SHARE
TWEET

Task 35

KiraKuznetsova Dec 16th, 2018 67 Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
  1. \documentclass{article}
  2. \usepackage{cmap}                  
  3. \usepackage[T2A]{fontenc}  
  4. \usepackage[utf8]{inputenc}        
  5. \usepackage[english,russian]{babel}
  6. \usepackage{euscript}
  7. \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
  8. \usepackage{esvect}
  9.  
  10. \begin{document}
  11. \setlength{\oddsidemargin}{1cm}
  12.  \pagenumbering{arabic}
  13.  
  14.   %Вопрос 35%
  15.   \section{Докажите, что при $x\to 0$ справедливы соотношения $e^x-1\sim x$, $(1+x)^\alpha -1\sim \alpha x, \alpha\in\mathbb{R}$. Запишите эти эквивалентности в виде равенств(асимптотических формул).}
  16.    \begin{enumerate}
  17.        \item \textbf{Утверждение.}  $e^x-1\sim x, x\to 0$
  18.        \\\textbf{Доказательство.} $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} =$\Bigg\{\begin{matrix} \mbox{$e^x-1=t$}\\
  19.        \mbox{$x=\ln{(t+1)}$}\\
  20.        \mbox{$t\to 0$}
  21.        \end{matrix}\Bigg\} = $\lim_{x\to 0}\frac{t}{\ln{(t+1)}}$ = 1
  22.        \\ Запись в виде равенства: $$e^x-1=x+o(x)$$
  23.         \item \textbf{Утверждение.}  $(1+x)^\alpha \sim \alpha x, x\to 0$
  24.        \\\textbf{Доказательство.}$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha -1}{\alpha x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{\alpha\ln{(1+x)}}-1}{\alpha x}=\frac{\alpha\ln{(1+x)}}{\alpha x}=1$
  25.        \\ Запись в виде равенства: $$(1+x)^\alpha -1=\alpha x+o(x)$$
  26.      
  27.      
  28.    \end{enumerate}
  29.  
  30. \end{document}
RAW Paste Data
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy. OK, I Understand
 
Top