Equação Quadrática

{{mais notas|data=março de 2011}}
{{revisão|data=dezembro de 2012}}
[[Imagem:Webysther 20160313 - Função polinomial do segundo grau.svg|thumb|As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau.

No caso da figura, as raízes da função <math>x^2 -5 x + 6 = 0</math> são <math>x_{1} = 2</math> e <math>x_{2} = 3</math>.]]

Em [[matemática]], uma '''equação quadrática''' ou '''equação do segundo grau''' é uma [[equação polinomial]] de [[Grau de um polinômio|grau]] dois. A forma geral deste tipo de equação é:
:<math>ax^2 + bx + c = 0</math>

onde ''x'' é uma [[variável (matemática)|variável]], sendo ''a'', ''b'' e ''c'' constantes, com ''a'' ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se [[equação linear|linear]]). As constantes ''a'', ''b'' e ''c'', são chamadas respectivamente de [[coeficiente]] quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A variável ''x'' representa um valor a ser determinado, e também é chamada de [[incógnita]]. O termo "quadrático" vem de ''quadratus'', que em [[latim]] significa [[quadrado]]. Equações quadráticas podem ser resolvidas através da [[fatoração]], do [[completamento de quadrados]], do uso de [[gráfico de uma função|gráficos]], da aplicação do [[método de Newton]] ou do uso de uma [[#Fórmula|fórmula (apresentada abaixo)]]. Um uso frequente das equações do segundo grau é no cálculo das trajetórias de projéteis em movimento.

== Resolução ==
Uma equação do segundo grau cujos coeficientes sejam [[número real|números reais]] ou [[número complexo|complexos]] pode possuir até duas soluções, chamadas de ''[[Raiz_(matemática)|raízes]]'' da equação. Elas são dadas pela seguinte fórmula:

<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},</math>

sendo ''a'', ''b'' e ''c'' os coeficientes da equação de segundo grau, e o [[Mais ou menos (símbolo)|símbolo ±]] indica que uma das soluções é obtida através da soma e a outra por meio da diferença.

No Brasil, essa fórmula é conhecida como ''Fórmula de Bhaskara'', mas em outros países é conhecida simplesmente como a ''fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau''<ref>Refatti & Bisognin (2005), p. 2.</ref>.

=== Casos particulares ===
==== b = 0: ====
É uma equação no formato <math>ax^2 + c = 0,</math> que pode ser resolvida levando-se em conta que:
: <math>ax^2 + c = 0 \Leftrightarrow ax^2 = -c \Leftrightarrow x^2 = - \frac{c}{a},</math>
para <math>\dfrac{c}{a} < 0,</math> a equação terá duas raízes reais simétricas. No caso <math>\dfrac{c}{a}>0</math> as raízes serão complexas com <math> Re(x)=0 </math> e complexamente simétricas, ou seja: <math> x_1=\overline{x_{2}} .</math>

==== c = 0: ====
É uma equação no formato <math>ax^2 + bx = 0,</math> cuja solução pode ser obtida considerando-se que:
: <math>ax^2 + bx = 0 \Leftrightarrow x (ax + b) = 0.</math>
De fato, neste caso tem-se necessariamente que <math>x = 0</math> ou <math>ax + b = 0,</math> sendo esta última alternativa equivalente a <math>x = - \frac{b}{a}</math>. Se os coeficientes forem reais, as raízes também serão.

==== b = 0 e c = 0: ====
Neste caso particular, temos simplesmente:
<math> ax^2 = 0 ,</math>, cuja raiz dupla é 0.

