API tools faq
paste
Advertisement
Guest User

Untitled

a guest
Mar 18th, 2019
73
0
Never
Add comment
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 19.73 KB | None | 0 0
raw download clone embed print report
  1.  
  2. \documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева
  3.  
  4. %%% Работа с русским языком
  5. \usepackage{cmap}                   % поиск в PDF
  6. \usepackage{mathtext}               % русские буквы в фомулах
  7. \usepackage[T2A]{fontenc}           % кодировка
  8. \usepackage[utf8]{inputenc}         % кодировка исходного текста
  9. \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
  10.  
  11. %%% Дополнительная работа с математикой
  12. \usepackage{amsmath} % AMS
  13.  
  14. %%margings
  15. \usepackage[top=1.4in, bottom=1.25in, left=1.25in, right=1.25in]{geometry}
  16.  
  17. %%theorems
  18. \newtheorem{theorem}{Теорема}
  19.  
  20. %%for adjustment of scale
  21. \usepackage{scalerel}
  22.  
  23. %%for making plots
  24. \usepackage{pgfplots}
  25. \pgfplotsset{width=10cm,compat=1.9}
  26.  
  27. \begin{document} % конец преамбулы, начало документа
  28.  
  29.         \begin{titlepage} %титульный лист
  30.        
  31.         \begin{center}
  32.        \textbf{Правительство Российской Федерации}
  33.        \vspace{0.2em}
  34.            
  35.        \textbf{Федеральное государственное автономное образовательное учреждение}
  36.            
  37.        \vspace{0.1em}
  38.            
  39.        \textbf{высшего профессионального образования}
  40.        \vspace{0.2em}
  41.            
  42.        \textbf{Национальный исследовательский университет}
  43.        \vspace{0.2em}
  44.            
  45.        \textbf{"Высшая школа экономики"}
  46.            
  47.        \vspace{0.7em}
  48.            
  49.        Московский институт электроники и математики
  50.            
  51.        Прикладная математика
  52.        
  53.        \vspace{3.3em}
  54.            
  55.        Курсовая работа
  56.        \vspace{0.3em}
  57.        
  58.        по дисциплине “Математический анализ”
  59.        \vspace{0.3em}
  60.        
  61.        по теме
  62.        
  63.        
  64.        “Элементарные асимптотические методы”
  65.        \vspace{7em}
  66.        \end{center}
  67.        
  68.        
  69.        \begin{flushright}
  70.        \textbf{Работу выполнил}
  71.        \vspace{0.3em}
  72.        
  73.        Студент группы
  74.        \vspace{0.3em}
  75.        
  76.        БПМ 181
  77.        \vspace{0.3em}
  78.    
  79.    Гусейнли Эльдар Эльханович
  80.    
  81.    \vspace{2em}
  82.    
  83.    \textbf{Преподаватель}
  84.    \vspace{0.3em}
  85.    
  86.    Дёмин Дмитрий Олегович
  87.    
  88.    \end{flushright}
  89.    
  90.    \vspace{\fill} %fill the page with vacuum
  91.    
  92.     \begin{center}
  93.    Москва, 2019    
  94.    \end{center}
  95.    
  96.    \end{titlepage} %title page
  97.    
  98.     \setcounter{page}{2} %create counter for pages
  99.     \leftline{\textbf{Вариант №61}} %place the string in the center
  100.    
  101.     \vspace{1.5em}
  102.    \section*{Используемые теоремы}
  103. \begin{theorem}
  104. \label{similarity}
  105. Если $f(x) = g(x) + 0(g(x))$ при $x\to x_0$, то $f(x) \sim g(x),\;x\to x_0$ и наоборот.
  106. \end{theorem}
  107.  
  108. \begin{theorem}[Теорема Тейлора-Пеано]
  109.    \label{taylorpeano}
  110.    Пусть $f$ является функцией, дифференцируемой в $x_0$ $n$ раз, тогда
  111.    $$f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n)$$
  112.     где $$T(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
  113.     \end{theorem}
  114.  
