Вавилов алгебра лекториум содержание курса лекций

Николай Вавилов
Высшая алгебра
лекториум.тв

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. История, план курса, алгебраические операции и тождества.

0:00
История решения алгебраических уравнений.
30:40
Алгебра в 20 веке.
37:15
План всего курса.
53:00
Алгебраические операции.
1:27:07

Лекция 2. Моноиды и группы, гомоморфизмы.

0:00
Примеры неассоциативных операций.
5:05
Тожество Якоби.
7:35
Определение и примеры моноидов, определение полугруппы.
22:45
Сокращение.
33:30
Определение группы.
46:12
Обратный к произведению — произведение обратных в обратном порядке.
49:25
Сокращение и деление в группах.
58:00
Примеры групп.
1:26:50
Гомоморфизмы групп.
1:32:11

Лекция 3. Определение и примеры колец.

0:00
Определение кольца. Ассоциативное кольцо, коммутативное кольцо, тело.
18:30
Определение поля.
22:30
Примеры колец.
Определние делителей нуля и нильпотентов.
51:40
Следствия из аксиом кольца.
1:01:25
Простейшие конструкции (многочлены, матрицы).
1:23:00
Непример кольца — многочлены относительно композиции.
1:29:57

Лекция 4. Конструкции колец, подкольца.

0:00
Конструкции колец (продолжение): прямая сумма, противоположное кольцо, присоединение единицы
Небольшой разговор про вычислительные аспекты.
31:20
Определение кольца Ли. Кольцо Ли, связанное с ассоциативным кольцом.
41:25
Определение подкольца и примеры.
1:25:09

Лекция 5. Гомоморфизмы колец и идеалы.

0:00
Определение гомоморфизма колец. Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм. Лиевские и йордановы гомоморфизмы.
18:05
Примеры. Характеристика кольца. Определение области целостности.
50:30
Определение левого, правого и двустороннего идеалов. Произведение идеалов.
1:04:00
Определение главного идеала (левого, правого и двустороннего).
1:15:12
Конечно порожденные идеалы.
1:19:28
Примеры идеалов. Простые кольца и кольца главных идеалов.
1:28:39

Лекция 6. Факторкольца.

0:00
Ещё примеры идеалов.
5:00
Определение факторкольца.
36:20
Примеры факторколец (комплексные числа, усеченные многочлены, двойные числа, многочлены Лорана...). Максимальные и простые идеалы.
1:12:10
Простые и неприводимые элементы колец.
1:21:31

Лекция 7. Делимость. Приводимые и простые элементы и их связь с идеалами.

0:00
Делимость и её простые свойства. Обратимые элементы (единицы). Ассоциированные элементы.
22:30
Делимость в терминах идеалов.
31:30
Области целостности, неприводимые и приводимые (разложимые) и простые элементы. Их связь с идеалами.
1:20:26

Лекция 8. НОД, НОК, кольца главных идеалов и кольца Безу.

0:00
Наибольший общий делитель.
16:45
Взаимная простота и комаксимальность.
36:20
Наименьшее общее кратное.
49:00
Кольца главных идеалов и кольца Безу.
1:17:48

Лекция 9. Линейное представление НОК, нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе.

0:00
Линейное представление НОД.
16:50
Нётеровы кольца.
56:50
Теорема Гильберта о базисе.
1:25:37

Лекция 10. Основная теорема арифметики.

0:00
Существование разложения на неприводимые в нетеровых кольцах.
18:36
Факториальные кольца. Основная теорема арифметики.
39:10
Примеры факториальных колец.
52:50
Нефакторальность кольца тригонометрических многочленов.
1:10:48
Каноническое разложение на простые.
1:20:52

Лекция 11. Алгоритм Эвклида.

0:00
Эвклидовы и квазиэвклидовы кольца.
44:55
Алгоритм Эвклида. Бесконечность количества простых чисел.
1:24:30

Лекция 12. Кольца операторов и функций, свёртка.

