\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
\usepackage{mathtools} %DeclarePairedDelimiter
\usepackage[only, llfloor, rrfloor, llceil, rrceil]{stmaryrd} %\rrfloor...
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{listings}

\usepgfplotslibrary{external}

\newtheorem*{Lemma}{Лемма}
\newtheorem*{Theorem}{Теорема}
\newtheorem*{Observation}{Наблюдение}
\newtheorem*{Problem1}{Задание 1}
\newtheorem*{Problem2}{Задание 2}
\newtheorem*{Problem3}{Задание 3 }
\newtheorem*{Problem3.2}{Задание 3.2 }
\newtheorem*{Problem3.3}{Задание 3.3 }
\newtheorem*{Problem4}{Задача 4 }
\newtheorem*{Problem4b}{Задача 4b}
\newtheorem*{Problem5}{Задача 5}
\newtheorem*{Problem6}{Задача 6}
\newtheorem*{Problem7}{Задача 7}
\newtheorem*{Problem8}{Задача 8a}
\newtheorem*{Problem9}{Задача 9}
\newtheorem*{Problem9b}{Задача 9b}
\newtheorem*{Problem10}{Задача 10}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{Solution}{Решение}
\newtheorem*{Answer}{Ответ}
\newtheorem*{Solved}{Доказано}


\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter\ffloor{\llfloor}{\rrfloor}
\DeclarePairedDelimiter\cceil{\llceil}{\rrceil}

\pgfplotsset{width=10cm,compat=1.9}

\begin{document}
    \begin{tabbing}
        \hspace{11cm}
        \= Студент: \= Сафиуллин Зуфар \\
        \> Группа: \> 183-2 \\
        \> Дата: \> \today \\
    \end{tabbing}
    \hrule
    \vspace{1cm}

    \begin{center}
        \Large{Алгоритмы и структуры данных.
Упорядоченные данные, элементарные стурктуры
данных. Домашнее задние 3.}
    \end{center}
    \begin{Problem4}
    \begin{Solution}
    Посчитаем все префиксные суммы. Очевидно, что теперь задача свелась к поиску ближайших двух одинаковых чисел. Заведем $unordered_map<value, index> mp$, в котором будем хранить для числа последнюю позицию, на которой она встречалась. Тогда для текущего value достаточно просто посмотреть на $mp[value]$ и если в ней лежит не 0, то обновить ответ если текущий $index - mp[value] < ans$.
    \end{Solution}
    \end{Problem4}
    \begin{Problem1}
    \begin{Solution}
    Посмотрим на некую пару x1, x2. Вероятность того, что коллизия не произойдет на одной из хэш функций = $\dfrac{U-1}{U}$.
    Вероятность того, что коллизия произойдет на $k$ функциях - обратная вероятности что на всех не произойдет:
    \[
        1 - \left(\dfrac{U - 1}{U}\right)^{k}
    \]
    Тогда, если у нас n элементов, нужно пройтись по всем парам и в силу линейности матожидания будет:
    \[
        \dfrac{n \cdot (n - 1)}{n}\cdot \left(1 - \left(\dfrac{U - 1}{U}\right)^{k}\right)
    \]
    При $k = U$ будет
    \[
        \dfrac{n \cdot (n - 1)}{n}\cdot \left(1 - \left(1-\dfrac{1}{U}\right)^{U}\right)
    \]
    А при $U->\infty$ это равно:
    \[
        \dfrac{n \cdot (n - 1)}{n}\cdot \left(1-e^{-1}\right)
    \]
    \end{Solution}
    \end{Problem1}
    \begin{Problem2}
    \begin{Solution}
    \end{Solution}
    \end{Problem2}
\end{document}