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1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2
% Figures de convexité par YetAnother_MT%
3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
4
5
%Préambule plutot  minimal.

6
\documentclass[a4paper,11pt]{article}

7
8
\usepackage[utf8]{inputenc}

9
\usepackage[T1]{fontenc}

10
\usepackage{lmodern}

11
\usepackage[french]{babel}

12
13
%Le package de maths de base

14
\usepackage{amsmath}

15
% Un paquet de symboles mathématiques 

16
\usepackage{amssymb}

17
%Permet d'utiliser \mathscr{} pour les lettes calligraphiées

18
\usepackage{mathrsfs}

19
20
%Permet d'utiliser l'envirronnement \begin{comment} ...\end{comment} pour faire de longs commentaires

21
%sans utiliser %

22
\usepackage{verbatim}

23
24
%Définition des marges du document

25
\usepackage[top=1cm, bottom=1cm, right=1cm, left=1cm]{geometry}

26
27
28
%Package de dessin avec ses sous-packages

29
\usepackage{tikz}

30
\usetikzlibrary{positioning}

31
\usetikzlibrary{calc}

32
\usetikzlibrary{babel}%compatibilité babel & pgf

33
34
\usetikzlibrary{arrows,arrows.meta}

35
%Pour des T non italiques en mode maths

36
\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T}%

37
38
\begin{document}

39
40
41
%Figure 1

42
{

43
\begin{center}

44
%Warning : declare function n'est pas compatible avec certains container genre parbox

45
% ca provoque plein d'erreurs dures à déchiffrer.

46
% Si c'est incontournable, il faut virer declare et mettre les expressions correspondantes

47
%dans le reste du code.

48
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,declare function={ f(\x)= 0.4*(.8*\x-1.6)^2+1; 

49
                   fprime(\x)     = 2*0.4*.8*(.8*\x-1.6);}]

50
51
\tikzstyle{every node}=[font=\footnotesize]

52
53
\pgfmathsetmacro{\xmin}{-1}

54
\pgfmathsetmacro{\ymin}{-1}

55
\pgfmathsetmacro{\xmax}{7}

56
\pgfmathsetmacro{\ymax}{5}

57
58
59
\pgfmathsetmacro{\xA}{1}

60
\pgfmathsetmacro{\xB}{4.5}

61
\pgfmathsetmacro{\yA}{f(\xA)}

62
\pgfmathsetmacro{\yB}{f(\xB)}

63
\pgfmathsetmacro{\t}{.6}

64
\pgfmathsetmacro{\xT}{\t*\xA+(1-\t)*\xB}

65
\pgfmathsetmacro{\yT}{f(\xT)}

66
\pgfmathsetmacro{\yTS}{\t*\yA+(1-\t)*\yB}

67
68
\pgfmathsetmacro{\tA}{fprime(\xA)}

69
\pgfmathsetmacro{\tT}{fprime(\xT)}

70
\pgfmathsetmacro{\tB}{fprime(\xB)}

71
72
%Axes

73
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[above] {$x$} node[below] {$\mathbb{R}$};

74
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[right] {$y$} node[left] {$\mathbb{R}$};

75
76
77
78
\begin{scope}

79
%Pour pas que la courbe deborde du cadre.

80
\clip(\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);

81
\draw[thick,smooth,samples=100,domain=\xmin:\xmax] plot(\x,{f(\x)});

82
%Malheureusement lui il faut le placer à la main :

83
\node () at (5.4,4.7) {$\mathscr{C}_f$};

84
\end{scope}

85
86
87
%Les coches dans l'axe des abscisses et les labels.

