EDC 13/03/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)

  Aula de Aplicações de Equações diferenciais.

  1 - Taxas de Crescimento;
  2 - Misturas;
  3 - Mecánica Clássica;

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  Ex: Seja uma equação que varia em função do tempo:
  // O exemplo abaixo pode demonstrar uma taxa de incremento de uma população por exemplo.

    { -dS/dt / S = c = constante
    { S(0) = S0

  Note que é um problema de valor inicial.

  Colocando a equação de outra forma temos:

    dS/dt = c S

  Onde podemos ver que a equação é linear já que os termos de S são livres uns dos outros.

  Porém uma aluna sugeriu uma solução difenrente!, ela percebeu que a equação alem de ser linear também é Separável.

  Ela então sugeriu a solução de se jogar o dt pro lado direito e dividir os dois lados por S

  Assim temos:

    1/S * dS = c dt

  Integrando em ambos os lados e já substiruindo o valor do PVI (prob de valor inicial)

  temos:

    int(S0,S) 1/S * dS = int(0,t) c dt

    ln(S/S0) = rt => S = S0 e^(rt)

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  O outro metodo seria o método do fator integrante, aplicável à EDOs lineares de primeira ordem.

  Assim teriamos de colocar a equação na forma: y' + py = g

  ou seja:

    S' - cS = 0

  o fator integrante então seria da forma:

    µ = e ^ int -c dt

    µ = e ^ -(ct)

  Por fim multiplicando pelos dois lados teremos do lado esquerdo:

    (µ*S)' = 0

  Integrando em ambos os lados teremos:

    µ S = C

  Ou seja S = C/µ = C/e^-(ct)
          S = C/µ = C*e^(ct)

    S = C e ^ (ct)

  Substituindo o valor inicial teremos: S(0) = S0 = C e ^ (c*0) = C

  Substituindo o novo valor de C temos:

    S = S0 * e ^ (ct)

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  Um exemplo a mais:

  Seja a mesma equação acima:

    S' = cS

  Agora acrescentemos uma soma com uma constante k:

    S' = cS + k

  O que isso sigificaria? (isso também é um tipo de pergunta válido)

  Isso significaria que voce está de tempos em tempos retirando ou acrescentando k unidades a sua população.

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  // (Eu copiei +- o problema abaixo)
  Seja o seguinte problema:

  Qual a quantidade de um produto quimico em um lago de volume 5*10⁷ em qualquer instante T sabendo que é recebido um fluxo de (2 + 2*sen t) * 10 g/galão

  Seja Q(t) = a quantidade no tempo.

  dQ/dt = o_que_entra - o_que_sai
  E suponhamos que o que sai está homogeneo.

  o_que_sai = densidade * 5*10⁶
  densidade = Q(t)/10⁷

  o_que_sai = Q(t) * 0,5 * 10⁷/10⁷
            = Q(t)/2

  Assim temos:

  dQ/dt = (1 + sen t) 10⁷ - Q(t)/2

  // Note que é uma ED linear mas não é separável.

  O professor deixou pra gente terminar os cálculos. Porém eu perdi um pouco da introdução do problema e ficou meio confuso né?

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  Seja uma particula de massa m, descrevendo um movimento unidimensional.

  Considernado a lei de Newton: F = m * a
  Note que a
    F = F(t, x, v)
  Ou seja f é função do tempo da posição e da velocidade.

  Podemos descobrir a acelação em função da Força resultante.

  No tempo 0 a particula está na origem. (isso virou um PVI)

  Seja X(t) a posição da particula no momento t.

  Sabemos que a velocidade é a variação da posição da particula:
    v(t) = X(t)´t

  Sabemos também que aceleração é a variação da velocidade:
    a(t) = v(t)´t = X(t)´´t

  Assim temos uma função da forma: ma = F(t, X, X')

  como a = X´´t

    m X'' = F(t, X, X')

  Isso em termos de EDC é uma equação diferencial de 2° ordem.

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  Agora vamos pegar o modelo anterior e aplicar a um caso bem conhecido.

  Digamos que desejamos descobrir X sabendo apenas X''. Ou seja seja X'' = Aceleração = Gravidade

  Qual a posição X(t) sabendo que X(0) = 0 e v(0) = 0?

  // Eu perdi um pouco mas chegamos em:

  v(t) = v0 + gt

  x' = v0 + gt

  integrando:

    x = x0 + v0t + gt²/2

  Essa fórmula nós já aprendemos no ensino médio.

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  Agora lembram-se que a gravidade na verdade varia em função da distancia do eixo da terra certo?

  F = m g = G M m / (r + x)²
    - r = raio da terra.
    - x = distancia da particula da superficie da terra.

  cortando m temos:

    g = - G M / (r + x)²

  // Ele usou um argumento para trocar para:
    a = - g R² / (R + x)²
  // Acho que o argumento foi substituir G = ??

  Sabendo que v´t = a = -gR²/(R+x)²

  Ele criou um sistema notando que:

    dv/dt = dx/dt dv/dx = v dv/dx

  Substituindo uma formula na outra temos:

     v dv = -gR² dx/(R+x)²

  Ele nos pediu para resolver o resto em casa.

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Exercicios:
  pagina 7: 21, 22, 23.
  pagina 13: 7, 8, 9, 12, 13.
  pagina 19: 1, 3, 5, 8, 10, 15, 17, 19, 21, 25.
  pagina 30: 13, 15, 18, 20, 30, 31, 32.
  pagina 36: 5, 6, 7, 8, 29, 30 -> 30 não precisa fazer a letra F, 31.

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  // Fim da aula!