query += " WHERE nome LIKE '%" + nome + "%'";

string query = "SELECT nome, idade FROM Pessoas ";

if (nome != "")
   query += " WHERE nome LIKE '%" + nome + "%'";

query += " ORDER BY idade";

using (var connection = new SqlConnection(connectionString)) {
    var query = "SELECT nome, idade FROM Pessoas ";
    if (nome != "") {
        query += " WHERE nome LIKE '%@Nome%'";
    }
    query += " ORDER BY idade"; //deixei mas poderia otimizar isto
    var command = new SqlCommand(query, connection);
    command.Parameters.Add("@Nome", SqlDbType.NVarChar);
    command.Parameters["@Nome"].Value = nome;
    try {
        connection.Open();
        int rowsAffected = command.ExecuteNonQuery();
    }
    catch (SQLException ex) {
        Console.WriteLine(ex.Message); //só exemplo, deveria fazer algo mais
    }
}

var query = new StringBuilder("SELECT nome, idade FROM Pessoas ");
if (nome != "") {
    query.Append(" WHERE nome LIKE '%@Nome%'");
}
query.Append(" ORDER BY idade"); //deixei mas poderia otimizar isto