  115.    
  116. Из этой теоремы следуют несколько стандартных разложений часто встречающихся функций:
  117.    
  118. \begin{gather}
  119.         a^x = \sum_{n = 0}^{k}\frac{(xlna)^n}{n!} + o(x^{k}); \ x\rightarrow 0\label{f1}\\
  120.         ln(1 + x) = \sum_{n = 1}^{k}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n!} + o(x^{k}); \ x\rightarrow 0\label{f2}\\
  121.         (1+x)^{a} = \sum_{n = 0}^{k}\frac{a(a-1)(a-2)...(a-n + 1)x^n}{n!} + o(x^{k});\ x\rightarrow 0\label{f3}\\
  122.         tg(x) = x +\frac{x^3}{3} + o(x^3); \; x \rightarrow 0\label{f4}\\
  123.         sin(x) = \sum_{n = 1}^{k}\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!} ; \ x \rightarrow 0 \label{f5}
  124. \end{gather}
  125.        
  126.  
  127. \begin{theorem}[Формула Ньютона-Лейбница]
  128. \label{newtonleibniz}
  129. Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ и $F$ - первообразная для $f$, тогда $\int\limits_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)$
  130. \end{theorem}
  132. \begin{theorem}
  133. \label{someFtheorem}
  134.   Пусть функции $f(t),\;g(t)$ непрерывны на полуоси $[a, +\infty)$,\\
  135.   $g(t) \neq 0,\; t \in [a, +\infty)$. Положим
  136.   $F(x) = \int\limits_a^x f(t)dt,\;\;G(x) = \int\limits_a^x g(t)dt$\\
  137.   Тогда
  138.   \begin{enumerate}
  139.       \item если $f(t) \sim g(t), t \to +\infty$, и $G(x) \to \infty, x \to +\infty$, то $F(x) \to \infty$ и
  140. $F(x) \sim G(x),\;\;x \to +\infty$;
  141.       \item если $f(t) = \mathcal{O}(g(t)), t \to +\infty$, то $F(x) = \mathcal{O}(G(x))\;\;x \to +\infty$;
  142.       \item если $f(t) = o(g(t)), t \to +\infty$, и $G(x) \to \infty, x \to +\infty$, то $F(x) = o(G(x)),\;\;x \to +\infty$.
  143.   \end{enumerate}
  144. \end{theorem}
  146. \begin{theorem}
  147. \label{MoresomeFtheorem}
  148.   Пусть функции $f(t),\;g(t)$ непрерывны на полуоси $[a, +\infty)$,\\
  149.   $g(t) \neq 0,\; t \in [a, +\infty)$. Тогда
  150.   \begin{enumerate}
  151.       \item если $f(t) \sim g(t), t \to +\infty$, и несобственный интеграл $\int\limits_a^{+\infty}g(t)dt$ сходится, то сходится и несобственный интеграл $\int\limits_a^{+\infty}f(t)dt$, причем
  152.       $$\int\limits_x^{+\infty}f(t)dt\sim\int\limits_x^{+\infty}g(t)dt,\;\;x\to+\infty$$
  153.      
  154.       \item если $f(t) = \mathcal{O}(g(t)), t \to +\infty$, и несобственный интеграл $\mathlarger{\int\limits_a^{+\infty}g(t)dt}$ сходится, то сходится также $\mathlarger{\int\limits_a^{+\infty}f(t)dt}$ и $$\int\limits_x^{+\infty}f(t)dt = \mathcal{O}\Bigg(\int\limits_x^{+\infty} g(t)dt\Bigg)\;\;x \to +\infty$$
  155.      
  156.       \item утверждение пункта 2) теоремы остается в силе, если в нем символ $\mathcal{O}$ заменить символом $o$.
  157.   \end{enumerate}
  158. \end{theorem}
  160.    \newpage
  161.    
