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VinBR

EDC 12/04/2012

VinBR
Apr 15th, 2012
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  1.  
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  7.  
  8. NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
  9. - y´t = dy/dt
  10. - y´´t = d²y/dt²
  11. - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
  12. - y´n´t = d^ny/d t^n
  13. - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
  14. - int f(x) = integral de f(x)
  15. - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
  16. - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
  17. - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
  18.  
  19. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  20.  
  21. Hoje vamos começar a falar da Tranformada de Laplace!
  22. Vou dar um resumo do que ele é.
  23.  
  24. Essa tranformada é um caminho para contornar o problema das EDOs.
  25. Como é muito difícil voce eliminar os y' e y'',
  26. as vezes o laplace te da um macete para trocar essa equação por uma equação comum sem derivadas =].
  27.  
  28. O lado negativo do laplace é que ele é uma decoreba, o professor deve nos fornecer a tabela com as decorebas na prova (ou não ele não deixou claro)
  29. Básicamente cada tranformada é uma "integral notável" a integral em sí é complicada, mas se voce tiver decorado voce faz fácil.
  30.  
  31. O segundo problema é que apesar de voce conseguir uma nova equação que não é diferencial,
  32. essa equação num tem nada a ver com seu problema original :D.
  33. Assim para contornar esse problema voce tem que separar os termos e usar
  34. a "Tranformada Reversa de Laplace" para voltar ao problema original.
  35.  
  36. Usando a tranformada reversa certa, voce não tera uma EDO quando voltar pra realidade, o que resolveu seu problema certo?
  37.  
  38. Então é básicamente isso, uma ferramenta de tranformadas decoradas com
  39. a qual voce consegue sair de um problema diferencial para chegar em uma equação comum.
  40.  
  41. O resto é muita algebra pra encaixar os problemas reais nas integrais decoradas, ou melhor nas integrais escritas na tabela :D.
  42.  
  43. A partir de hoje então vamos começar a ter uma tabela de Tranformadas Notáveis de Laplace, e só vamos crescer ela à cada nova descoberta =].
  44. // Vou anotar toda a tabela aqui nas notas, no inicio de cada aula =].
  45.  
  46. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  47.  
  48. Agora antes de começarmos a falar do Laplace própriamente dito,
  49. vamos falar sobre um conceito que faz parte do Laplace:
  50.  
  51. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  52.  
  53. CONCEITO:
  54. O que são Integrais Improprias? (Laplace é uma :D)
  55.  
  56. Seja uma integral do tipo:
  57.  
  58. int (0,1) 1/raiz(x)
  59.  
  60. Note que ela é uma "Integral Impropria", porque a medida que se aproxima de 0 a integral vai para infinito.
  61.  
  62. A maneira para se calcular essa integral, ou qualquer outra integral impropria, é usar limite:
  63.  
  64. lim a->0 [ int (a,1) 1/raiz(x) ]
  65.  
  66. O que agora é uma integral própria com um limite e vai dar um resultado bem mais normal do que infinito.
  67.  
  68. Simples né?
  69.  
  70. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  71.  
  72. TRANSFORMADA DE LAPLACE:
  73.  
  74. Agora falando da tranformada de Laplace.
  75. Toda Tranformada de Laplace é dada por uma integral imprópria da forma:
  76.  
  77. L( f(t) ) = int (0,infinito) e^(-st) f(t) dt
  78.  
  79. Onde f(t) é a função a ser transformada.
  80. Notem que após a transformação a variável t some, ou com o valor 0 ou com o valor infinito.
  81. E sobra a variável s, ou seja alem de fazer uma integração estranha voce troca a variável do problema por outra =P.
  82. // Isso é estranho mas não há problema porque é totalmente reversível, então agente consegue recuperar o t depois =].
  83.  
  84. Bem com isso falamos de "o que é" a transformada de Laplace.
  85. Agora vamos descobrindo uma a uma, as transformadas de várias
  86. funções para podemos decorar e usar sem fazer os calculos toda vez.
  87. Já que afinal essa é uma integral bem feia né?, se tivesse que calcular ela toda vez ia ser um problema.
  88.  
