partes e periódicos de periodo 2L, então a Serie de Fourrier associada necessariament converge para uma aproximação da função.
  Nota: f' nunca será definida nos pontos de descontinuidade, mas ainda assim ela permitiria que esse teorema fosse aplicável.
        o que impediria que f' se qualificasse para esse teorema é se nos arredores da descontinuidade a inclinação tendesse a infinito, ou seja a f' tendesse a infinito.
  Um exemplo bom seriam semicirculos concatenados, nos pontos de concatenação as derivadas vão para infinito, porém a função não.

  Essa aproximação é interessante porque em funções continuas por partes se em x=0-infinitesimal o valor é 1 e em x=0+infinitesimal o valor é 0 então a serie de fourrier
  em x=0 converge para a média do y dos 2 pontos: (1 + 0) / 2 = 1/2, interessante não?
  É como uma forma de tornar uma função descontinua continua.

  Obviamente nos pontos onde não há descontinuidade a função deverá convergir para o valor da função.

  A notação que o professor usou para denotar x+infinitesimal é x+ e o x simplesmente foi x-.

  Assim ele argumentou que a série de fourrier converge para o valor:

    SF(f(x)) = (f(x-) + f(x+)) / 2

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  Exercicio 1:

    Suponha uma função da forma:

    x=[-1,1] y = x
    x=[1,3]  y = -x
    com periodo = 4.

    Agora Se calcularmos sua derivada veremos que no intervalo ]-1,1[ y = 1, e em ]1,3[ y = 0.

    Ou seja ela não é continua.

    Porém podemos adicionar a característica de que a derivada é 0 nos pontos não definidos.

    O professor escolheu esse valor por ser a média das derivadas ao redor dos pontos.

    Isso não irá modificar nada na função original, e tornará f' continua por partes.

    Isso é suficiente para permitir que a função se adeque ao teorema.

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  Função impar é da forma:

    f(x) = -f(-x)
  Exemplo: seno

  Função par é da forma:

    f(x) = f(-x)
  Exemplo Cosseno

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  Observações:

  1) Se f e g são pares -> f*g = par.
  2) Se f e g são impares -> f*g = par.
  3) Se f par e g impar -> f*g = impar.
  4) Int(-L,L) de função par = 2*Int(0,L) da função.
  5) int(-L,L) de função impar = 0.

  Tudo é fácil de ser notado com testes simples, o professor não explicou tudo em detalhes, e eu anotei menos ainda =P.

  6) Se f continua por partes e for par.
       Sua série de fourrier é uma série de cossenos, ou seja bn = 0.

    O motivo é que o cálculo de Bn é:

    Bn = 1/L int(-L,L) f(x)sen(n pi x/L) dx

    Agora lembrando que f é par e sen é impar, o produto é impar.
    E portanto a integral acima uma integral de uma função impar que no intervalo -L à L é 0.

  7) Se f continua por partes e impar:

    An = 1/L int (-L,L) f(x) cos(n pi x/L) dx

    Logo An = 0, pois multiplicando f(x) que é impar por cosseno que é par gera uma função impar.

    E por fim integrando-se de -L até L uma função impar o resultado é 0.

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  Etapas necessárias para calcular uma Série de Fourrier:

  1) a série é periodica?
  2) voce consegue identificar o periodo?
  3) ela é continua por partes, ou continua?

  Se tudo acima for verdadeiro então voce já consegue gerar sua série de fourrier de acordo com as fórmulas de a0, an e bn.

  4) A função é par ou impar? se for voce pode simplificar seus cálculos cortando an ou bn.

  5) Calcule a série.

  6) f' é continua por partes?

  Se sim a série de fourrier gerada de fato irá convergir para a função.
  // Na minha opinião (vinícius garcia) essa parte merece certa atenção porque isso ainda é verdade mesmo se houverem pequenas descontinuidades na função,
  // como no exemplo que o professor citou no Exercicio 1.

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  Exercicio 2:

    f(x) = x para x = [-L,L]
    f(x+2L) = f(x)

  Determine a S. Fourrier de f.

  1) é periodica
  2) periodo = 2L
  3) continua por partes.

  Podemos calcular a série.

  4) é impar!

  Não precisamos calcular An, pois ele será 0.

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  5) Calculando a Série:

    A0 = 1/L int(-L,L) f(x) dx
    Bn = 1/L int(-L,L) f(x) sen(n pi x/L) dx

  Agora notem que A0 também é uma integral de -L à L de uma função impar. logo A0 = 0.
  Restando apenas o calculo de Bn.

    Bn = 1/L int(-L,L) f(x) sen(n pi x/L) dx

  Usando a propriedade de que int de (-L,L) de func par é 2* int (-L,L) da função:

    Bn = 2/L int(0,L) f(x) sen(n pi x/L) dx

  f(x) no intervalo de 0 à L é igual à função x, podemos escrever então:

    Bn = 2/L int(0,L) x sen(n pi x/L) dx

  Supondo:

    K * cos(n pi x/L)' = x sen(n pi x/L)

  Temos:

    K * -sen(n pi x/L) * pi n = x sen(n pi x/L)
  // Errei o cálculo daqui pra baixo =P, vacilei, bem não vou apagar tudo não mas ta errado,
  // Tentarei corrigir mais tarde.
  // O resultado correto dessa integral que o professor colocou no quadro é:
  // bn = 2L/(n pi) (-1)^(n+1)

  Logo K = -1.

  E a integral fica:

    Bn = 2/L [-cos(n pi x/L)](0,L)

  ou

    Bn = 2/L (-cos(n pi) + cos(0))

  ou ainda:

    Bn = -2 cos(n pi)/L + 2/L

  E a série de fourrier fica:

    SF(f) = a0/2 + sum (n=1,inf)( an cos(n pi x / L) + bn sen (n pi x / L) )

  Mas a0 = 0, e an = 0 então fica:

    SF(f) = sum (n=1,inf) ( bn sen (n pi x / L) )

  E por fim substituindo bn = 2/L(1-cos(n pi)):

    SF(f) = sum (n=1,inf) ( 2/L(1-cos(n pi)) sen(n pi x / L) )

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  Resta agora verificar se a série converge para a função.

  6) A derivada da série é continua por partes?

  Estudando a derivada de f(x) notamos que ela é sempre igual à 1 exceto nos pontos
  de descontinuidade onde ela não é definida.

  Usando o mesmo macete do professor no Exercicio 1, vou supor a derivada nos pontos indefinidos como sendo igual à media das derivadas nos arredores ou seja 1.

  Assim a função ficará continua com o valor 1.

  De acordo com o teorema ela deve portanto convergir para o valor da função f.

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  Exercicios:

  Sessão 10.4.
    pg 451: 1, 3, 5, 14, 16.
    pg 458: 1, 4, 7, 9, 13, 14 ,15 ,16, 17, 27, 28.
    pg 464: 1, 3, 6, 14, 17.
    pg 470: 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18.

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  // Próx aula o professor dará exercicios para a sessão 10.5.

  // Fim da aula.