0:00
Кольца операторов и кольца функций.
38:20
Свёртка: существование и простейшие свойства.
1:05:25
Кольцо функций относительно свёртки.
1:28:33

Лекция 13. (Полу)групповая алгебра, многочлены.

0:00
Свёртка (продолжение).
17:45
Полугрупповая алгебра.
44:00
Кольцо многочленов.
1:26:21

Лекция 14. Степень и значение многочлена, универсальное свойство многочленов.

0:00
Степень многочлена.
33:50
R-алгебры.
59:10
Значение многочлена, универсальное свойство кольца многочленов.
1:28:05

Лекция 15. Умножение матриц.

0:00
Умножение матриц.
44:40
Свойства умножения матриц.
1:29:29

Лекция 16. Деление и разложение многочленов.

0:00
Деление многочленов с остатком.
12:30
Основная теорема арифметики для K[x].
41:05
Кратность корня. Теорема Безу.
1:25:15
Формальное и функциональное равенство многочленов (начало).
1:29:46

Лекция 17. Равенство многочленов. Интерполяция. Дифференцирования.

0:00
Формальное и функциональное равенство многочленов (продолжение).
9:30
Интерполяция с простыми узлами (задача Лагранжа).
39:20
Дифференцирования алгебр.
1:30:35

Лекция 18. Высшие производные, кратные множители. Кольца частных (начало).

0:00
Производные высших порядков.
16:30
Кратные неприводимые множители многочлена.
1:02:50
Конструкция кольца частных (начало)
1:30:14

Лекция 19. Дроби.

0:00
Конструкция кольца частных (продолжение).
25:30
Универсальное свойство локализации.
52:30
Основные примеры локализации.
1:12:25
Поле рациональных дробей.
1:30:33

Лекция 20. Разложение рациональной дроби на простейшие. Алгебраические и трансцендентные элементы.

0:00
Разложение рациональной дроби на простейшие.
44:12
Доказательство единственности разложения на простейшие.
1:04:30
Алгебраические и трансцендентные элементы.
1:30:18

Лекция 21. Поле разложения, алгебраическое замыкание.

0:00
Алгебраические и трансцендентные элементы (продолжение),
6:45
Поле разложения многочлена.
38:30
Алгебраическое замыкание поля.
1:29:19

Лекция 22. Теорема о продолжении изоморфизма. Комплексные числа (начало).

0:00
Алгебраическое замыкание поля (продолжение).
7:00
Теорема о продолжении изоморфизма.
26:35
Поле комплексных чисел.
1:18:00
Комплексное сопряжение, след и норма комплексного числа (начало).
1:30:04

Лекция 23. Комплексные числа (продолжение). Модули (начало).

0:00
Комплексное сопряжение, след и норма комплексного числа (продолжение).
12:00
Тригонометрическая форма комплексного числа, модуль и аргумент.
26:55
Группа углов, корни из 1.
1:02:00
Модули (начало).ж
1:31:33

Лекция 24. Модули (продолжение). Свободные модули, подмодули. Линейные отображения и матрицы.

0:00
Модули (продолжение).
19:40
Свободные модули.
42:50
Линейные отображения.
1:01:00
Матрица линейного отображения.
1:20:00
Подмодули.
1:29:00

Лекция 25. Прямые суммы, линейная независимость.

0:00
Прямые суммы.
25:40
Линейная независимость.
44:49

Лекция 26. Базис, координаты, универсальное свойство базиса. Изоморфизм свободных модулей (начало).

0:00
Базис свободного модуля, координаты.
19:10
Универсальное свойство базиса. Изоморфизм свободных модулей (начало).
46:24

Лекция 27. Изоморфизм свободных модулей (продолжение). Замена базиса, линейная зависимость над полем, доказательства теоремы Штейница.