  89. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  90.  
  91. Bem vamos começar calculando o que fazer se f(t) = 1?
  92.  
  93. Ou seja a transformada "L(1) = ?"?
  94.  
  95. L(1) = int (0,inf) e^(-st) * 1 dt
  96. ou
  97. L(1) = int (0,inf) e^(-st) dt
  98.  
  99. Como é uma integral imprópria precisamos usar um limite:
  100.  
  101. lim A->inf [ int (0,A) e^(-st) dt ]
  102.  
  103. Vamos integrar, mas notem que o caso s=0 gera uma integral diferente então por enquanto vamos considerar s!=0.
  104.  
  105. Integrando temos:
  106.  
  107. lim A->inf [ [-e^(-st)/s] (0,A) ]
  108.  
  109. lim A->inf [ [-e^(-s * A)/s] - [-e^(-s * 0)/s] ]
  110.  
  111. ou simplificando:
  112.  
  113. lim A->inf [ -[e^(-s * A)/s] + [1/s] ]
  114.  
  115. Perceba que para s positivo o limite tende a 1/s.
  116.  
  117. Porém para s negativo tende a infinito, então vamos considerar s > 0 por enquanto.
  118.  
  119. Agora vamos calcular, para onde isso vai quando s = 0.
  120.  
  121. A integral original ficaria:
  122.  
  123. lim A->inf [ int(0,A) -e^(-0t) dt ]
  124.  
  125. ou
  126.  
  127. lim A->inf [ int(0,A) 1 dt ]
  128.  
  129. Integrando e jogando limite para infinito teremos infinito =].
  130.  
  131. Então vamos desconsiderar esse resultado também e assumir que para isso fazer sentido:
  132.  
  133. s>0
  134.  
  135. Dessa forma concluimos que a Tranformada de Laplace para a função constante 1 é:
  136.  
  137. { 1/s para s>0
  138. { infinito para s=0
  139. { -infinito para s<0
  140.  
  141. Vamos usar apenas L(1) = 1/s para s>0.
  142.  
  143. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  144.  
  145. Nosso primeiro Item da tabela:
  146.  
  147. f ( t ) | L ( f )
  148. 1 | 1/s, s>0
  149.  
  150. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  151.  
  152. Segunda transformada, a tranformada da função "e^( a t )"
  153.  
  154. L( e^( a t ) ) = ... o professor fez a demonstração não copiei =P
  155.  
  156. Eu fiz sozinho, mas o resultado ficou meio estranho, depois se alguém tiver saco,
  157. me manda um e-mail corrigindo, pq eu errei alguma conta:
  158.  
  159. L( e^( at ) ) = R (pra simplificar, o R é de Resposta)
  160.  
  161. R = int(0,inf) e^(-st) e^(at) dt
  162.  
  163. R = lim A->inf [ int(0,A) e^(-st) e^(at) dt ]
  164.  
  165. Para simplificar vamos resolver separadamente Rl (resposta do limite):
  166.  
  167. Rl = int (0,A) e^(-st) e^(at) dt
  168.  
  169. Integrando por partes, chamamos U = e^(-st) e dV = e^(at)
  170.  
  171. E pela fórmula:
  172.  
  173. UV = int U dV dt + int dU V dt
  174.  
  175. Podemos re-escrever Rl como:
  176.  
  177. Rl = UV - int dU V dt
  178.  
  179. ou
  180.  
  181. Rl = [e^(-st) e^(at)/a](0,A) - int (0,A) -s e^(-st) e^(at)/a
  182.  
  183. ou simplificando:
  184.  
  185. Rl = [e(-st) e^(at)/a](0,A) + s/a int (0,A) e^(-st) e^(at) dt
  186.  
  187. E por fim notem que a integral a direita é igual a definição original de L( e^(at) ) = int(0,A) e^(-st) e^(at) dt
  188.  
  189. Substituindo isso a equação fica bem simples:
  190.  
  191. Rl = [e^(-st) e^(at)/a](0,A) + s/a L( e^(at) )
  192.  
  193. E portanto:
  194.  
