\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc} % если ваш файл содержит русский текст, нужно указать кодировку
\usepackage[russian]{babel} % для того, чтобы писать русский текст
\usepackage{amsmath} % для команды equation*
\usepackage{hyperref} % для вставки ссылок
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage[margin=0.5in]{geometry}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\title{My first document}
\date{2017-09-08}
\author{Jon Snow}

% до этого места была преамбула, тут можно задавать разные значения переменных, включать пакеты, а также указывать вещи, которые не суждено поменять посреди документа
\begin{document}
\section{}
Если добавить в пустое сплей-дерево элементы в таком порядке: 30, 40, 60, 50, 80, 70 - то получится такое дерево:
\begin{tikzpicture} [->,auto,node distance=1.5cm,every node/.style = {align=left, circle, draw=black}]
\node[]  (n1) {70};
\node[below right of=n1] (n2) {80};
\node[below left of=n1] (n3)  {60};
\node[below left of=n3]  (n4) {50};
\node[below left of=n4] (n5) {40};
\node[below left of=n5] (n6) {30};


\path (n1) edge (n2);
\path (n1) edge (n3);
\path (n3)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n5) edge (n6);
\end{tikzpicture}\\
Теперь существует 7 вариантов деревьев, которые могут получиться после добавления какого-либо элемента. Например если добавить: 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85.\\
\begin{tikzpicture} [->,auto,node distance=1.5cm,every node/.style = {align=left, circle, draw=black}]
\node[]  (n1) {};
\node[below right of=n1] (n2) {};
\node[below right of=n2] (n3)  {};
\node[below left of=n2]  (n4) {};
\node[below right of=n4] (n5) {};
\node[below left of=n4] (n6) {};
\node[below right of=n6] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n2)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n4) edge (n6);
\path (n6) edge (n7);



\node[]  (n1) [right=4cm] {};
\node[below right of=n1] (n2) {};
\node[below right of=n2] (n3)  {};
\node[below left of=n2]  (n4) {};
\node[below right of=n4] (n5) {};
\node[below left of=n4] (n6) {};
\node[below left of=n1] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n2)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n4) edge (n6);
\path (n1) edge (n7);



\node[]  (n1) [right=10cm] {};
\node[below right of=n1] (n2) {};
\node[below right of=n2] (n3)  {};
\node[below right of=n3]  (n4) {};
\node[below left of=n2] (n5) {};
\node[below left of=n1] (n6) {};
\node[below left of=n6] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n3)  edge (n4);
\path (n2) edge (n5);
\path (n1) edge (n6);
\path (n6) edge (n7);
\end{tikzpicture}


\begin{tikzpicture} [->,auto,node distance=1.5cm,every node/.style = {align=left, circle, draw=black}]
\node[]  (n1) {};
\node[below right of=n1] (n2) {};
\node[below right of=n2] (n3)  {};
\node[below left of=n2]  (n4) {};
\node[below left of=n1] (n5) {};
\node[below left of=n5] (n6) {};
\node[below left of=n6] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n2)  edge (n4);
\path (n1) edge (n5);
\path (n5) edge (n6);
\path (n6) edge (n7);



\node[]  (n1) [right=5cm] {};
\node[below right of=n1] (n2) {};
\node[below right of=n2] (n3)  {};
\node[below left of=n1]  (n4) {};
\node[below left of=n4] (n5) {};
\node[below left of=n5] (n6) {};
\node[below left of=n6] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n1)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n5) edge (n6);
\path (n6) edge (n7);



\node[]  (n1) [right=11cm] {};
\node[below right of=n1] (n2) {};
\node[below left of=n1] (n3)  {};
\node[below left of=n3]  (n4) {};
\node[below left of=n4] (n5) {};
\node[below left of=n5] (n6) {};
\node[below left of=n6] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n1) edge (n3);
\path (n3)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n5) edge (n6);
\path (n6) edge (n7);



\node[]  (n1) [right=15cm] {};
\node[below left of=n1] (n2) {};
\node[below left of=n2] (n3)  {};
\node[below left of=n3]  (n4) {};
\node[below left of=n4] (n5) {};
\node[below left of=n5] (n6) {};
\node[below left of=n6] (n7) {};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n3)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n5) edge (n6);
\path (n6) edge (n7);
\end{tikzpicture}\\
Эти деревья имеют высоту соответственно: 4, 3, 3, 3, 4, 5, 6. $\implies$ Для того, чтобы дерево имело минимальную глубину нужно добавить например число 35, а максимальную глубину - 85.

\newpage
\section{}
Пример дерева, в котором последовательная вставка, а затем удаление одного и того же значения в АВЛ-дереве приведет к дереву другой формы:
Начальное дерево и добавленная пока только как лист вершина (черная).\\
\begin{tikzpicture} [->,auto,node distance=1.5cm,every node/.style = {align=left, circle, draw=black}]
\node[]  (n1) {5};
\node[below right of=n1] (n2) {6};
\node[below left of=n1] (n3)  {2};
\node[below left of=n3]  (n4) {1};
\node[below right of=n3] (n5) {4};
\node[align = center, below of=n5, draw=white] {Начальное дерево};

\path (n1) edge (n2);
\path (n1) edge (n3);
\path (n3)  edge (n4);
\path (n3) edge (n5);



\node[]  (n1) [right=4cm] {5};
\node[below right of=n1] (n2) {6};
\node[below left of=n1] (n3)  {2};
\node[below left of=n3]  (n4) {1};
\node[below right of=n3] (n5) {4};
\node[below left of=n5, fill=green] (n6) {3};
\node[align = center, below right of=n6, draw=white] {Дерево с добавленной вершиной 3\\пока в качестве листа};

\path (n1) edge (n2);
\path (n1) edge (n3);
\path (n3)  edge (n4);
\path (n3) edge (n5);
\path (n5) edge (n6);



\node[]  (n1) [right=8cm] {4};
\node[below right of=n1] (n2) {5};
\node[below right of=n2] (n3)  {6};
\node[below left of=n1]  (n4) {2};
\node[below left of=n4] (n5) {1};
\node[below right of=n4, fill=green] (n6) {3};
\node[align = center, below of=n6,  distance=3cm, draw=white] {После балансировки\\Нарушение было у вершин:\\2 - высота 2\\6 - высота 0\\ 5 - высота 3};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n1)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\path (n4) edge (n6);



\node[]  (n1) [right=13cm] {4};
\node[below right of=n1] (n2) {5};
\node[below right of=n2] (n3)  {6};
\node[below left of=n1]  (n4) {2};
\node[below left of=n4] (n5) {1};
\node[below right of=n4, draw=white] (n6) {};
\node[align = center, below of=n6, draw=white] {После удаления вершины 3};

\path (n1) edge (n2);
\path (n2) edge (n3);
\path (n1)  edge (n4);
\path (n4) edge (n5);
\end{tikzpicture}
\end{document}