0:00
Изоморфизм свободных модулей (продолжение).
10:00
Замена базиса.
27:30
Преобразование координат при изменении базиса.
39:30
Линейная зависимость над полем.
54:00
Теорема Штейница: доказательство методом исключения.
1:12:58
Теорема Штейница: доказательство методом замены.
1:31:57

Лекция 28. Базисы, размерность. Размерность ядра, образа, суммы и пересечения. Векторные пространства над простыми полями.

0:00
Минимальные порождающие системы.
18:50
Максимальные линейно независимые системы.
26:50
Существование базисов, размерность векторного пространства.
47:40
Относительный базис, коразмерность.
1:11:50
Теоремы о размерности ядра образа, суммы и персечения.
1:23:40
Векторные пространства над простыми полями.
1:31:50

Лекция 29. Базисы и линейные отображения. Двойственность.

0:00
Модуль линейных отображений. Кольцо эндоморфизмов.
29:50
Базис Hom(U, V), матрица линейного отображения.
47:46
Преобразование координат вектора при линейном отображении. Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса.
1:10:30
Двойственный модуль, двойственный базис, преобразование координат ковектора.
1:29:30
Двойственность.
1:31:28

Лекция 30. Подгруппы. Подгруппы, порожденные подмножеством. Смежные классы и двойные смежные классы, теорема Лагранжа и формула индекса Фробениуса.

0:00
Подгруппы.
29:00
Подгруппа, порожденная подмножеством.
47:00
Смежные классы по подгруппе, индекс, теорема Лагранжа.
1:19:20
Двойные смежные классы. Формула индекса Фробениуса.
1:30:59

Лекция 31. Сопряженность, нормальные подгруппы, фактор-группы, теорема о гомоморфизме.

0:00
Сопряженные элементы в группе.
30:45
Нормальные подгруппы.
56:00
Фактор-группы.
1:19:40
Теорема о гомоморфизме.
1:28:12

Лекция 32. Элементарные трансвекции и элементарные псевдоотражения.

0:00
Элементарные трансвекции.
1:01:50
Элементарные псевдоотражения.
1:27:44

Лекция 33. Матрицы перестановки, элементарные преобразования, комбинаторная и строгая эквивалентность матриц.

0:00
Матрицы перестановки.
24:00
Элементарные преобразования матриц.
40:30
Комбинаторная эквивалентность матриц.
1:05:10
Строгая эквивалентность матриц.
1:30:54

Лекция 34. Определитель (начало).

0:00
Обзор понятия определителя.
24:35
Определитель по Вейерштрассу.
1:05:00
Определитель как альтернированнная сумма.
1:29:26

Лекция 35. Цикленный тип. Определитель (продолжение).

0:00
Цикленный тип, декремент.
51:00
Существование определителя.
1:06:50
Единственность определителя.
1:29:39

Лекция 36. Блочные матрицы, определитель блочно-треугольной матрицы. Мультипливативность определителя. Миноры и алгебраические дополнения.

0:00
Матрицы, разбитые на блоки.
25:00
Определитель блочно-треугольной матрицы.
49:30
Мультипликативность определителя.
1:19:30
Миноры и алгебраические дополнения.
1:26:39

Лекция 37. Разложение определителя по строке, теорема Крамера. Инвариантные подпространства, собственные числа и собственные векторы (начало).

0:00
Разложение определителя по строке.
16:00
Теорема Крамера.
40:00
Обзор канонической формы линейного опреатора.
55:30
Инвариантные подространства.
1:22:40
Собственные числа и собственные векторы (начало).
1:31:59

Лекция 38. Собственные числа и собственные векторы (продолжение). Диагонализуемость, характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа, корневые векторы.

0:00
Собственные числа и собственные векторы (продолжение).
7:40
Диагонализуемые операторы.
25:30
Характеристический многочлен оператора.
44:20
Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа.
1:16:30
Корневые векторы.
1:27:59

Лекция 39. Многочлены от оператора. Теорема Кэли-Гамильтона. Минимальный многочлен оператора.

