snowball_chunkload_random_process雪球加载末地这一随机过程的概率分析

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\title{雪球加载末地这一随机过程的概率分析}
\author{JesseM1024}
\date{May 2025}

\begin{document}

\maketitle

\section{雪球初速随机过程}

使用 $a$ 为左端点, $c$ 为折点, $b$ 为右端点的三角分布，有如下概率函数

\[
TriangPDF(x,a,b,c) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{for } x < a, \\[1.2ex]
\frac{2(x - a)}{(b - a)(c - a)} & \text{for } a \leq x < c, \\[1.2ex]
\frac{2}{b - a} & \text{for } x = c, \\[1.2ex]
\frac{2(b - x)}{(b - a)(b - c)} & \text{for } c < x \leq b, \\[1.2ex]
0 & \text{for } b < x
\end{array}
\right.
\]
\[
TriangCDF(x,a,b,c) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{for } x \leq a, \\[1.2ex]
\frac{(x - a)^2}{(b - a)(c - a)} & \text{for } a < x \leq c, \\[1.2ex]
1 - \frac{(b - x)^2}{(b - a)(b - c)} & \text{for } c < x < b, \\[1.2ex]
1 & \text{for } b \leq x
\end{array}
\right.
\]
发射器向下发射时，由于目标向量标准化后为$(0,-1,0)$，有$power=1.1$, $uncertainty = 6$，很明显$v_{x}, v_{z}$速度分量应当为
\[
v_{x} \sim power \cdot TriangPDF(x,-0.0172275 uncertainty,0.0172275 uncertainty,0)
\]
\[
v_{x} \sim TriangPDF(x,-0.1137015,0.1137015,0)
\]
\[
v_{z} \sim TriangPDF(x,-0.1137015,0.1137015,0)
\]
使用雪人时，目标轴向近似为$(0,0,1)$，有$power=1.6, uncertainty = 12$，很明显$v_{x}, v_{z}$速度分量应当为
\[
v_{x}\sim triang(-0.330768,0,0.330768)
\]
\[
v_{z}\sim triang(1.269232,1.6,1.930768)
\]

\newpage
\section{水中运动学模型}

对于玩家投掷的雪球，$t=0$在水中生成后，$t=1$仍使用空气阻力计算速度增量、位移，$t=2$才开始使用水中阻力；而雪人很明显需要在空气中，同样的$t=1$空阻，$t=2$水阻。使发射的雪球在使雪球生成时间刻为$t=0$，在$\mathbf{x}_{0} = (x_{0},y_{0},z_{0})$处，有初速$\mathbf{v}_{0} = (v_{x0},v_{y0},v_{z0})$，则：
\[
\mathbf{v}_{t}=\left\{
\begin{array}{ll}
0.8\mathbf{v}_{t-1} & \text{for } t > 1, \\[1.2ex]
0.99\mathbf{v}_{t-1} & \text{for } t = 1
\end{array}
\right.
\]
\[
\mathbf{x}_{t} = \mathbf{x}_{0}+\sum_{i=1}^{t} \mathbf{v}_{t}
\]
对于初速$v_{x0}$，则最终相对于起始点$x0$，轴向位移$x_{final}$为
\[x_{final} = v_{x0}\times(0.99+0.99\times(\sum_{i=1}^{\infty} 0.8^{i})) = 4.95 v_{x0}\]

\section{推导落点分布}
\subsection{发射器}
对于方块坐标在$(x,y,z)$的发射器，发射器向下发射雪球时，雪球会在$(x+0.5,y-0.1,z+0.5)$处生成，并立即计算速度，更新位移。创建的雪球在世界上可探测的第0刻，已经偏移生成点。无法通过统计学证明其初速度在可探测时已经被应用了一次0.99倍风阻系数。$x$轴在一格水阻尼通道中撞击壁面的概率$p_{fail}$如下
\[
v_{x} \sim TriangPDF(x,-0.1137015,0.1137015,0)
\]
\[
v_{z} \sim TriangPDF(x,-0.1137015,0.1137015,0)
\]
\[P (x_{final} < -0.5\text{ or }x_{final} > 0.5) = 2 P(x_{final} < -0.5)\]
\[ = 2 P(4.95 v_{x} < -0.5)= 2 P(v_{x} < \frac{-10}{99})\]
\[CDF(x) = \frac{(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}\]
\[CDF(\frac{-10}{119}) = \frac{(\frac{-10}{99}+0.1137015)^{2}}{(0.1137015+0.1137015)(0.1137015)} = 0.006229549\]
\[p_{fail} = P (x_{final} < -0.5\text{ or }x_{final} > 0.5) = 1.2459098\%\]

使用一格水阻尼通道，考虑$x,z$两轴，发射一颗雪球在两轴上均未撞击壁面，速度成功归零$(<10^{-6}m/t)$的概率为
\[P(|x_{final}| < 0.5 \text{ and } |z_{final}| < 0.5) = (1-p_{fail})^{2} = 97.52370331229736\%\]
\newpage
\subsection{雪傀儡}
生成雪球时$ power=1.6, uncertainty=12, $假设经过标准化后$direction = <0,0,1>$
，则有
\[
v_{x}\sim triang(-0.330768,0,0.330768)
\]
\[
v_{z}\sim triang(1.269232,1.6,1.930768)
\]
\[\text{final } x\text{ displacement interval} = 4.95\times(-0.330768, 0.330768) = (-1.6373016,  1.6373016)\]
\[\text{final } z\text{ displacement interval} = 4.95\times(1.269232, 1.930768) = (6.2826984, 9.5573016)\]