  195. R = lim A->inf [[ e^(-st) e^(at)/a](0,A) + s/a L( e^(at) ) ]
  196.  
  197. Substituindo R = lim A->inf L( e^(at) )
  198.  
  199. R = lim A->inf [[ e^(-st) e^(at)/a](0,A) + s/a R ]
  200.  
  201. Simplificando o lado esquerdo:
  202.  
  203. R = lim A->inf [[ e^((a-s)t)/a ](0,A) + s/a R ]
  204.  
  205. Aplicando o limite:
  206.  
  207. R = e^((a-s)A)/a - e^((a-s)0)/a + s/a R
  208.  
  209. ou
  210.  
  211. R = e^((a-s)A)/a - 1/a + s/a R
  212.  
  213. Considerando s<=a o negócio vai ficar muito doido, ou vai pra infinito ou vai dar uma lopital.
  214.  
  215. Mas como eu sei que o professor vai considerar o caso s>a vamos falar só dele:
  216. Considerando s>a:
  217.  
  218. R = 0 - 1/a + s/a R
  219.  
  220. ou
  221.  
  222. R = -1/a + s/a R
  223.  
  224. Isolando R temos:
  225.  
  226. R - s/a R = -1/a
  227.  
  228. R(1 -s/a) = -1/(a * (1 -s/a))
  229.  
  230. R = -1/(a-s)
  231.  
  232. ou
  233.  
  234. R = 1/(s-a) para s>a.
  235.  
  236. Por fim, lembrando que R = L(e^(at))
  237.  
  238. L( e^(at) ) = 1/(s-a) para s>a.
  239.  
  240. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  241.  
  242. Assim vamos começar a montar nossa tabela de Laplace.
  243.  
  244. Nessa tabela vamos anotar bonitinho cada transformada que já tenhamos calculado para facilitar nossos calculos futuros.
  245.  
  246. Até agora sabemos:
  247.  
  248. f ( t ) | L ( f )
  249. 1 | 1/s, s>0
  250. e^(at) | 1/(s-a), s>a
  251.  
  252. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  253.  
  254. A Tranformada de Laplace é uma operador Linear.
  255. Assim sendo a tranformada da combinação linear de duas funções é igual a combinação linear dos laplaces das duas funções:
  256.  
  257. L(af + bg) = a L(f) + b L(g)
  258.  
  259. Isso é muito útil quando voce tem uma constante multiplicando alguma função da tabela.
  260.  
  261. Pq aí fica fácil voce jogar a constante para fora, e substituir a tranformada pela pela função.
  262.  
  263. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  264.  
  265. Vamos relembrar a definição de seno e cosseno hiperbolico:
  266.  
  267. CONCEITO:
  268. Cosseno hiperbolico:
  269.  
  270. f(t) = cosh (a t) = (e^(at) + e^(-at)) / 2
  271.  
  272. CONCEITO:
  273. Seno hiperbolico:
  274.  
  275. f(t) = senh (a t) = (e^(at) - e^(-at)) / 2
  276.  
  277. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  278.  
  279. Mais um item para nossa tabela: Cosseno Hiperbólico, vamos calcular?
  280.  
  281. L(cosh (at)) = L(e^(at)/2 + e^(-at)/ 2) = L(e^(at))/2 + L(e^(-at))/2.
  282.  
  283. Mas já conhecemos o valor de L(e^(at)) certo?
  284.  
  285. Então vamos substituir com base na nossa tabela:
  286.  
  287. f ( t ) | L ( f )
  288. 1 | 1/s, s>0
  289. e^(at) | 1/(s-a), s>a
  290.  
  291. L(cosh (at)) = 1/2 [ 1/(s-a) + 1/(s+a) ]
  292.  
  293. Tirando o mínimo multiplo comum e somando temos:
  294.  
  295. L(cosh (at)) = s/(s² - a²), mas isso só é válido se s > |a|
  296.  
  297. Nossa tabela atualizada:
  298.  
  299. f ( t ) | L ( f )
  300. 1 | 1/s, s>0
  301. e^(at) | 1/(s-a), s>a
  302. cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  303.  
  304. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  305.  