=== Demonstrações da fórmula quadrática ===
A solução da equação do segundo grau utiliza um método astucioso: o [[completamento de quadrados]] (inspirado, por sua vez, nos [[produtos notáveis]]) que permite simplificar a equação ao extrair a raiz quadrada ao eliminar o termo em <math>x^2</math>:

Se <math>a\not = 0</math> então:
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
{| class="wikitable" align="center"
|
<math>\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
(4a)(ax^2 + bx + c) = (4a)\cdot 0 \Leftrightarrow \\ \\
4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \Leftrightarrow \\ \\
(2ax)^2 + 2(2ax)b = -4ac \Leftrightarrow \\ \\
(2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = -4ac + b^2 \Leftrightarrow \\ \\
(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\Leftrightarrow \\ \\
\left|2ax + b\right| = \sqrt{b^2 - 4ac} \end{matrix}</math>
|}

Logo, tem-se, por definição de [[módulo]], que:
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
{| class="wikitable" align="center"
|-
! Se <math>\definecolor{darkgray}{RGB}{170,170,170}\pagecolor{darkgray}(2ax+b) \ge 0</math>
! Se <math>\definecolor{darkgray}{RGB}{170,170,170}\pagecolor{darkgray}(2ax+b) < 0</math>
|-
| style="vertical-align:top;" |
<math>\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} 2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\
2ax = \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow \\ \\
x = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix}</math>
|
<math>\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} 2ax + b = - \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\
2ax = - \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow \\ \\
x = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix}</math>
|}

Portanto,
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
{| class="wikitable" align="center"
|
<math>\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}x=\left \{\begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_1 \\ \\
\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_2 \end{matrix}\right.\Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
|}

Alternativamente, pode-se considerar a seguinte prova:
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
{| class="wikitable" align="center"
|
<math>\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c \Leftrightarrow \\ \\
(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \Leftrightarrow \\ \\
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \Leftrightarrow \\ \\
x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \Leftrightarrow \\ \\
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} \Leftrightarrow \\ \\
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{matrix}</math>
|}

== Discriminante e o estudo das raízes ==
Na fórmula acima, a expressão que aparece sob a [[raiz quadrada]] é chamada de discriminante da equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega [[delta]] maiúsculo:
:<math>\Delta = b^2-4ac.</math>

Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como:
:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}</math>

Uma equação quadrática com coeficientes ''reais'' tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades:
(Lembrando que todo polinômio de grau ''n'', tem até ''n'' raízes; No caso particular de grau 2, então, devem haver até duas raízes.)

* Se <math>\Delta > 0,</math> a equação tem duas raízes [[número real|reais]] e distintas.
** No caso de equações quadráticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um [[quadrado perfeito]], então as raízes são [[números racionais]] — em outros casos eles podem ser [[Irracional quadrático|irracionais quadráticos]].
* Se <math>\Delta = 0,</math> a equação tem duas raízes [[número real|reais]] e iguais:
: <math>x = \frac{-b}{2a}.</math>
* Se <math>\Delta < 0,</math> a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas raízes [[número complexo|complexas]] distintas, que são conjugadas uma da outra:
::{|
|-
|<math>x_1 = \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}</math>
| style="width:100px" align="center"| e
|<math>x_2 = \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a},</math>
|}
: onde ''i'' é a [[unidade imaginária]].

== Geometria ==
[[Imagem:Polynomialdeg2.svg|thumb|direita|200px|Para a [[função quadrática]]:<font size="2"> ''f'' </font>(''x'') = ''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2 = (''x'' + 1)(''x'' &minus; 2) de uma variável [[número real|real]] ''x'', as abcissas dos pontos nos quais o gráfico intersecta o eixo horzontal, ''x'' = &minus;1 e ''x'' = 2, são as soluções da equação quadrática: ''x''<sup>2</sup> &minus; ''x'' &minus; 2 = 0.]]

As soluções da equação quadrática
: <math>ax^2+bx+c=0,</math>

são também as [[Raiz (matemática)|raízes]] da [[função quadrática]]:
: <math>f(x) = ax^2+bx+c,</math>

uma vez que elas são os valores de ''x'' para os quais
: <math>f(x) = 0.</math>

Se ''a'', ''b'', e ''c'' são [[números reais]] e o domínio de ''f'' é o conjunto dos números reais, então as raízes de ''f'' são exatamente as [[abcissa]]s dos pontos nos quais o gráfico toca o eixo ''x''.

Disto segue que, se o discriminante é positivo, o gráfico toca o eixo ''x'' em dois pontos, se for zero o gráfico toca em apenas um ponto e se for negativo, o gráfico não encosta no eixo ''x''.

