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Solución Esperada

Lo primero que podemos hacer es convertir el problema en uno de
conjuntos. Siendo cada entrada un conjunto (conformado por los
tiempos en los que se envía corriente por esta entrada), luego
cada una de las compuertas se convierte en una operación entre
conjuntos.

Las compuertas AND se convierten en la intersección de conjuntos,
las compuertas OR en la unión de conjuntos y las compuertas XOR en
la diferencia simétrica de conjuntos. Finalmente, las luces LED
simplemente indican responder el conjunto que devuelve alguna de
las compuertas.

Para resolver el problema, lo que voy a querer es que cada una de
estas operaciones pueda realizarse solamente iterando por los
elementos del conjunto de menor tamaño. Notar que la mayor
cantidad de operaciones se realiza si todas las compuertas son OR,
ya que conservan todos los elementos de ambos conjuntos. Por
tanto, acotar la cantidad de operaciones en este caso acota la
cantidad de operaciones realizadas en el problema.

Para acotar este caso, noto que si itero un elemento solamente
cuando pertenece al conjunto de menor tamaño, después de la
operación el tamaño del conjunto al que pertenece se duplica (como
mínimo). Como ningún conjunto puede tener más de los M elementos
iniciales, entonces el tamaño se puede duplicar hasta log 2 (M)
veces. Por tanto, cada uno de los M elementos puede ser visto
hasta log 2 (M) veces. En total, la
complejidad resulta en
O(M*log 2 (M)*O(T)), donde O(T) es la complejidad asociada a iterar
cada elemento.

Ahora vemos como realizar cada una de las 3 operaciones en una
complejidad dependiente del tamaño del elemento más chico:

* AND: Debo crear un nuevo conjunto, inicialmente vacío. Luego,
itero el conjunto más pequeño y para cada conjunto, si
pertenece también al más grande lo incorporó al nuevo
conjunto. La respuesta queda almacenada en el nuevo conjunto.

* OR: Itero los elementos del conjunto más chico y los agrego
al conjunto más grande. La respuesta queda almacenada en el
conjunto más grande.

* XOR: Itero los elementos del conjunto más chico y, si ya
pertenecen al conjunto más grande, los elimino, y si no, los
agrego. La respuesta queda almacenada en el conjunto más
grande.

Notar que, a nivel implementativo, hay que evitar copiar los
conjuntos para realizar las operaciones. Para esto pueden usarse
índices a un array de conjuntos o bien punteros, según preferencia
del concursante (la solución oficial utiliza punteros)
La O(T) va a depender de si utilizamos set o unordered_set (o sus
análogos en otros lenguajes) para representar los conjuntos, ya
que la O(T) es básicamente el costo de ver si un elemento
pertenece a otro conjunto, agregarlo o eliminarlo. 

Igual, notar que por la implementación interna de estas estructuras de datos el
tiempo de ejecución puede ser similar en ambos casos.
Finalmente, la complejidad resultante puede ser O(M*log 2 (M)) o O(M*log(M)).

Soluciones Parciales

En todas las soluciones parciales se toma que estamos trabajando
con un problema de conjuntos y operaciones sobre conjuntos, como
se explicó para la solución esperada.

Para la subtarea 1<=N,M<=500 se espera que cada conjunto sea
representado con vectores, y que la búsqueda de si un elemento
pertenece o no a un conjunto se realice en tiempo lineal, pudiendo
llegar a costar O(M^2 ) cada operación. También abarca soluciones que
copien los conjuntos para utilizarlos, o que representen los
conjuntos con set o unordered_set, pero no presten atención al
tamaño de los conjuntos para optimizar la cuenta.
La complejidad de estas soluciones va en el orden de O(M^3 ) a O(M^2 )
(aunque con alta constante, comparable a O(M^2 *log(M)))

Las 3 subtareas donde solo se toma una de las compuertas son para
evaluar de forma independiente la resolución de las mismas, viendo
que aunque son similares cada una es un problema independiente de
las otras 2.

La subtarea donde 1<=input i,j <=5.000 está planteada para que los
competidores implementen las operaciones utilizando bitset de C++
o máscara de bits. En este caso la complejidad queda
O(N*(5.000/64)), siendo (5.000/64) el costo de las operaciones
utilizando bitset. (puede variar ligeramente según la
implementación y el compilador, pero en todos los casos es de un
orden aceptable)

Autor: Lautaro Lasorsa