EDC 03/05/2012

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  # EDC                     #
  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

// Ajustei a tabela com a numeração da tabela do professor.
// Os números faltando é porque omiti o que não foi dito em aula.

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// Hoje a aula é sobre Sistemas de Equações Diferenciais.


  // Vetor X
  X>(t) = ( x1(t) )
          ( x2(t) )
          (  ...  )
          (  ...  )
          (  ...  )
          ( xn(t) )

  Ou seja um vetor onde cada posição é uma função.

  X>´t =  ( x1(t)´t )
          ( x2(t)´t )
          (   ...   )
          (   ...   )
          (   ...   )
          ( xn(t)´t )

  Sistema linear de 1° Ordem n × n:

    (1) X>´t = A>>(t) X> + g>(t)
         - A>> é uma matriz, usei dois '>' para denotar duas dimensões.

  Nesse sistema X> é a incognita.

  g>(t) é o vetor de resultados. Se ele for 0 o sistema é Homogeneo, caso contrário é não-Homogeneo.
  Que nem quando falamos de EDOs de 2° Ordem Homogeneas e não Homogeneas mesma idéia.

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  Exemplo:

    { x1' = -2x1 + x2
    { x2' = x1 - 2x2 + t

  como colocar isso no formato (1)?

  Bem o lado esquerdo é:

    X>' = ( x1' )
          ( x2' )

  Agora o lado direito vamos ter que quebrar em dois elementos, a matriz A e o vetor X certo?

  Isso vai ficar assim:

    A>> = | -2  1 |
          |  1 -2 |

    X>  = | x1 x2 |^r
     - ^r significa que vou escrever esse vetor na vertical.

  Restou agora uma soma, com +t na segunda equação e +0 na primeira.
  Isso é o nosso vetor g>(t):

    g>  = | 0  t |^r

  Escrevendo isso temos:

      X>'   =   A>>(t)    X>   + g>(t)

    | x1' | = | -2  1 | | x1 | + | 0 |
    | x2' |   |  1 -2 | | x2 |   | t |

  E pronto, essa primeira parte é bem simples não?

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  Vamos então nessa e nas próximas aulas estudas métodos para resolver sistemas de equações diferencias no formato acima.

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  O primeiro método que vamos estudar é o método mais simples, o de substituição:

  Vamos basear a explicação no exemplo:

    (3) { x1' = -2 x1 + 1 x2   (3.1)
        { x2' =  1 x1 - 2 x2   (3.2)

  Mechendo em (3.1) consguimos isolar x2 com o valor:

    x2 = x1' + 2 x1

  Sabendo este valor posso substitui-lo em (3.2):

    ( x' + 2 x1 )' = x1 -2(x1' + 2x1)
    ( x'' + 2 x1' ) = x1 -2x1' - 4x1

  Agora note que ganhamos uma Equação de 2° grau =].

  que sabemos resolver.

  Resolvendo temos que duas soluções para x1:

    x1 = e^(-t)
    x1 = e^(-3t)

  Assim substituindo uma das duas soluções em (3.1)
  teremos uma solução para x2.

  Assim encontramos uma solução para X>:

    X> = | e^(-t) |
         | e^(-t) |

  Mas esse não é o unico vetor solução.

  Se fizermos a conta com e^(-3t) teremos outro vetor solução.

    X> = |  e^(-3t) |
         | -e^(-3t) |

  Esse vetor também é solução do sistema (3).

  Aprendemos: Um Sistema Linear pode ter mais de uma solução.

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  Observação: Validade do principio da superposição.
  // Aquele principio de que a combinação de duas soluções de EDO de 2° ordem homogeneas geram novas soluções para o sistema.

  Se x1> e x2> são soluções de:

    X>' = A>> X>

  Então qualquer combinação linear também é solução.
  // O professor demonstrou isso melhor, mas não copiei =P.

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  Coisas interessantes:

  Se tenho uma equação de primeira ordem só tenho uma solução linearmente independente.
  Se tenho uma de 2° ordem, tenho duas sol.s LI.

  Agora eu consigo transformar um sistema de duas equações 2x2 com EDOs de primeira ordem em uma única EDO de 2° ordme certo?
  Assim provamos que só temo s 2 soluções LI para um sistema desse tipo.

  Em um sistema 3x3 com EDOs de 1° ordem podemos ter 3 soluções LI e assim por diante.

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  Como conseguir a solução geral de um Sistema de EDOs?

  Pegando o exemplo acima e usando o principio da super posição temos que:

    X> = c1 X1> + c2 X2>

  Certo?
  Isso é a solução geral? -- Não exatamente.

  Na verdade faltou verificar se X1 e X2 são Linearmente Independentes.

  Do mesmo jeito que faziamos com EDOs de 2° Ordem né =].

  Então nem é tão complicado, é só um jeito bem diferente de fazer as coisas.

  Agora voltando a questão como provar isso?

  Construa a matriz:

    | X1> X2> |

  ou

    | e^(-t)  e^(-3t) |
    | e^(-t) -e^(-3t) |

  Agora se voces lembram de Gaal para verificar se esses dois vetores são LI basta eu verificar se o Det da matriz acima é diferente de 0.

  Ou seja:

        | e^(-t)  e^(-3t) |
    det | e^(-t) -e^(-3t) | != 0

  Agora ficou fácil ver que nós já fizemos essa conta né?
  Esse é exatamente o mesmo determinante usado pelo "Wroskiano" que aprendemos a usar em EDOs de 2° Ordem.
  Só estamos enchegando de um novo angulo.

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  O professor mostrou um exemplo para determinar em:

    X> = c1 X1> + c2 X2>

  Quais os valores de c1 e c2.
  Ele mostrou que isso só é necessário em Problemas de Valor Inicial.

  Seja o valor inicial de X>:

    X>(0) = | 1 |
            | 1 |

  Então para resolver o sistema temos de resolver o sistema:

    X>(0) = c1 X1>(0) + c2 X2>(0)

  Ou em outras palavras:

    X>(0) = c1 | e^(-0) | + c2 |  e^(-30) |
               | e^(-0) |      | -e^(-30) |

  ou seja:

    X>(0) = c1 | 1 | + c2 |  1 |
               | 1 |      | -1 |

  Lembrando que X>(0) = | 1 |
                        | 1 |

  Nosso sistema fica:

    X>(0) = | 1 | = c1 | 1 | + c2 |  1 |
            | 1 |      | 1 |      | -1 |

  E agora ficou fácil de ver o sistema que precisamos resolver para descobrir c1 e c2.

  O professor não chegou a resolver mas agora já ficou bem simples né?

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  // O professor Gastão entregou a prova 1, e deixou o resto da aula para reclamações e etc.

  // Fim da aula =].