function filterCalendar() {
    var events = $("#calendar").fullCalendar('clientEvents');

    events.map(function (event) {
        console.log(event);

        // o objeto event possui todas as propriedades que voce difiniu nele.
        // Voce consegue fazer o seu filtro por qualquer uma delas, por exemplo o titulo.
        if (evento.title.indexOf($('#inputFilter').val())) {
            event.className[0] = 'filter-hidden';
        } else {
            event.className[0] = '';
        }

        $('#calendar').fullCalendar('updateEvent', event);
    });
}

.filter-hidden {
    display: none;
}