Моя задача

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\title{НИС}
\author{kirakuznetsova}
\date{April 2019}

\begin{document}


\section{Собственная задача}
\textbf{Условие.} Докажите, что для любых положительных чисел $a,b,c$, таких что $a+b+c=9$, выполняется неравенство:  $$\frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq3\sqrt{3}$$
\textbf{Решение.} Рассмотрим функцию $f(x)=x^2$. Вторая производная $f^{\prime\prime}(x)=2$ всегда положительна, а значит эта функция выпукла вниз. Запишем неравенство Йенсена для нее:
$$f\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i\right)\leq\sum_{i=1}^n\alpha_if(x_i)$$
По условию $n=3$, $x_1=a$, $x_2=b$, $x_3=c$, $a+b+c=9$, также примем $\alpha_i=\frac{1}{n}=\frac{1}{3}$. Учитывая это, наше неравество можно представить в виде:
$$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$
$$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}(a+b+c)^2=27$$
 Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{x}$. Вторая производная $f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$ отрицательна на интервале $(0;+\infty)$. Следовательно, эта функция выпукла вверх. Запишем неравенство Йенсена для нее:
$$f\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i\right)\geq\sum_{i=1}^n\alpha_if(x_i)$$
По условию $n=3$, $x_1=a$, $x_2=b$, $x_3=c$, $a+b+c=9$, также примем $\alpha_i=\frac{1}{n}=\frac{1}{3}$. Учитывая это, наше неравество принимает такой вид:
$$\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\geq\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{3}$$
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}\sqrt{a+b+c}=3\sqrt{3}$$
Из двух, получившихся у нас, неравенств следует, что:
$$3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\geq27(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq3\sqrt{3}$$
Утверждение доказано.$\blacksquare$
\end{document}