  162.    \section*{Задание №1,2}
  163.    
  164.    В задачах 1 и 2 нужно написать асимптотические формулы для данной $f(x)$ при $x\rightarrow a$, причем в ответе должно быть не менее двух членов асимптотитческой формулы, не считая остатка.
  165.    \\\\
  166.    1. $f(x) = \left(\dfrac{2^x +1}{2}\right)^{\dfrac{1}{sinx}} ,  \;\;\;\; x\rightarrow 0$.
  167.    \\\\
  168.  
  169.   Воспользуемся формулой \ref{f3} и разложим $2^x$ в числителе, получим:\\
  170.    \begin{gather*}
  171.        f(x) = \left(\frac{1 + ln2x +o(x) +1}{2}\right)^\frac{1}{\sin{x}}=\left(\frac{2+ln2x + o(x)}{2}\right)^\frac{1}{sinx}=\\ = \left(1 + \frac{ln2x + o(x)}{2}\right)^\frac{1}{sinx}  =
  172.        \scaleobj{1.3}{e^{\frac{1}{\sin{x}}ln\left(1 + \frac{ln2x + o(x)}{2}\right)}}
  173.    \end{gather*}
  174.    
  175.    
  176.    Воспользуемся формулой \ref{f2} и разложим логарифм в степени, и получим вместо него:
  177.    
  178.    \begin{gather*}
  179.        ln\left(1 + \frac{ln2x + o(x)}{2}\right) = \frac{ln2x +o(x)}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{ln2x +o(x)}{2}\right)^2 + o(x^2) = \\ =
  180.        \frac{ln2x+o(x)}{2} + \frac{(ln^22)x^2}{8} + o(x) = \frac{4ln2x+(ln^{2}2)x^2}{8} + o(x)
  181.    \end{gather*}
  183.    Разложим синус в знаменателе до 3-го члена, воспользовавшись формулой \ref{f5}, получим:
  184.    
  185.    \begin{gather*}
  186.        \frac{4ln2x + (ln^22)x^2 + o(x)}{8(x - x^3/6 + o(x^3))} = \frac{4ln2 + (ln^22)x + o(1)}{8(1 - x^2/6 + o(x^2))} =\\ =\frac{1}{8}(4ln2 + (ln^22)x + o(1))(1 - x^2/6 + o(x^2))^{-1}
  187.    \end{gather*}
  188.    
  189.    Воспользуемся формулой \ref{f3}, чтобы разложить знаменатель:
  190.    
  191.    \begin{gather*}
  192.        \frac{1}{8}(4ln2 + (ln^22)x + o(1))(1 + x^2/6 + o(x^2) + o(x^2/6 + o(x^2))) =\\ =\frac{1}{8}(4ln2 + (ln^22)x + o(1))(1 + x^2/6 + o(x^2))
  193.    \end{gather*}
  194.    
  195.    Перемножив, получим в итоге такую степень экспоненты:
  196.    \begin{gather*}
  197.       \scaleobj{1.2}{e}^\scaleobj{1.5}{{\frac{1}{8}(4ln2 + (ln^22)x +\frac{2}{3}(ln2)x^2 + o(x^2)}} =
  198.    \end{gather*}
  199.    
  200.    \newpage
  201.    Теперь вынесем из степени $\frac{4ln2}{8}$, получим:\\
  202.    \begin{gather*}
  203.      \scaleobj{1.2}{e}^\scaleobj{1.5}{{\frac{1}{8}(4ln2 + (ln^22)x +\frac{2}{3}(ln2)x^2 + o(x^2)}} = \\ \sqrt{2}\scaleobj{1.2}{e}^\scaleobj{1.5}{{\frac{1}{8}(1 + (ln^22)x +\frac{2}{3}(ln2)x^2 + o(x^2)}}
  204.    \end{gather*}
  205.    