  306. Calculando agora o laplace do seno Hiperbólico.
  307. Obivamente a idéia é analoga à do cosseno =P:
  308.  
  309. Enquanto no cosseno a fórmula fica:
  310.  
  311. L(cosh (at)) = 1/2 [ 1/(s-a) + 1/(s+a) ]
  312.  
  313. No caso do senh fica:
  314.  
  315. L(senh (at)) = 1/2 [ 1/(s-a) - 1/(s+a) ]
  316.  
  317. E tirando o MMC e somando, nesse caso fica:
  318.  
  319. a/(s²-a²) com s>|a|
  320.  
  321. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  322.  
  323. Atualizando nossa tabela temos:
  324.  
  325. f ( t ) | L ( f )
  326. 1 | 1/s, s>0
  327. e^(at) | 1/(s-a), s>a
  328. cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  329. senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  330.  
  331. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  332.  
  333. Agora vamos fazer a Tranformada que talvez seja a mais interessante da aula.
  334.  
  335. Vamos calcular o Laplace da derivada de uma função, ou seja L( y'):
  336.  
  337. L(y') = int (0,inf) e^(-at) y' dt
  338.  
  339. Colocando o limite:
  340.  
  341. = lim A->inf [int (0,A) e^(-at) y' dt]
  342.  
  343. Se fizermos uma integral por partes temos:
  344.  
  345. U = e^(-at)
  346. dv = y'
  347.  
  348. E pela fórmula:
  349.  
  350. UV = int UV' + int U'V
  351.  
  352. Temos:
  353.  
  354. L(y') = lim(A->inf) [ [e^(-st) y ](0,A) - int (0,A) y * - s e^(-st) dt ]
  355.  
  356. ou simplificando ligeiramente:
  357.  
  358. L(y') = lim(A->inf) [ [e^(-st) y(t) ](0,A) + s int (0,A) y e^(-st) dt ]
  359.  
  360. Note que agora a integral que resta é equivalente a L(y)
  361.  
  362. Fazendo esta substituição temos uma equação bem mais simples:
  363.  
  364. L(y') = lim (A->inf) [ [e^(-st) y(t)](0,A) ] + s L(y)
  365.  
  366. L(y') = lim (A->inf) [ e^(-sA) y(A) - e^(-s0) y(0) ] + s L(y)
  367.  
  368. L(y') = lim (A->inf) [ e^(-sA) y(A) - e^(-s0) y(0) ] + s L(y)
  369.  
  370. L(y') = lim (A->inf) [ e^(-sA) y(A) - y(0) ] + s L(y)
  371.  
  372. Aplicando o limite:
  373.  
  374. Note que para s>0, o termo exponencial vai para 0, então teriamos:
  375.  
  376. L(y') = s L(y) - y(0), s>0
  377. // PS: eu não vi o professor escrever a restrição s>0,
  378. // o que sugere que eu errei essa minha deduçào, ou não vi ele escrevendo o s>0.
  379. // De qualquer jeito o que foi escrito na tabela é isso mesmo então ta tudo certo =].
  380.  
  381. E agora eliminamos de uma coisa que antes era uma equação diferencial as derivadas =].
  382.  
  383. E virou uma equação comum, o lado negativo é que não temos mais a equação que tinhamos originalmente =/.
  384.  
  385. A boa noticia que eu já adianto antes do professor falar é que a tranformada é reversível:
  386.  
  387. L⁻¹( L(y) ) = y
  388.  
  389. Sabendo disso mais na frente vamos treinar reverter essa equação para uma equação comum.
  390.  
  391. Bem voltando para o que o professor ta falando, agora nós temos um novo item para nossa tabela:
  392.  
  393. f ( t ) | L ( f )
  394. 1 | 1/s, s>0
  395. e^(at) | 1/(s-a), s>a
  396. cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  397. senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  398. y' | s L(y) - y(0)
  399.  
  400. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  401.  
  402. Agora vamos falar da reversa de Laplace, ou seja se há uma equação na forma:
  403.  
  404. 1/s, com s>0
  405.  