=== Perfil da Parábola ===
A parábola de um polinômio de segundo grau possui apenas um máximo ou mínimo global. O perfil que a curva assume em um gráfico depende fundamentalmente dos coeficientes ''a'', ''b'' e ''c''.

* ''a'': Determina a concavidade da parábola. Valores negativos de ''a'' conferem à curva concavidade para baixo (aspecto de ∩), e valores positivos concavidade para cima (aspecto de U). Além disso, o [[módulo]] de ''a'' determina a abertura dessa concavidade.
* ''b'': De interpretação mais difícil, a variação de ''b'' desloca a curva numa trajetória parabólica.
* ''c'': Determina em que valor a curva corta o eixo ''y''. Precisamente, no eixo ''y'' tem-se <math> x = 0 </math>, logo a função reduz-se a <math>y = f(0) = c</math>.

== Forma fatorada da equação quadrática ==
O termo
: <math>x - r</math>
é um [[Fatoração|fator]] do polinômio
: <math>ax^2+bx+c,</math>

se e somente se ''r'' é uma [[Raiz (matemática)|raiz]] da equação quadrática
: <math>ax^2+bx+c=0.</math>

Segue da fórmula quadrática que
: <math>ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) = a \left [(x - r_1)(x - r_2)\right ].</math>

No caso especial em que a quadrática possui apenas uma raiz (<math>b^2 = 4ac,</math> isto é, discriminante nulo), o polinômio quadrático pode ser fatorado como
: <math>ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 =  a (x - r)^2 </math>

== Relações entre coeficientes e raízes ==
As [[fórmulas de Viète]] fornecem uma relação simples entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes. No caso do polinômio quadrático, elas tomam a seguinte forma

A partir de fórmula de Bhaskara, pode-se deduzir expressões bastante simples para a soma e para o produto das raízes <math>x_1</math> e <math>x_2</math> da equação:
: <math> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} </math>
e
: <math> x_1 \ x_2 = \frac{c}{a}.</math>

Estas igualdades seguem diretamente da relação:
: <math>\left( x - x_1 \right) \ \left( x-x_2 \right ) = x^2 \ - \left( x_1+x_2 \right)x +x_1 \ x_2 \ = 0 \ , </math>
que pode ser comparada termo a termo com:
: <math> x^2 + (b/a)x +c/a = 0 \ .</math>

Em alguns casos simples, o uso dessas propriedades permite que se deduza quais são as raízes, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

A primeira das duas fórmulas fornece também uma expressão conveniente ao traçar o gráfico de uma função quadrática. Uma vez que o gráfico é simétrico com relação a uma reta vertical passando pelo vértice da [[parábola]], quando há duas raízes reais a abscissa do vértice está localizada na média aritmética das duas raízes, isto é, seu valor é dado pela expressão:
: <math> x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = -\frac{b}{2a}.</math>

A outra coordenada pode ser obtida através da substituição do resultado anterior na expressão quadrática, resultando em
: <math> y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.</math>

Assim, o gráfico da função <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> será sempre uma parábola com vértice em
: <math>V=\left( \frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a} \right).</math>

Para um estudo mais detalhado do gráfico, ver [[função quadrática]].

[[Imagem:Excel quadratic error.PNG|thumb |350px|Gráfico de duas avaliações da menor raiz de uma quadrática: avaliação direta através da fórmula quadrática (preciso no pequenos valores de ''b'') e uma aproximação para raízes amplamente espaçadas (preciso para grandes valores de ''b''). A diferença atinge um mínimo nos pontos grandes, e o arredondamento provoca rabiscos na curva acima deste valor mínimo.]]

===Instabilidade da equação quadrática===

Em termos práticos, as fórmulas de Viète fornecem um método útil para a busca de raízes de uma quadrática no caso em que uma raiz é bem menor do que a outra. Se |''x''&thinsp;<sub>1</sub>| << |''x''&thinsp;<sub>2</sub>|, então ''x''&thinsp;<sub>1</sub> + ''x''&thinsp;<sub>2</sub> ≈ ''x''&thinsp;<sub>1</sub>, e tem-se a estimativa:
: <math> x_1 \approx -\frac{b}{a} \ . </math>
Da segunda fórmula de Viète resulta:
: <math>x_2 = \frac{c}{a \ x_1} \approx -\frac{c}{b} \ .</math>