  206.    Воспользовавшись формулой \ref{f1} разложим экспоненту в ряд до 2 члена:
  207.    
  208.    \begin{gather*}
  209.        \sqrt{2}(1 + \frac{(ln^22)x + \frac{2}{3}ln2x^2 + o(x^2)}{8} + \frac{1}{2}\left(\frac{(ln^22)x + \frac{2}{3}ln2x^2 +o(x^2)}{8}\right)^2 + o(x^2)) = \\
  210.        = \sqrt{2}(1 + \frac{(ln^22)x}{8} + \frac{(ln2)x^2}{12} + \frac{(ln^42)x^2}{108} + o(x^2)) = \\
  211.        = \sqrt{2} + \frac{(ln^22)x}{4\sqrt{2}} + x^2\left(\frac{ln^22}{6\sqrt{2}} + \frac{ln^42}{64\sqrt{2}}\right) + o(x^2))
  212.    \end{gather*}
  213.    \\\\
  214.    Ответ: $f(x) = \sqrt{2} + \frac{(ln^22)x}{4\sqrt{2}} + x^2\left(\frac{ln^22}{6\sqrt{2}} + \frac{ln^42}{64\sqrt{2}}\right) + o(x^2))$
  215.    \\\\\\
  216.    1. $f(x) = \sqrt[3]{x^2 +x + 7} -xsin\frac{x}{x^2 + 1} ,  \;\;\;\; x\rightarrow \infty$.
  217.    \\\\
  218.    
  219.    Вынесим из под корня $\sqrt[3]{x^2}$ и
  220.    разложим с помощью формулы \ref{f3} выражение с радикалом:
  221.    \begin{gather*}
  222.        f(x) = x^{\frac{2}{3}}(1 + x^{-1} + 7x^{-2})^\frac{1}{3} - xsin\frac{x}{x^2 +1}\; = \;x^{\frac{2}{3}}(1 + \frac{1}{3}x^{-1} + \frac{7}{3}x^{-2} + o(x^{-2})) - xsin\frac{x}{x^2 +1}
  223.    \end{gather*}
  224.    
  225.    Теперь разложим синус с помощью формулы \ref{f5}:
  226.    \begin{gather*}
  227.        x^{\frac{2}{3}}(1 + \frac{1}{3}x^{-1} + \frac{7}{3}x^{-2} + o(x^{-2})) - x(\frac{x}{x^2 +1} + o(\frac{x}{x^2 +1})) = \\
  228.        = x^{\frac{2}{3}}(1 + \frac{1}{3}x^{-1} + \frac{7}{3}x^{-2} + o(x^{-2})) - \frac{x^2}{x^2 +1} + o(\frac{x^2}{x^2 +1})
  229.    \end{gather*}
  230.    
  231.    Легко видеть, что $\frac{x^2}{x^2 +1} \sim 1$, т.к. $\displaystyle \lim_{x\to\infty }\left(\frac{1}{\frac{x^2}{x^2 +1}}\right) = 1$. Тогда  $\frac{x^2}{x^2 +1} = 1 + o(1)$. Получаем:
  232.    
  233.    \begin{gather*}
  234.        x^{\frac{2}{3}}(1 + \frac{1}{3}x^{-1} + \frac{7}{3}x^{-2} + o(x^{-2})) - 1 + o(1) + o(1 + o(1)) = \\
  235.        = x^{\frac{2}{3}}(1 + \frac{1}{3}x^{-1} + \frac{7}{3}x^{-2} + o(x^{-2})) - 1 + o(1) = \\
  236.        = x^{\frac{2}{3}} - 1 + o(1)
  237.    \end{gather*}
  238.    
  239.    Ответ: $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - 1 + o(1) $
  240.    
  241.     \newpage %make new page
  242.    
  243.     \section*{Задание №3}
  244.    В задаче 3 требуется, используя формулу Тейлора, найти асимптотику корней уравнения, причем в отвее должно быть не менее двух членов асимптотики, не считая остатка.