  406. se aplico a inversa tenho a função constante 1,
  407. e assim por diante para cada valor da tabela.
  408.  
  409. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  410.  
  411. Bem vamos usar um exemplo para ver como isso funciona.
  412.  
  413. Seja um PVI bem simples:
  414.  
  415. { y' = y
  416. { y(0) = 1
  417.  
  418. // (De cabeça da pra deduzir o resultado que é e^t)
  419.  
  420. Aplicando laplace sobre ambos os lados temos:
  421.  
  422. s L(y) - y(0) = L(y)
  423.  
  424. Isolando L(y) temos:
  425.  
  426. L(y) = y(0)/(s-1)
  427.  
  428. Substituindo y(0) por 1 temos:
  429.  
  430. L(y) = 1/(s-1)
  431.  
  432. Aplicando a reversa L⁻¹ temos:
  433.  
  434. y = L⁻¹(1/(s-1)) = L⁻¹(1/s-a) com a=1
  435.  
  436. Olhando na tabela vemos que a reversa vai ficar:
  437.  
  438. y = e^(at), com a = 1
  439.  
  440. ou seja:
  441.  
  442. y = e^t
  443.  
  444. Como a EDO original é muito simples é fácil ver que acertamos o resultado =].
  445.  
  446. O lado bom do método de laplace é que é fácil de ser aplicado, basta se ter a tabela em mãos, e um pouco de algebra.
  447.  
  448. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  449.  
  450. Exercicio de fim de aula:
  451.  
  452. L(sen(at)) = ?
  453.  
  454. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  455.  
  456. Resolução:
  457.  
  458. L(sen(at)) = lim(A->inf) [ int(0,a) e^(-st) sen(at) dt ]
  459.  
  460. Se U = e^(-st) e dV = sen(at)
  461.  
  462. então temos:
  463.  
  464. L(sen(at)) = lim A->inf [ [e^(-st) * - cos(at)/a](0,A) - int(0,A) e^(-st) * -s * -cos(at)/a dt ]
  465.  
  466. ou simplificando:
  467.  
  468. L(sen(at)) = lim A->inf [ [-e^(-st) cos(at)/a ](0,A) - s/a int(0,A) e^(-st) cos(at) dt ]
  469.  
  470. Integrando de novo por partes na integral remanecente:
  471.  
  472. U = e^(-st)
  473. dV = cos(at)
  474.  
  475. Assim:
  476.  
  477. isso:
  478. L(sen(at)) = lim A->inf [ [-e^(-st) cos(at)/a ](0,A) - s/a int(0,A) e^(-st) cos(at) dt ]
  479.  
  480. vira isso:
  481. L(sen(at)) = lim A->inf [ [-e^(-st) cos(at)/a ](0,A) - s/a ([e^(-st) sen(at)/a](0,A) + s/a int(0,A) e^(-st) sen(at) dt) ]
  482.  
  483. Agora note que a integral que restou é igual à: L(sen(at))
  484.  
  485. Assim podemos simplificar tudo:
  486.  
  487. L(sen(at)) = lim A->inf [ [-e^(-st) cos(at)/a ](0,A) - s/a ([e^(-st) sen(at)/a](0,A) + s/a L(sen(at)) ]
  488.  
  489. Aplicando os intervalos (0,A)
  490.  
  491. L(sen(at)) = lim A->inf [ [-e^(-st) cos(at)/a ](0,A) - s/a ([e^(-st) sen(at)/a](0,A) + s/a L(sen(at)) ]
  492.  
  493. // Bem termino isso depois, ta quase pronto.
  494.  
  495. Resultado: a/(s²+a²)
  496. // O professor escreveu o resultado no quadro antes do fim da aula.
  497.  
  498. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  499.  
  500. Exercicios (cap 6):
  501.  
  502. pg 243 - 1, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 18, 21, 23, 26
  503. (7,8 já foram feitos em sala)
  504. (6 foi o exercicio de fim de aula)
  505. (11 e 12 são parecidos com o 6, mas é bom fazer)
  506. (26 é interessante, "desafiador" nas palavras do professor)
  507.  
  508. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  509.  
  510. // Fim da aula!
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