88
\draw[thick,shift={(\xA,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}a$};

89
\draw[thick,shift={(\xB,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}b$};

90
\draw[thick,shift={(\xT,0)},color=black] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$ta+(1-t)b$};

91
92
93
94
%Les sécantes

95
\draw[thick,color=red] (\xA,\yA) --node[pos=.5] (CS) {}  (\xB,\yB);

96
97
98
%Les pointillés pour les points barycentres

99
\draw[thick,dashed,color=black] (\xT,0) -- (\xT,\yTS);

100
\draw[thick,dashed,color=black]  (\xT,\yT) -- (0,\yT) node[left] {$f(ta+(1-t)b)$};

101
\draw[thick,dashed,color=black] (\xT,\yTS)  -- (0,\yTS) node[left] {$tf(a)+(1-t)f(b)$};

102
103
104
105
%Les 4 points

106
\draw[fill,color=red] (\xA,\yA) circle (2pt);

107
\draw[fill,color=red] (\xB,\yB) circle (2pt);

108
\draw[fill,color=black] (\xT,\yT) circle (2pt);

109
\draw[fill,color=black] (\xT,\yTS) circle (2pt);

110
111
112
113
\end{tikzpicture}

114
115
\end{center}

116
117
}

118
119
120
%Figure 2

121
{

122
\begin{center}

123
124
%Warning : declare function n'est pas compatible avec certains container genre parbox

125
% ca provoque plein d'erreurs dures à déchiffrer.

126
% Si c'est incontournable, il faut virer declare et mettre les expressions correspondantes

127
%dans le reste du code.

128
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,declare function={ f(\x)= 0.4*(.8*\x-1.6)^2+1; 

129
                   fprime(\x)     = 2*0.4*.8*(.8*\x-1.6);}]

130
131
\tikzstyle{every node}=[font=\footnotesize]

132
133
\pgfmathsetmacro{\xmin}{-1}

134
\pgfmathsetmacro{\ymin}{-1}

135
\pgfmathsetmacro{\xmax}{7}

136
\pgfmathsetmacro{\ymax}{5}

137
138
139
\pgfmathsetmacro{\xA}{1}

140
\pgfmathsetmacro{\xB}{4}

141
\pgfmathsetmacro{\yA}{f(\xA)}

142
\pgfmathsetmacro{\yB}{f(\xB)}

143
144
\pgfmathsetmacro{\tA}{fprime(\xA)}

145
\pgfmathsetmacro{\tB}{fprime(\xB)}

146
147
%Axes

148
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[above] {$x$} node[below] {$\mathbb{R}$};

149
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[right] {$y$} node[left] {$\mathbb{R}$};

150
151
152
153
\begin{scope}

154
%Pour pas que la courbe deborde du cadre.

155
\clip(\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);

156
\draw[thick,smooth,samples=100,domain=\xmin:\xmax] plot(\x,{f(\x)}) ;

157
\node () at (5.4,4.7) {$\mathscr{C}_f$};

158
\end{scope}

159
160
161
%Les coches dans l'axe des abscisses et les labels.

162
\draw[thick,shift={(\xA,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}a$};

163
\draw[thick,shift={(\xB,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}b$};

164
165
166
167
%Les sécantes

168
\draw[thick,color=red] (\xA,\yA) --node[pos=.5] (CS) {} (\xB,\yB);

169
170
171
%Fleches donnant les pentes, orientation angulaire à partir du point de contact marqué, sans coller au point de contact (le .2)

172
\draw[>=stealth,thick, <-,color=red] ($(CS) + (90:.2)$) -- +(90:1.5) node[above] {Pente $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$};

173
174
175
%Les tangentes

176
177
\draw[thick] ($(\xA,\yA) - 1.5*(1,\tA)$) --node[pos=.1,below left] {$T_a$} node[pos=.8] (CA) {} ($(\xA,\yA) + (1,\tA)$);

178
\draw[thick] ($(\xB,\yB) - (1,\tB)$) --node[pos=.1,below right] {$T_b$} node[pos=.8] (CB) {} ($(\xB,\yB) + (1,\tB)$);

179
180
181
%Fleches donnant les pentes, orientation angulaire à partir du point de contact marqué, sans coller au point de contact (le .2)

182
\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CA) + (-90:.2)$) -- +(-90:1.5) node[below] {Pente $f'(a)$};