  245.    \\\\
  246.    3. $ctgx - \scaleobj{1.3}{\frac{1}{x}} = 0, \;\;x>0$.\\\\
  247.    
  248.    Легко видеть, что при $x \rightarrow +\infty:\;\;\; \scaleobj{1.4}{\frac{1}{x}} \rightarrow +0 $
  249.    , тогда найдем такую\\ последовательность корней $x_n \rightarrow +\infty$,  чтобы $ctg(x_n) \rightarrow +0$.
  250.    \\\\
  251.    Очевидно, что первым членами будут: $x_n = \frac{\pi}{2} + \pi n + \alpha_n$, где $\alpha_n \rightarrow 0$
  252.    \\
  253.    Чтобы найти $\alpha_n$ просто подставим корень в уравнение:
  254.    \begin{gather*}
  255.        ctg(\scaleobj{1.2}{\frac{\pi}{2}} + \pi n + \alpha_n) - \frac{1}{\scaleobj{1.5}{\frac{\pi}{2}} + \pi n + \alpha_n}= 0; \\\\
  256.        -tg(\alpha_n) = \frac{1}{\scaleobj{1.5}{\frac{\pi}{2}} + \pi n + \alpha_n};
  257.    \end{gather*}
  258.  
  259.    Используя формулу \ref{f5} видим, что у нас\\\\ $-tg(\alpha_n) \sim -\alpha_n,\;\;\;$ а также замечаем:  $ \scaleobj{1.5}{\frac{1}{\scaleobj{1.03}{\frac{\pi}{2}} + \pi n + \alpha_n } \scaleobj{0.7}{\sim}  \frac{1}{\scaleobj{1.1}{\pi n}}},\;\;$   при $\alpha_n \rightarrow 0$
  260.    \\\\
  261.    Тогда $\alpha_n \sim -\frac{1}{\scaleobj{1.2}{\pi n}}\;$ и $\;\alpha_n = -\frac{1}{\scaleobj{1.2}{\pi n}} + o(\frac{1}{n})$\\\\
  262.    Получаем корень с двумя членами асимптотики: $x_n = \scaleobj{1.2}{\frac{\pi}{2}} + \pi n + -\frac{1}{\scaleobj{1.2}{\pi n}} + o(\frac{1}{n})$\\при $\alpha_n \rightarrow 0$
  263.    \\\\
  264.    Ответ:  $x_n = \scaleobj{1.2}{\frac{\pi}{2}} + \pi n + -\frac{1}{\scaleobj{1.2}{\pi n}} + o(\frac{1}{n})\;\;$ при $\alpha_n \rightarrow 0$
  265.    
  266.    \newpage
  267.    \section*{Задание №4,5}
  268.    
  269.    В задачах 4 и 5 требуется написать асимптотические представление функции, заданной интегралом. Одна из них решается интегрированием по частям и там требуется записать два члена асимптотической формулы. Другая решается с исползованием формулы Тейлора  и в ней асимптотическое представление должно быть доведено до члена, являющегося бесконечно малой функцией при    при $x \rightarrow a$.
  270.    \\\\
  271.    4.  $F(x) = \int_x^{+\infty}{\frac{sint^2}{t\sqrt{t}}dt},\;\;x \rightarrow +\infty$.
  272.    
  273.    \begin{gather*}
  274.        F(x) = \int_x^{+\infty}sint^2 t^\frac{-3}{2}dt = \int_x^{+\infty}sint^22t\frac{t^{\frac{-5}{2}}}{2}dt = \\
  275.        = cost^2(-\frac{t^{\frac{-5}{2}}}{2})\;\bigg|_{x}^{+\infty} -
  276.        \int_x^{+\infty}-cost^{2}(-\frac{5}{4})t^{-\frac{7}{2}}dt  = \\
  277.        -cost^2(\frac{t^{-\frac{5}{2}}}{2})\;\bigg|_{x}^{+\infty}-
  278.        \int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt  \\
  279.    \end{gather*}
  280.  
