check

let city= [] // краще cities
let check = false // ця змінна має булев тип, вона є флагом, тобто тру - флаг поднятий, фолсе - опущений, але ж іменування
// все одно може буде ясніше , наприклад isFound.
for (let i = 0; i < 10; i++) {
    city[i] = prompt("Vvedit' nazvu mist: ") // зручно бачити Vvedit' nazvu mista #1: і так до 10 )
}
let hometown = prompt("Yake vashe ridne misto?")
for (let j = 0; j < city.length; j++) // змінна і з наступного циклу "померла" у ньому ж, тобто можна не видумувати іншу для
// індексу ітерацій.
    if (hometown == city[j]) {
        check = true
        break // круто, оптимізація! тут break норм, але можна зберегти оптимізацію та обойтися без brake )
    }
if (check == true) { // if (check) - так круто писати)
    console.log("Ya znaju tvoye misto!")
} else {
    console.log("Ya NE znaju tvoye misto!")
}
// Гарного коду.