183
\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CB) + (20:.2)$) -- +(20:1.5) node[right] {Pente $f'(b)$};

184
185
186
%Les points

187
\draw[fill,color=red] (\xA,\yA) circle (2pt);

188
\draw[fill,color=red] (\xB,\yB) circle (2pt);

189
190
191
192
\end{tikzpicture}

193
194
\end{center}

195
}

196
197
%Figure 3

198
{

199
\begin{center}

200
201
%Warning : declare function n'est pas compatible avec certains container genre parbox

202
% ca provoque plein d'erreurs dures à déchiffrer.

203
% Si c'est incontournable, il faut virer declare et mettre les expressions correspondantes

204
%dans le reste du code.

205
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,declare function={ f(\x)= 0.4*(.8*\x-1.6)^2+1; 

206
                   fprime(\x)     = 2*0.4*.8*(.8*\x-1.6);}]

207
208
\tikzstyle{every node}=[font=\footnotesize]

209
210
\pgfmathsetmacro{\xmin}{-1}

211
\pgfmathsetmacro{\ymin}{-1}

212
\pgfmathsetmacro{\xmax}{7}

213
\pgfmathsetmacro{\ymax}{5}

214
215
216
\pgfmathsetmacro{\xA}{2.5}

217
\pgfmathsetmacro{\yA}{f(\xA)}

218
219
\pgfmathsetmacro{\tA}{fprime(\xA)}

220
221
%Axes

222
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[above] {$x$} node[below] {$\mathbb{R}$};

223
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[right] {$y$} node[left] {$\mathbb{R}$};

224
225
226
227
\begin{scope}

228
%Pour pas que la courbe deborde du cadre.

229
\clip(\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);

230
\draw[thick,smooth,samples=100,domain=\xmin:\xmax] plot(\x,{f(\x)});

231
%Malheureusement lui il faut le placer à la main :

232
\node () at (5.4,4.7) {$\mathscr{C}_f$};

233
\end{scope}

234
235
236
%Les coches dans l'axe des abscisses et les labels.

237
\draw[thick,shift={(\xA,0)},color=black] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}a$};

238
239
%Les tangentes

240
241
\draw[thick] ($(\xA,\yA) - 3*(1,\tA)$) --node[pos=.95,below] {$T_a$} node[pos=.8] (CA) {} ($(\xA,\yA) + 3*(1,\tA)$);

242
243
%\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CA) + (-90:.2)$) -- +(-90:1.5) node[below] {Pente $f'(a)$};

244
245
%Le point

246
\draw[fill,color=black] (\xA,\yA) circle (2pt);

247
248
\end{tikzpicture}

249
250
\end{center}

251
}

252
253
%Figure 4

254
{

255
\begin{center}

256
257
%Warning : declare function n'est pas compatible avec certains container genre parbox

258
% ca provoque plein d'erreurs dures à déchiffrer.

259
% Si c'est incontournable, il faut virer declare et mettre les expressions correspondantes

260
%dans le reste du code.

261
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,declare function={ f(\x)= 0.4*(.8*\x-1.6)^2+1; 

262
                   fprime(\x)     = 2*0.4*.8*(.8*\x-1.6);}]

263
264
\tikzstyle{every node}=[font=\footnotesize]

265
266
\pgfmathsetmacro{\xmin}{-1}

267
\pgfmathsetmacro{\ymin}{-1}

268
\pgfmathsetmacro{\xmax}{7}

269
\pgfmathsetmacro{\ymax}{5}

270
271
272
\pgfmathsetmacro{\xA}{1}

273
\pgfmathsetmacro{\xB}{4.5}

274
\pgfmathsetmacro{\yA}{f(\xA)}

275
\pgfmathsetmacro{\yB}{f(\xB)}

276
\pgfmathsetmacro{\t}{.6}

277
\pgfmathsetmacro{\xT}{\t*\xA+(1-\t)*\xB}

278
\pgfmathsetmacro{\yT}{f(\xT)}

279
280
\pgfmathsetmacro{\tA}{fprime(\xA)}

281
\pgfmathsetmacro{\tT}{fprime(\xT)}

282
\pgfmathsetmacro{\tB}{fprime(\xB)}

283
284
%Axes

285
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[above] {$x$} node[below] {$\mathbb{R}$};

286
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[right] {$y$} node[left] {$\mathbb{R}$};

287
288
289
290
\begin{scope}

291
%Pour pas que la courbe deborde du cadre.

