riemann

\documentclass[a4paper,11pt, fleqn]{article}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
%w ten sposób omija się błąd podwujnie definiowanego symbolu

\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{anysize}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{times}
\usepackage{subfig}
\usepackage{float}


%\marginsize{left}{right}{top}{bottom}
\marginsize{3cm}{3cm}{3cm}{3cm}


\begin{document}
\section*{Całka Riemanna}
\begin{minipage}[t][][t]{0.6\textwidth}
Niech dana będzie funkcja ograniczona $f\!\colon [a,b]\to \mathbb {R}$. \emph{Sumą częściową} (Riemanna) nazywa się liczbę
\[
R_{f,P(q_1,\dots,q_n)} = \sum_{i=1}^{n}f(q_i)\cdot \Delta p_{i}.
\]

Funkcję $f$ nazywa się \emph{całkowalną w sensie Riemanna} lub krótko \emph{R-całkowalną}, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego $(P^{k})$ podziałów przedziału $[a , b]$,  istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica[b]
\[
R_{f}=\lim _{k\to \infty }R_{f,P^{k}\left(q_{1}^{k},\dots ,q_{n_{k}}^{k}\right)}
\]
nazywana wtedy \textbf{całką Riemanna} tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba $R(f)$, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $ε > 0$ istnieje taka liczba rzeczywista $\sigma > 0$ , że dla dowolnego podziału $P (q_1,\dots,q_n)$ o średnicy  {$ {diam} \;P(q_{1},\dots ,q_{n})<\delta ;$}  bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej {$\varepsilon >0$} istnieje taki podział {$ S(t_{1},\dots ,t_{m})$} przedziału  {$ [a,b],$} że dla każdego podziału {$ P(q_{1},\dots ,q_{n})$} rozdrabniającego {$ S(t_{1},\dots ,t_{m})$} zachodzi
\[
\left|R_{f,P(q_{1},\dots ,q_{n})}-R_{f}\right|<\varepsilon .
\]

Funkcję $f$ nazywa się wtedy \emph{całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną)}, a liczbę $R_{f}$ jej całką Riemanna.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t][][t]{0.3\textwidth}
     \begin{figure}[H]
        \includegraphics[width = \textwidth]{riemman.png}
     \end{figure}
    \footnotesize{Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).}
\end{minipage}
\end{document}