\documentclass{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{setspace}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{setspace,amsmath}

\begin{document}
	\begin{spacing}{1.5}
	\section * {Задача №1}
	\begin{flushleft}
		\textbf{Условие:}\\
		$Q \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k$, $Q = \{(x^T, y^T)^T\ | x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^n, \|x\|_2 \leq \|y\|_2 \}$, Построить сопряженное множество $Q^*$. \\
		\textbf{Решение:} \\

		По определению $Q^* = \{(w^T, z^T)^T | w \in \mathbb{R}^n, z \in \mathbb{R}^k, x^Tw + y^Tz \geq 0\}$. \\ \textbf{Пусть}, $w \neq 0, z \neq 0, (w^T, z^T)^T \in Q^*, a = \frac{w}{\|w\|_2}, b = \frac{z}{\|z\|_2} \cdot 2 $, тогда $(a^T, b^T)^T \in Q$, т.к $\|a\|_2 \leq \|b\|_2$, при этом $a^Tw +b^Tz = \|w\|_2 + 2\|z\|_2 > 0$. Рассмотрим вектор $-(a^T, b^T)^T \in Q :$ $a^Tw + b^Tz = - \|w\|_2 - 2\|z\|_2 < 0 \Rightarrow (w^T, z^T)^T \notin Q^* \Rightarrow$ противоречие. \\ \textbf{Пусть}, $w \neq 0, z = 0$ (или наоборот) и $(w^T, z^T)^T \in Q^*$, тогда можем рассмотреть $a=w, b=2w$, если $w \neq 0$ и $a=z, b=2z$, если $z \neq 0$. Аналогичным образом получаем противоречие, таким образом $ Q^* = \{0\}$.
	\end{flushleft}

	\section*{Задача №2}
	\begin{flushleft}
		\textbf{Условие:} \\
		Найти сопряженную функцию к $f(x, y) = \|x\|_1 + \|y\|_\infty $ \\
		\textbf{Решение:} \\
		По определению $f^*(w, z) = \sup_{(x,y) \in Dom f}(w^Tx + z^Ty - \|x\|_1 - \|y\|_\infty) $ Заметим, что $(w^Tx - \|x\|_1)$ и $(z^Ty - \|y\|_\infty)$ можно максимизировать независимо по $x$ и $y$: \\
		$f^*(w, z) = \sup_{x,y}(w^Tx + z^Ty -  \|x\|_1 - \|y\|_\infty) = \sup_x((w^Tx - \|x\|_1) + \sup_y(z^Ty - \|y\|_\infty) = f^*_1(w) + f^*_2(z) $, где $f_1(x) = \|x\|_1, f_2(x) = \|x\|_\infty $. Согласно примеру 3.26 со стр.93 Бойда, для нормы $\|\|$ сопряженная функция равна $ I_{\|x\|_* \leq 1}(x)$, где
		 \begin{equation*}
		I_s(x)	 =
		\begin{cases}
		0, \ x\in S \\
		\infty, \  else
		\end{cases}
		\end{equation*}
		Согласно разделу A.1.6 со стр.637 Бойда, для $\|x\|_1$: $\|x\|_* = \|x\|_\infty$, для $\|x\|_\infty : \|x\|_* = \|x\|_1$. \\
		\textbf{Ответ}: $f^*(w, z) = I_{\|w\|_\infty \leq 1} (w)  + I_{\|z\|_1 \leq 1} (z)$

	\end{flushleft}

	\section*{Задача №4}
	\begin{flushleft}
		\textbf{Условие:} \\
		Построить двойственную задачу для задачи \\ $\min_{x \in \mathbb{R}^n}\sum_{i = 1}^{n} \max_{j \neq i}(c_j^Tx + b_j) $\\$Ax=d$
		\textbf{Решение:} \\
		Перейдем от данной задачи к более привычному виду с условиями: \\

		\begin{equation*}
		\begin{cases}
		\min_{z,x} \sum_{i = 1}^{n} z_i \\
		c^T_jx+b_j - z_i \leq 0 \  \forall i \ \forall j \neq i \\
		Ax = d\\
		\end{cases}
		\end{equation*}

		Заметим, что функционал и ограничения выпуклы $\Rightarrow$ задача выпукла $\Rightarrow$ лагранжиан задачи выпуклый \\
		$L(x, z, \lambda, \mu) = \sum_{i=1}^{n}z_i + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j\neq i}(c^T_jx +b_j - z_i) \cdot \lambda_{ij} + \mu^T(Ax-d) = \sum_{i=1}^{n}z_i(1-\sum_{j\neq i}\lambda_{ij}) + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j\neq i}(c^T_jx+b_j) \cdot \lambda_{ij} + \mu^T(Ax-d)$

		Функционал двойственной задачи: $\inf_{x,z} L(x, z, \lambda, \mu) \rightarrow \max_{\lambda, \mu}$, т.к $L$

	\end{flushleft}


	\end{spacing}

\end{document}