292
\clip(\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);

293
\draw[thick,smooth,samples=100,domain=\xmin:\xmax] plot(\x,{f(\x)});

294
%Malheureusement lui il faut le placer à la main :

295
\node () at (5.4,4.7) {$\mathscr{C}_f$};

296
\end{scope}

297
298
299
%Les coches dans l'axe des abscisses et les labels.

300
\draw[thick,shift={(\xA,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}a$};

301
\draw[thick,shift={(\xB,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}b$};

302
\draw[thick,shift={(\xT,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}c$};

303
304
305
306
%Les sécantes

307
\draw[thick,color=red] (\xA,\yA) --node[pos=.5] (CS1) {} (\xT,\yT) --node[pos=.5] (CS2) {} (\xB,\yB);

308
309
310
%Fleches donnant les pentes, orientation angulaire à partir du point de contact marqué, sans coller au point de contact (le .2 ou .1)

311
\draw[>=stealth,thick, <-,color=red] ($(CS1) + (90:.2)$) -- +(90:1.5) node[above] {Pente $\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}$};

312
\draw[>=stealth,thick, <-,color=red] ($(CS2) + (-10:.1)$) -- +(-10:1.5) node[right] {Pente $\dfrac{f(b)-f(c)}{b-c}$};

313
314-
%La figure de référence qui contient un peu tout.

314+
315
%Les tangentes

316
\draw[thick] ($(\xT,\yT) - 2*(1,\tT)$) -- node[pos=.9,below right] {$T_c$} node[pos=.2] (CT) {} ($(\xT,\yT) + 2*(1,\tT)$);

317
\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CT) + (-70:.2)$) -- +(-70:2) node[below] {Pente $f'(c)$};

318
319
320
%Les points

321
\draw[fill,color=red] (\xA,\yA) circle (2pt);

322
\draw[fill,color=red] (\xB,\yB) circle (2pt);

323
\draw[fill,color=red] (\xT,\yT) circle (2pt);

324
325
\end{tikzpicture}

326
327
\end{center}

328
}

329
330
%La figure de référence qui contient un peu tout, en commentaire.

331
\begin{comment}

332
{

333
\begin{center}

334
335
%Warning : declare function n'est pas compatible avec certains container genre parbox

336
% ca provoque plein d'erreurs dures à déchiffrer.

337
% Si c'est incontournable, il faut virer declare et mettre les expressions correspondantes

338
%dans le reste du code.

339
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,declare function={ f(\x)= 0.4*(.8*\x-1.6)^2+1; 

340
                   fprime(\x)     = 2*0.4*.8*(.8*\x-1.6);}]

341
342
\tikzstyle{every node}=[font=\footnotesize]

343
344
\pgfmathsetmacro{\xmin}{-1}

345
\pgfmathsetmacro{\ymin}{-1}

346
\pgfmathsetmacro{\xmax}{7}

347
\pgfmathsetmacro{\ymax}{5}

348
349
350
\pgfmathsetmacro{\xA}{1}

351
\pgfmathsetmacro{\xB}{4.5}

352
\pgfmathsetmacro{\yA}{f(\xA)}

353
\pgfmathsetmacro{\yB}{f(\xB)}

354
\pgfmathsetmacro{\t}{.6}

355
\pgfmathsetmacro{\xT}{\t*\xA+(1-\t)*\xB}

356
\pgfmathsetmacro{\yT}{f(\xT)}

357
\pgfmathsetmacro{\yTS}{\t*\yA+(1-\t)*\yB}

358
359
\pgfmathsetmacro{\tA}{fprime(\xA)}

360
\pgfmathsetmacro{\tT}{fprime(\xT)}

361
\pgfmathsetmacro{\tB}{fprime(\xB)}

362
363
%Axes

364
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (\xmin,0) -- (\xmax,0) node[above] {$x$} node[below] {$\mathbb{R}$};