Estas fórmulas são mais fáceis de avaliar do que a ''Fórmula de Bhaskara'' sob a condição de que uma raiz é grande e uma pequena, porque a fórmula de [[resolução de equações]] quadráticas avalia a raiz menor como a diferença entre dois números praticamente iguais (no caso em que ''b'' é grande), o que causa [[erro de arredondamento|erros de arredondamento]] em avaliações numéricas. A figura ao lado mostra a diferença entre (i) um calculo direto usando a fórmula de Bhaskara (preciso quando as raízes têm valores próximos) e (ii) uma avaliação baseada na aproximação das fórmulas de Viète dadas acima (precisa quando as raízes estão bem separadas). Conforme o coeficiente linear ''b'' aumenta, inicialmente a fórmula quadrática é precisa, e a fórmula aproximada melhora sua precisão, levando a pequenas diferenças entre os métodos ao aumentar ''b''. No entanto, em algum ponto a fórmula de Bhaskara começa a perder precisão devido aos erros de arredondamento, enquanto o método aproximado continua a melhorar.

Outro algoritmo robusto e menos propenso a erros de arredondamento envolve a utilização da seguinte fórmula, assumindo <math> \Delta > 0</math> e <math>b>0</math>:
:<math>\begin{align}
x_1 &= \frac{-b - \sgn (b) \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a}, \\
x_2 &= \frac{2c}{-b - \sgn (b) \,\sqrt {b^2-4ac}} = \frac{c}{ax_1}.
\end{align}</math>
Aqui, sgn é a [[função sinal]], em que <math>\sgn (b)</math> é 1 se <math>b</math> é positivo, e -1 se <math>b</math> é negativo. Isso evita certos problemas de cancelamento na conta.

Essas situações de instabilidade são frequentes em projetos de amplificadores, onde é desejável raízes bastante separadas para garantir uma operação estável.

=== Outras relações entre as raízes ===
Denotando-se as raízes de uma equação do segundo grau por <math>r_1</math> e <math>r_2,</math> sua soma por <math>S = r_1 + r_2</math> e seu produto por <math>P = r_1 \cdot r_2,</math> verificam-se as seguintes relações entre as raízes:
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
{| class=wikitable
! Expressão envolvendo as raízes
! Definição
! Relação com <math>S</math> e <math>P</math>
|-
|Soma do inverso das raízes
|<math>\textstyle\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}</math>
|<math>\textstyle\frac{S}{P}</math>
|-
|Soma dos quadrados das raízes
|<math>r_1^2+r_2^2</math>
|<math>S^2-2P</math>
|-
|Soma dos quadrados dos inversos das raízes
|<math>\textstyle\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}</math>
|<math>\textstyle\frac{S^2-2P}{P^2}</math>
|-
|Soma dos cubos das raízes
|<math>r_1^3 + r_2^3</math>
|<math>S^3 - 3S \cdot P</math>
|-
|Média aritmética das raízes
|<math>\textstyle\frac{r_1 + r_2}{2}</math>
|<math>\textstyle\frac{S}{2}</math>
|-
|Média geométrica das raízes
|<math>\sqrt{r_1 \cdot r_2}</math>
|<math>\sqrt{P}</math>
|-
|Média harmônica das raízes
|<math>\textstyle\frac{1}{\frac{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}}{2}}</math>
|<math>\textstyle\frac{2P}{S}</math>
|}

{{referências|Notas e referências}}

== Bibliografia ==
* MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8
* Refatti, Liliane Rose; Bisognin, Eleni. ''[http://sites.unifra.br/Portals/36/tecnologicas/2005/Aspectos.pdf Aspectos Históricos e Geométricos da Equação Quadrática]''.
* [[Elon Lages Lima]], Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. ''[http://www.sbm.org.br/pageviews.php?secao=cpm13,&idcol=64 A Matemática do Ensino Médio - Volume 1]''. 5ª Edição. Capítulo 6. [[SBM]], 2001. ISBN 85-85818-10-7

{{Equação polinomial}}
{{Portal-Matemática}}

[[Categoria:Equações polinomiais]]