0:00
Многочлены от оператора.
24:50
Теорема Кэли-Гамильтона. Геометрическое доказательство, алгебраическое доказательство.
1:19:00
Минимальный многочлен оператора.
1:29:35

Лекция 40. Ядро операторного многочлена, корневое разложение, план доказательства жордановой формы и разложение Жордана-Шевалле.

0:00
Ядро операторного многочлена.
19:10
Примарное разложение (корневое разложение).
40:10
Формулировка и план доказательства теоремы о Жордановой форме.
1:12:30
Разложение Жордана-Шевалле.
1:27:47

Лекция 41. Жорданов базис нильпотента, вещественная жорданова форма.

0:00
Жорданов базис нильпотентного оператора.
42:00
Аддитивное разложение Жордана-Шевалле.
1:16:10
Вещественная жорданова форма.
1:29:32

Лекция 42. Циклические подпространства, нормальная форма Смита.

0:00
Циклические подпространства.
24:20
Нормальная форма Смита.
1:30:39

Лекция 43. Конечно порожденные модули над PID.

0:00
Конечно порожденные модули над PID. Подмодули свободных модулей над PID.
1:29:46

Лекция 44. Фробениусова форма. Скалярные произведения. Каждое билинейное скалярное произведение симметрическое или симплектическое.

0:00
Возвращение к модулям над K[x] (фробениусова форма).
34:50
Обзор геометрии пространств со скалярным произведением.
44:40
Билинейные скалярные произведения.
1:04:40
Каждое билинейное скалярное произведение симметрическое или симплектическое.
1:25:05

Лекция 45. Матрица Грама, скалярное произведение и двойственность, классификация пространств со скалярным произведением.

0:00
Матрица Грама.
33:15
Скалярные произведения и двойственное пространство.
49:00
Изометрии. Классификация пространств со скалярным произведением.
1:32:33

Лекция 46.

0:00
Ортогональное дополнение к подпространству.
16:40
Ортогональная прямая сумма.
29:30
Теорема об ортогональном разложении.
55:10
Теорема Лагранжа.
1:09:10
Гиперболические плоскости.
1:26:34

Лекция 47.

0:00
Классификация симплектических пространств.
24:50
Квадратичные формы.
40:30
Классификация квадратичных пространств над вещественными и комплексными числами.
1:28:01

Лекция 48.

0:00
Отражения относительно неизотропного вектора.
16:30
Доказательство теоремы Витта.
53:20
Теорема Витта о разложении.
1:24:15

Лекция 49.

0:00
Полуторалинейные скалярные произведения.
20:50
Классификация эрмитовых пространств над комплексными числами.
38:45
Вещественная и мнимая части эрмитова скалярного произведения.
55:16
Обзор теории групп.
1:12:00
Действия групп на множествах.
1:26:15

Лекция 50.

0:00
Естественное действие симметрической группы.
14:20
Естественное действие общей линейной группы.
35:00
Действия, определенные в терминах структуры группы.
1:01:50
Однородные пространства группы.
1:21:40
Орбиты и стабилизаторы (начало).
1:29:52

Лекция 51

0:00
Орбиты и стабилизаторы (продолжение).
16:25
Классификация G-множеств.
32:30
Центр p-группы.
1:09:40
Теорема Коши.
1:28:27

Лекция 52.

0:00
Теоремы Силова: формулировка.
22:48
Силовские подгруппы GL(n, q).
37:50
Первое доказательство Фробениуса теорем Силова.
1:01:02
Второе доказательство Фробениуса.
1:12:00
Силовские подгруппы симметрической группы (начало).
1:20:23

Лекция 53.

0:00
Силовские подгруппы в перестановках (продолжение).
Холловские подгруппы. Теоремы Холла, теорема Томпсона-Файта.
41:50
Прямые произведения групп.
1:16:10
Полупрямые произведения групп (начало).
1:31:20

Лекция 54.

