\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem{tw}{Twierdzenie}

\begin{document}

\begin{tw}[Prawo 0-1 Kołmogorowa]
    Jeżeli $\sigma$-ciała $\mathcal{F}_n$ są niezależne, to dla każdego zdarzenia $A \in \mathcal{F}_\infty$ mamy $P(A) = 0$ albo $P(A) = 1$.
\end{tw}
\begin{proof}
    Dla dowolnego $n$ niezależne są $\sigma$-ciała $\mathcal{G}_n = \sigma(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2, \dots, \mathcal{F}_n)$ i $\mathcal{F}_{n+1, \infty}$. Ponieważ $A \in \mathcal{F}_\infty$, to $A \in \mathcal{F}_{n+1, \infty}$. Stąd dla każdego $n$ zdarzenie $A$ jest niezależne od $\sigma(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2,\dots) = \mathcal{F}_{1, \infty}$ (na mocy lematu 5.8.12 o niezależnych $\pi$-układach). \\\\
    Ponieważ $A \in \mathcal{F}_{1, \infty}$, to $A$ jest niezależne samo od siebie, czyli $P(A) = \linebreak= P(A \cap A) = P(A)^2$ i ostatecznie $P(A) = 0$ lub $P(A) = 1$.
\end{proof}

\end{document}