365
\draw[>={angle 60},thick,->,color=black] (0,\ymin) -- (0,\ymax) node[right] {$y$} node[left] {$\mathbb{R}$};

366
367
368
369
\begin{scope}

370
%Pour pas que la courbe deborde du cadre.

371
\clip(\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);

372
\draw[thick,smooth,samples=100,domain=\xmin:\xmax] plot(\x,{f(\x)});

373
%Malheureusement lui il faut le placer à la main :

374
\node () at (5.4,4.7) {$\mathscr{C}_f$};

375
\end{scope}

376
377
378
%Les coches dans l'axe des abscisses et les labels.

379
\draw[thick,shift={(\xA,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}a$};

380
\draw[thick,shift={(\xB,0)},color=red] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$\vphantom{(t)}b$};

381
\draw[thick,shift={(\xT,0)},color=black] (0,0.05) -- (0,-0.05) node[below] {$ta+(1-t)b$};

382
383
384
385
%Les sécantes

386
\draw[thick,color=red] (\xA,\yA) --node[pos=.5] (CS) {}  (\xB,\yB);

387
\draw[thick,color=red] (\xA,\yA) -- (\xT,\yT) -- (\xB,\yB);

388
\draw[>=stealth,thick, <-,color=red] ($(CS) + (90:.2)$) -- +(90:1.5) node[above] {Pente $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$};

389
390
391
%Les pointillés pour les points barycentres

392
\draw[thick,dashed,color=black] (\xT,0) -- (\xT,\yTS);

393
\draw[thick,dashed,color=black]  (\xT,\yT) -- (0,\yT) node[left] {$f(ta+(1-t)b)$};

394
\draw[thick,dashed,color=black] (\xT,\yTS)  -- (0,\yTS) node[left] {$tf(a)+(1-t)f(b)$};

395
396
%Les tangentes

397
398
\draw[thick] ($(\xA,\yA) - 1.5*(1,\tA)$) --node[pos=.1,below left] {$T_a$} node[pos=.8] (CA) {} ($(\xA,\yA) + (1,\tA)$);

399
\draw[thick] ($(\xB,\yB) - (1,\tB)$) --node[pos=.1,below right] {$T_b$} node[pos=.8] (CB) {} ($(\xB,\yB) + (1,\tB)$);

400
\draw[thick] ($(\xT,\yT) - 3*(1,\tT)$) -- node[pos=.9,below] {$T_t$} node[pos=.2] (CT) {} ($(\xT,\yT) + 3*(1,\tT)$);

401
402
%Fleches donnant les pentes, orientation angulaire à partir du point de contact marqué, sans coller au point de contact (le .2)

403
\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CT) + (-70:.2)$) -- +(-70:2) node[below] {\shortstack{Pente\\ $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$}};

404
\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CA) + (-90:.2)$) -- +(-90:1.5) node[below] {Pente $f'(a)$};

405
\draw[>=stealth,thick, <-] ($(CB) + (20:.2)$) -- +(20:1.5) node[right] {Pente $f'(b)$};

406
407
408
409
%Les 4 points

410
\draw[fill,color=red] (\xA,\yA) circle (2pt);

411
\draw[fill,color=red] (\xB,\yB) circle (2pt);

412
\draw[fill,color=black] (\xT,\yT) circle (2pt);

413
\draw[fill,color=black] (\xT,\yTS) circle (2pt);

414
415
\end{tikzpicture}

416
417
\end{center}

418
}

419
\end{comment}

420
421
\end{document}
        

    


            


                                


        

            



                
    

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