$("...").shouldBe(visible).setValue(...)
 /*
  .shouldBe(visible) - не нужно
  Selenide автоматом - перед выполнением операции над элементом - дожидается видимости элемента

  если без проверки такой код не работал - значит просто не хватало таймаута - нужно увеличить
  весь код просмотри
 */
*********************************
    public static void sent(String to, String string){
         ...
         $(By.name("subjectbox")).shouldBe(visible).sendKeys(string);
         ....
     }
/*
    а тут как раз - мы оперируем не просто string, а именно - subject
    в контексте этого метода - параметр string - это именно тема письма и ничто иное

    переименуй параметр
*/
********************************
    public static void search(String mailTexts){
/*
    похоже - тебя отвлекали)

    тут - мы оперируем текстом запроса (одним)
*/
*******************************************
 public static void assertMails(int index, String mailText){
/*
    а тут - проверяем один мейл, а не мейлы
*/
**************************************
 public static void assertMails(String... mailText){
/*
    а тут - да, тут проверяем мейлЫ (тут верное имя метода)

    но для них мы проверяем  - их текстЫ
    вот тут имя параметра надо поправить)
*/