0:00
Полупрямые произведения групп (продолжение).
45:45
Группы порядка pq.
1:26:00
Простота знакопеременной группы (начало).
1:31:37

Лекция 55.

0:00
Простота знакопеременной группы (продолжение).
Классификация конечных простых групп..
1:08:30
Свободные группы.
1:33:54

Лекция 56.

0:00
Свободная группа как группа редуцированных слов.
25:50
Задание групп образующими и соотношениями.
1:13:35
Свободные произведения групп.
1:31:49

Лекция 57.

0:00
Реализации свободных групп.
26:00
Задание симметрической группы и группы кос.
46:40
Группы Кокстера (начало).
1:03:00
Октаэдральная группа.
1:20:40

Лекция 58.

0:00
Группы Кокстера (продолжение).
1:11:00
Задание SL(n, K) образующими и соотношениями, группа Стейнберга.
1:43:10
Проблема Бернсайда.
2:08:22

Лекция 59.

0:00
Линейные представления группы.
1:00:30
Сплетающие операторы (начало).
1:14:05

Лекция 60.

0:00
Сплетающие операторы (продолжение).
5:40
Подпредставления.
26:50
Лемма Шура.
51:50
Фактор-представление.
1:06:25
Премая сумма представлений. Неприводимые представления.
1:19:24

Лекция 71.

0:00
Антисимметризация.
23:40
Алгебра Грассманна.
45:11
Базис внешней алгебры.
1:14:50
Определители в терминах внешней алгебры (начало).

Лекция 72.

0:00
Определители в терминах внешней алгебры (продолжение).
21:00
Миноры в терминах внешнего произведения.
36:10
Теорема Бине-Коши.
52:35
Возвращение к представлениям групп — дальнейшие конструкции над представлениями (начало).
1:32:00

Лекция 73.

0:00
Возвращение к представлениям групп — дальнейшие конструкции над представлениями (начало).
10:40
Свойства целочисленности представлений.
45:12
Индуцированные представления (начало).
1:24:35

Лекция 74.

0:00
Индуцированные представления (продолжение).
50:30
Индуцированные характеры.
1:07:50
Формула слияния (fusion formula).
1:35:50

Лекция 75.

0:00
Закон взаимности Фробениуса.
24:40
Общор теории категорий и гомологической алгебры.
1:11:28
Определение категории, первые примеры (начало).
1:20:23

Лекция 76.

0:00
Определение категории, первые примеры (продолжение).
1:16:50
Функторы (начало).
1:24:43

Лекция 77.

0:00
Функторы (продолжение).
23:19
Примеры категорий и функторов в теории множеств.
56:00
Примеры категорий и функторов в теории групп.
1:18:45
Примеры категорий и функторов в теории колец (начало).
1:29:13

Лекция 78.

0:00
Примеры категорий и функторов в теории колец (продолжение).
19:50
Классы морфизмов.
1:00:30
Универсальные объекты.
1:32:04

Лекция 79.

0:00
Произведения копроизведения.
1:00:15
Примеры произведений и копроизведений.
1:23:26

Лекция 80.

0:00
Расслоенные произведения.
26:43
Расслоенные копроизведения.
44:08
Пределы и копределы функторов.
1:21:47

Лекция 81.

0:00
Индуктивные и проективные пределы.
1:14:25
Естественные преобразования функторов (начало).
1:30:35

Лекция 82.

0:00
Естественные преобразования (продолжение).
42:36
Вертикальная композиция естественных преобразований.
53:52
Горизонтальная композиция естественных преобразований.
1:26:34

Лекция 83.

0:00
Лемма Йонеда.
35:15
Эквивалентность категорий.
1:19:20
Скелет категории (начало).
1:32:18

Лекция 84.

0:00
Скелет категории (продолжение).
8:55
Критерий эквивалентности категорий.
21:00
Сопряженные функторы (начало).
1:22:57

Лекция 85.

