Jakie jest prawdopodobieństwo że losując 240 osób z 400 60% będzie palić

n = 400
pali = 240
alfa = 0.02

ma wyjść 3.16

Wylosowano 300 osobową próbę z studentów mieszkających w akademików
Zapytano czy warunki są ok, tylko 120 zadowolonych
alfa = 0.02

h0: połowa jest zadowolonych, ha: mniej niż połowa jest zadwolonych

pd = 120/300 = 0.4
p0 = 0.5
n = 300

1) qnorm(0.02)
2) wyliczyć u u <- pd - p0 / sqrt(p0 * (1 - p0) / n)

3) pnorm(u) <- jakie jest prawdopodobieństwo że trafi się taka próba że połowa jest zadowolonych

________
Na podstawie zbioru adult i zmiennej income zweryfikuj hipotezę że co 4 amerykanin ma duże
dochody na poziomie istotności alfa = 0.02

można zrobić summary(data) lub użyć which lub table(data$income)

p0 = 0.25
pd = 0.24

u <- (pd - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0) / n) = -3.82

qnorm(0.02) = -2.053749
pnorm(u) = 6.41e-05

h0: p = 1/4
ha: p < 1/4

Test istotności dla frakcji
__________


Test istotności dla różnicy dwóch frakcji
2 populacje o rozkładzie dwumianowym
populacje
p1 - frakcje elementów  pierwszej populacji
p2 -

Ho: p1 = p2
Ha: p1 != p2

liczba sukcesów w 1 populacji przez liczbe elementów w 1 populacji
p1d (daszek) = x1/n1

p1d - p2d jest zmienną losową

Jeżeli h0 jest prawdziwa to p1d - p2d ma rozkład normalny N(p1 - p2 (= 0), sqrt(pd(1 - pd) (1/n1 + 1/n2)))
p2d = x2/n2

pd = x1 + x2 / n1 + n2


Zadanie:
Zachorowanie na miażdżycę w mieście i na wsi czy takie same?
  800 z miasta, 60 chorych
1200 ze wsi 60 chorych
alfa = 0.05, zweryfikować


x1 <- 60
x2 <- 60
n1 <- 800
n2 <- 1200
pd <- (x1 + x2) / (n1 + n2)
sd <- sqrt(pd * (1 - pd) * (1/n1 + 1/n2))
u  <- (p1d - p2d) / sd

qnorm(0.025) <- obszar zabroniony = 1.95
u = 2.3

Czyli odrzucamy bo u > obszar zabroniony

Zadanie 2:
Przynależność do S czy taka sama dla pracowników administracji oraz roboli.
na 300 z admin 180 nalezy
na 500 robotników 400 należy
alfa = 0.05

x1 <- 180
x2 <- 400
n1 <- 300
pd <- (x1 + x2) / (n1 + n2)
sd <- sqrt(pd * (1 - pd) * (1/n1 + 1/n2))
p1d <- x1/n1
p2d <- x2/n2
u <- (p1d - p2d) / sd = -6.133315

qnorm(0.025) = -1.959964

Zadanie 3:
Na podstawie zbioru adultUCI i na kolunie income zweryfikuj hipotezę że frakcja kobiet o wysokich
zarobkach jest taka jak frakcja mężczyzn o wysokich zarobkach dla alfa = 0.02

kobiety <- data[data$sex == 'Female',]
men <- data[data$sex == 'Male',]
x1 <- 1179
n1 <- 1179 + 9592
x2 <- 6662
n2 <- 6662 + 15128
pd <- (x1 + x2) / (n1 + n2)
sd <- sqrt(pd * (1 - pd) * (1/n1 + 1/n2))
p1d <- x1/n1
p2d <- x2/n2
u <- (p1d - p2d) / sd = -38.9729
qnorm(0.01) = -2.326348

Odrzucamy bo -38.97 leży w obszarze odrzucenia

19.05
Test zgodności fi ^2

Przykład 11.1 (statystyka od podstaw książka)

Przez 300 dni obserwowano pracę pewnej maszyny rejestrując liczbę uszkodzeń w trakcie dnia.
l. uszkoden l. dni (ni)  P              npi
0               140      0.449329       134.79
1               110      0.3594632      107.83
2               30       0.1437853      43.13
3               10       0.03834274     11.5
4               10       0.007668548    2.30
+4              x        0.015
3+              20                      14.3

Dla poziomu istotności alfa = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że liczba uszkodzeń ma rozład Poissona.

P(x = k) = (lmbd^k * e ^-lmbd) / k!
dpois(0:4, 0.8 = lmbd)

lmbd = 110 + 60 + 30 + 30 = 230/300 ~= 0.8

npi = dpois(0:4, 0.8) * 300

s = ((140 - 134.79) ^ 2) / 140 + ((110 - 107.83) ^ 2) / 110 + ((30 - 43.13) ^ 2) / 40
+ ((20 - 14.3) ^ 2) / 20

Dla zadanego rozkładu o r szacowanych parametrach statystykach ma rokład fi^2 o k-r-1 st swobody.

4 parametry r = 1 (lambda), -1 = 2

w. krytyczna = 5.99
0.05
2 st swobody

103 0.05, rozkład normalny

wydatki    l.rodzin  pi      npi
[100-300]   50       0.1     43.56
[300-500]   100      0.28
[500-700]   150      0.36
[700-900]   80       0.2
[900-1100]  20       0.05

Znaleźć średnią i odchylenie standardowe.

mean = (150 * 50 + 400 * 100 + 600 * 150 + 800 * 80 + 1000 * 20) / 400 = 560

sd(c(rep(200, 50), rep(400, 100), rep(600, 150), rep(800, 80), rep(1000, 20)))

w domu zadania 2.295 i 2.296

Test niezależności

hipoteza zerowa, zmienne są niezależne jeśli
P(X=xi, Y = yi) = P(X = xi) * P(Y = yi)
hipoteza alternatywna
Są zależne
     B   Cz   P
Zas 20  9   16  n1. = 45   p1. = 45 / 355 = 0.12
Tab 32 72   64  n2. = 168  p2. = 168 / 355 = 0.47
Lek 8   8   30  n3. = 46   p3. = 46 / 355 = 0.12
Zio 52 32   12  n4. = 96   p4. = 96 / 355 = 0.27
  n.1 n.2   n.3

n.1 = 112
p.1 = 0.31

n.2 = 121
p.2 = 0.34

n.3 = 122
p.3 = 0.34

pij = pi. * p.j

(nij - n * pij)
_______________
     npij


St = r - 1 * s - 1 = 3 * 2 = 6
alfa = 0.05

M <- matrix(c(0.12 * 0.31, 0.12 * 0.34, 0.12 * 0.34, 0.47 * 0.31, 0.47 * 0.34, 0.47 * 0.34, 0.12 * 0.31, 0.12 * 0.34, 0.12 * 0.34, 0.27 * 0.31, 0.27 * 0.34, 0.27 * 0.34), nrow = 4, byrow = TRUE)
M2 = M * 355
M3 = M - M2
M4 = M3^2
M5 = M4 / M2
out <- sm(M5)
342.4833