  281.    Все переходы выше есть только интегрирование по частям определенного интеграла
  282.    \\
  283.    Исслудуем теперь отдельно  $\int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt$\\
  284.    \begin{gather*}
  285.        \int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt = \\
  286.        sint^2\frac{5}{8}t^{-\frac{9}{2}}\;\bigg|_{x}^{+\infty} -
  287.      \int_x^{+\infty}sint^{2}(\frac{5}{8})(-\frac{9}{2})t^{-\frac{11}{2}}dt
  288.      =\\
  289.      \displaystyle\lim_{t \to \infty}(sint^2\frac{5}{8}t^{-\frac{9}{2}}) - sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + \int_x^{+\infty}sint^{2}(\frac{5}{8})(\frac{9}{2})t^{-\frac{11}{2}}dt = \\
  290.      -sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + \int_x^{+\infty}sint^{2}(\frac{5}{8})(\frac{9}{2})t^{-\frac{11}{2}}dt \\
  291.    \end{gather*}
  292.    
  293.    Теперь замечаем, что по теореме 5\\\\
  294.    $\int_x^{+\infty}sint^{2}(\frac{5}{8})(\frac{9}{2})t^{-\frac{11}{2}}dt = o(\int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt)$\\ \\Следственно
  295.    $\int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt$ \sim$ -sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}}$
  296.    \\\\
  297.    Тогда $\int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt =
  298.    -sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + o(-sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}})  = \\
  299.    = -sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + o(x^{\frac{-9}{2}})$
  300.    \\\\
  301.    Возвращаемся к предыдущим выражениям:
  302.    \begin{gather*}
  303.        -cost^2(\frac{t^{-\frac{5}{2}}}{2})\;\bigg|_{x}^{+\infty}-
  304.        \int_x^{+\infty}cost^{2}2t(\frac{5}{8})t^{-\frac{9}{2}}dt  =\\
  305.        = -cost^2(\frac{t^{-\frac{5}{2}}}{2})\;\bigg|_{x}^{+\infty}+
  306.        sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + o(x^{\frac{-9}{2}}) = \\
  307.        = \displaystyle\lim_{t \to \infty}(-cost^2(\frac{t^{-\frac{5}{2}}}{2})) - (-cosx^2(\frac{x^{-\frac{5}{2}}}{2})) + sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + o(x^{\frac{-9}{2}})=\\
  308.        =cosx^2(\frac{x^{-\frac{5}{2}}}{2}) + sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + o(x^{\frac{-9}{2}})
  309.    \end{gather*}
  310.    
  311.    Ответ: $F(x) = cosx^2(\frac{x^{-\frac{5}{2}}}{2}) + sinx^2\frac{5}{8}x^{-\frac{9}{2}} + o(x^{\frac{-9}{2}})$\\\\
  312.    
  313.    5.$F(x) = \int_x^{1}\frac{e^{tgt}}{t}dt, \;\; x\rightarrow +0$
  314.    \\\\
  315.  Пусть $f(x) = \frac{e^{tgt}}{t}$. Разложим $f(x)$ с помощью формул \ref{f1} и \ref{f4} при $t\rightarrow +0 $:
  316.     \begin{gather*}
  317.        \frac{e^{tgt}}{t} = \frac{e^{t + \frac{t^3}{3}+o(t^3)}}{t} = \frac{1 + t + \frac{t^2}{2} + o(t^2)}{t} = \frac{1}{t} + 1 + \frac{t}{2}+o(t)
  318.    \end{gather*}
  319.    
  320.    Пусть $g(x) =  \frac{1}{t} + 1 + \frac{t}{2}$
  321.    \\\\
  322.    Проведем замену $t = \frac{1}{r}, \;dt = -\frac{1}{r^2}dr, \; x = 1/y, \;\; y \rightarrow +\infty$
  323.    