当使用与末地门一样的3格宽减速水，$x$轴偏移概率为
\[p_{failx}=P (x_{final} < -1.5 \text{ or } x_{final} > 1.5) = 2 P(x_{final} < -1.5) \]
\[= 2 P(4.95 v_{x} < -1.5)= 2 P(v_{x} < -\frac{10}{33}) \]
\[CDF(-\frac{10}{33}) = \frac{(-\frac{10}{33}+0.330768)^{2}}{(0.330768+0.330768)(0.330768)} = 0.0035161211314931745234\]
\[p_{failx} = 2\times0.0035161211314931745234 = 0.007032242262986349 \]
\[p_{success}=P(\text{雪傀儡发射雪球在最终分布中心$3\times3$格内})=(1-p_{failx})^{2}\]
\[= 0.9859849679\]
但是$z$轴分布中心不为$3\times3$开口的方块中心，对于目标方向$<0,0,1>$对应的$v_{z}$，从雪傀儡脚下方块算1格，若第7格开始开3宽的开口，实际概率如下

\begin{align*}
p_{failz}
&=P(z_f < 6.5) + P(z_f > 9.5) \\
&= \frac{(6.5 - 6.2826984)^2}{(9.5573016 - 6.2826984)\left(\frac{9.5573016 + 6.2826984}{2} - 6.2826984\right)} \\
&\quad + 1 - \left(1 - \frac{(9.5573016 - 9.5)^2}{(9.5573016 - 6.2826984)\left(\frac{9.5573016 - 6.2826984}{2}\right)}\right) \\
&= 0.0094196280363306427143
\end{align*}
\[P_{real\_succ} = (1-p_{failx})(1-p_{failz}) = 0.9836143708\]

发射器接一格水阻尼通道其实不是必要的，真要规定$x,z$轴最终偏移，可以用$3\times3$通道，或者将发射器放的离门近一些，均可确保雪球进入末地门。但是若使用雪傀儡，则即使使用水阻尼减速，$3\times3$的开口也无法确保所有雪球落入末地门。

考虑水平状态下的最坏情况$direction = <0,0.2,1>$，此时
\[
v_{z}\sim (triang(-0.0172275\times 12,0,0.0172275\times 12)+0.980581)\times 1.6
\]
\[v_{z}\sim triang(1.23816, 1.56893, 1.8997)\]
自然有$z$最终落点分布
\[z_{final}\sim triang(6.12889, 7.7662, 9.40352)\]

新的$z$轴撞墙概率为
\begin{align*}
p_{failz}
&=P(z_f < 6.5) \\
&= \frac{(6.5 - 6.12889)^2}{(9.40352 - 6.12889)\left(\frac{9.40352 + 6.12889}{2} - 6.12889\right)}\\
&=0.0256868492757
\end{align*}
代入该概率求得雪球进门概率下界
\[P_{real\_succ} = (1-p_{failx})(1-p_{failz}) = 0.9674615446\]


\newpage
\section{末地卸载概率}
\subsection{马尔可夫过程定义}
计算雪球连续未通过末地门次数，单次未通过为伯努利过程，成功（未通过）概率 $p$，失败概率 $q = 1 - p$。要求$n$次伯努利试验中出现至少$k$次连续成功的概率，需创建马尔可夫过程，状态集定义为：

\[
\mathcal{S} = \{S_0, S_1, S_2, \dots, S_k\}
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, node distance=2cm, thick, >=stealth, every node/.style={scale=0.9}]
  \node (S0) [circle, draw] {$S_0$};
  \node (S1) [circle, draw, right of=S0] {$S_1$};
  \node (S2) [circle, draw, right of=S1] {$S_2$};
  \node (S3) [circle, draw, right of=S2] {$S_{...}$};
  \node (Sk) [circle, draw, right of=S3] {$S_k$};

  \draw (S0) to[bend left] node[above] {$p$} (S1);
  \draw (S1) to[bend left] node[above] {$p$} (S2);
  \draw (S2) to[bend left] node[above] {$p$} (S3);
  \draw (S3) to[bend left] node[above] {$p$} (Sk);

  \draw (S1) to[bend left] node[above] {$q$} (S0);
  \draw (S2) to[bend left] node[below=4pt] {$q$} (S0);
  \draw (S3) to[bend left] node[below] {$q$} (S0);
  \draw (Sk) edge[loop right] node[right] {1} (Sk);
\end{tikzpicture}
\end{center}

其中：

\begin{itemize}
  \item $S_0$ 为未出现连续成功；
  \item $S_i$ 为已连续成功 $i$ 次，末地平台正在靠15s加载票的剩余时间加载，$1 \leq i \leq k-1$；
  \item $S_k$ 吸收态，已出现连续 $k$ 次成功，末地平台成功卸载，储电设备可能损坏。
\end{itemize}

\subsection{转移矩阵与状态向量}

有转移概率矩阵 $P \in \mathbb{R}^{(k+1)\times (k+1)} $，行和为1

\[
P =
\begin{bmatrix}
q & p & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
q & 0 & p & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
q & 0 & 0 & p & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
q & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & p \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]

\begin{itemize}
  \item 失败：$q$，从除 $S_k$态转移到 $S_0$，否则不变——卸载已经发生；
  \item 成功：$p$，从 $S_i$ 转移到 $S_{i+1}$；
  \item $S_k$ 卸载已经发生。
\end{itemize}

有初始态向量
\[
\boldsymbol{\pi}^{(0)} = [1, 0, 0, \dots, 0] \in \mathbb{R}^{k+1}
\]
\[
\boldsymbol{\pi}^{(n)} = \boldsymbol{\pi}^{(0)} \cdot P^n
\]

$\boldsymbol{\pi}^{(n)}[k]$ 为 $n$ 次试验中至少一次出现连续 $k$ 次成功的概率，即为卸载概率。

\end{document}