0:00
Сопряженные функторы (продолжение).
10:18
Сопряженность контравариантных функторов.
26:00
Критерий существования сопряженного.
38:20
Обзор гомологической алгебры.
52:25
Аддитивные категории.
1:26:24

Лекция 86.

0:00
Подобъекты и фактор-объекты.
Ядра, коядра. Предабелевы категории.
47:57
Существование расслоенных произведений и копроизведений в предабелевых категориях.
1:06:00
Абелевы категории.
1:27:42

Лекция 87.

0:00
Аддитивные функторы. Теорема Фрейда-Митчелла.
20:40
Точные функторы.
1:13:40
Проективные объекты.
1:25:20
Проективные модули.
1:51:09

Лекция 88.

0:00
Инъективные объекты.
7:30
Инъективные модули.
24:00
Плоские модули.
40:00
Лемма о трех гомоморфизмах.
46:36
Лемма о пяти гомоморфизмах.
52:00
Лемма о четырех гомоморфизмах.
55:55
Лемма о связывающем гомоморфизме.
58:38
Лемма о змее.
1:02:20
3х3 лемма.
1:04:24

Лекция 89.

0:00
Обзор приложений гомологической алгебры.
57:45
Диаграмный поиск.
1:21:50
Лемма о трех гомоморфизмах.
1:27:23

Лекция 90.

0:00
Лемма о пяти гомоморфизмах.
18:32
Лемма о 4 гомоморфизмах.
23:05
Лемма о змее.
47:00
3х3 лемма.
55:10
Цепные комплексы.
1:29:53

Лекция 91.

0:00
Коцепные комплексы.
32:32
Категория комплексов.
51:18
Гомологии как функтор.
1:13:09
Связывающий гомоморфизм.
1:26:01

Лекция 92.

0:00
Точная последовательность гомологий.
33:23
Гомотопии.
55:55
Проективные и инъективные объекты.
1:21:05
Теорема сравнения для проективных резольвент (начало).
1:28:38

Лекция 93.

0:00
Теорема сравнения для проективных резольвент (продолжение).
42:56
Теорема сравнения для инъективных резольвент (начало).
59:00
Левые производные функторы.
1:24:17

Лекция 94.

0:00
Левые и правые ковариантные производные функторы.
32:00
Длинная точная последовательность левых ковариантных производных функторов.
42:30
Лемма о подкове.
1:05:20
Левые контравариантные производные функторы.
1:19:00
Правые ковариантные производные функторы.
1:24:47

Лекция 95.

0:00
Функтор Tor.
46:00
Правый Tor.
1:17:00
Ковариантный Ext.
1:23:59

Лекция 96.

0:00
Контравариантный Ext.
15:20
Функториальноость Ext, сумма Бэра.
1:01:00
Изоморфизм Ext и (Ext^1)_R.
1:20:30
Длинные расширения и высшие (Ext^n)_R.
1:34:48

Лекция 97.

0:00
Примеры вычисления Tor.
47:41
Вычисление (Ext^1)_Z (Q,Z).
1:26:10

Лекция 98.

0:00
Подмодули кручения как Tor_1.
21:30
Tor_n(A, B) — модуль кручения.
37:25
Гомологии и когомологии групп.
58:10
Когомологии групп.
1:21:30
Гомологии группы.
1:29:08

Лекция 99.

0:00
Пополняющий идеал Z[G].
31:50
Гомологии и когомологии циклических групп.
58:20
Однородная резольвента.
1:17:05
Неоднородная резольвента (бар резольвента).
1:27:35

Лекция 100.

0:00
Нормализованные резольвенты.
14:00
Группа H_1(G, Z).
33:20
Группа H^1(G, A).
57:50
Группа H_2(G, Z)=M(G) (начало).
1:24:39

Лекция 101. Последняя.

0:00
Группа H_2(G, Z)=M(G), теория Шрайера (продолжение).
23:00
Разговоры о прошлом и будущем.
1:07:59