  324.    \begin{gather*}
  325.        F(y) = \int_1^y\frac{e^{tg1/r}}{1/r}\frac{1}{r^2}dr\\
  326.        f(r) = \frac{1}{r^2}(\frac{e^{tg1/r}}{1/r}) = \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{2r^3} + o(\frac{1}{r^3})=
  327.        \\=g(r) + o(\frac{1}{r^3}) ,\;\; r \rightarrow +\infty
  328.        \\\\
  329.    G(y) = \int_1^y(\frac{1}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{2r^3})dr = (lnr - \frac{1}{r} - \frac{1}{4r^2})\;\bigg|_{1}^{y} = \\
  330.    =lnr - \frac{1}{r} - \frac{1}{4r^2} + \frac{5}{4}
  331.    \end{gather*}
  332.    \\
  333.    Так как $f(x) \sim g(x)$, $f, g$ непрерывны на полуоси $[1, +\infty)$\\ и $G(y) \rightarrow \infty,\; y \rightarrow +\infty$, то по теореме 4 $F(y) \sim G(y),\; y \rightarrow +\infty$
  334.    \\\\
  335.    Исследуем функцию $u(r) =f(x) -g(x) =  o(\frac{1}{r^3}), \;r \rightarrow +\infty$
  336.    \begin{align*}
  337.     \int\limits_1^y u(r)dr = \int\limits_1^{+\infty}u(r)dr - \int\limits_y^{+\infty}u(r)dr
  338.     \end{align*}
  339.    
  340.      Из пункта 3 теоремы 5 следует, что $\mathcal{Z} =  \mathlarger{\int\limits_1^{+\infty}h(r)dr}$ сходится, так как
  341. $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{r^3}dr = (-\frac{1}{2r^2})\;\Bigg\rvert_1^{+\infty} = -\frac{1}{2}$$
  342. сходится
  343. и
  344. \begin{gather*}
  345.   \label{reminder}
  346.     \begin{split}
  347.         \int\limits_y^{+\infty}u(r)dr &= o\Bigg(\int\limits_y^{+\infty}\frac{1}{r^3}\Bigg)=o\Bigg(\bigg(-\frac{1}{r^2}\;\;\bigg)\Bigg\rvert_y^{+\infty}\Bigg)=\\
  348.         &=o\Big(\frac{1}{y^2}\Big)
  349.     \end{split}
  350. \end{gather*}
  351. \\
  352. Тогда получаем:
  353. \\
  354.    \begin{gather*}
  355.        F(y) = G(y) + \int\limits_1^{y}(f(r) - g(r))dr =   G(y) + \int\limits_1^{y}u(r)dr =\\
  356.    =G(y) + \mathcal{Z} + o\Big(\frac{1}{y}\Big) = lny - \frac{1}{y} -\frac{1}{4y^2} + \mathcal{Z} +\frac{5}{4} + o(\frac{1}{y})
  357.    \end{gather*}
  358.    Вернемся к замене $y = 1/x$
  359.    
  360.    \begin{gather*}
  361.        F(x) = ln(1/x) - x - \frac{x^2}{4} + \mathcal{Z} + \frac{5}{4} + o(x)
  362.    \end{gather*}
  363.    \\\\
  364.    
  365.    Ответ:$ F(x) =  ln(1/x) - x - \frac{x^2}{4} + \mathcal{Z} +\frac{5}{4} + o(x)$,\\
  366.    где $\mathcal{Z} = \mathlarger{\int\limits_0^1}\Big(\frac{e^{tgt}}{t} -(\frac{1}{t} + 1 + \frac{t}{2}  )\Big)dt$,   $x \rightarrow +0$
  367.  
  368.  
  369.  
  370. \end{document} % конец документа
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement
Public Pastes
Advertisement
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy.  OK, I Understand
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up, it unlocks many cool features!