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- NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
- - y´t = dy/dt
- - y´´t = d²y/dt²
- - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
- - y´n´t = d^ny/d t^n
- - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
- - int f(x) = integral de f(x)
- - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
- - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
- - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
- - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
- - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.
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- Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:
- f ( t ) | L ( f )
- 1) 1 | 1/s, s>0
- 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
- 5) sen(at) | a/(s²+a²)
- 6) cos(at) | s/(s²+a²)
- 7) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
- 8) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
- 9) Uc(t) | e^(-sc)/s
- 10) Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
- 11) e^(ct)f(t) | L(f(s-c))
- 12) f(ct)? - sei não =P
- 16) f(t)**g(t) | L(f(t)) L(g(t))
- 17) ð(t-t0) | e^(-s t0)
- 19) y' | s L(y) - y(0)
- 19) y'' | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
- (a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)
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- Revisão da aula passada:
- Series de Fourrier:
- f(x) = a0/2 + sum(n=1,inf) [an cos(n pi x/L) + bn sen (n pi x/L)]
- A última coisa que falamos na aula passada foi que dada essa igualdade.
- f(x) necessáriamente tem de ter ao menos uma caracteristica especifica que é:
- f(x) = f(x+2L)
- Ou seja f(x) tem de ser uma função periodica de periodo 2L.
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- Previsão da aula de hoje:
- Na aula de hoje nós vamos provar as seguintes equaçòes para os valores de an, bn, e a0.
- an = 1/L int (-L,L) f(x) cos(n pi x/L) dx, n=1,2,3,...
- bn = 1/L int (-L,L) f(x) sen(n pi x/L) dx, n=1,3,4,...
- a0 = 1/L int (-L,L) f(x) dx
- Com essas equações seremos capazes de dado uma função qualquer de preiodo 2L descobrir qual a serie de fourrier dela.
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- Para provar os argumento acima vamos primeiro provar a
- Ortogonalidade das funções seno e cosseno.
- Essa ortogonalidade é expressa por 3 conclusões:
- 1) int (-L,L cos(n pi x/L) cos(m pi x/L) dx = 0 se m!=n, L se m=n
- 2) int (-L,L sen(n pi x/L) sen(m pi x/L) dx = 0 se m!=n, L se m=n
- 3) int (-L,L sen(n pi x/L) cos(m pi x/L) dx = 0
- Vamos agora provar que essas igualdades são verdadeiras.
- // O motivo pelo qual vamos estudar isso, é que para isolar an, bn, e a0
- // vamos usar essas premissas para zerar partes da serie de fourrier =P.
- Acho que não vamos provar =P
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- Vamos agora partindo de que as premissas acima são verdadeiras tentar isolar an, bn, a0:
- A equação de partida é essa:
- f(x) = a0/2 + sum(m=1,inf) [am cos(m pi x/L) + bm sen (m pi x/L)]
- Vamos começar integrando os 2 lados de -L a L em x:
- int(-L,L) f(x) = a0/2 int(-L,L) dx + sum(m=1,inf) [ am int(-L,L) cos(m pi x/L) dx + bm int(-L,L) sen (m pi x/L) dx ]
- Agora:
- int(-L,L) cos(m pi x/L) dx = 0 para m != 0 pela regra (1)
- int(-L,L) sen(m pi x/L) dx = 0 para m != 0 pela regra (3)
- Então vamos supor m != 0.
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- Vamos agora provar outra coisa:
- Partindo da equação:
- f(x) = a0/2 + sum(m=1,inf) [am cos(m pi x/L) + bm sen (m pi x/L)]
- Vamos multiplicar os 2 lados por cos(n pi x/L) dx:
- f(x) cos(n pi x/L) = a0/2 cos(n pi x/L) + sum(m=1,inf) [am cos(m pi x/L) cos(n pi x/L) + bm sen (m pi x/L) cos(n pi x/L) ]
- Agora vamos integrar de (-L,L):
- int(-L,L) f(x) cos(n pi x/L) dx = int(-L,L) a0/2 cos(n pi x/L) dx + sum(m=1,inf) [am int(-L,L) cos(m pi x/L) cos(n pi x/L) dx + bm int(-L,L) sen (m pi x/L) cos(n pi x/L) dx]
- Agora notem que:
- a fração do a0 vai dar 0.
- a fração do bn = 0
- Restando apenas an ou seja podemos re-escrever:
- int(-L,L) f(x) cos(n pi x/L) dx = sum(m=1,inf) am int(-L,L) cos(m pi x/L) cos(n pi x/L) dx
- ou
- int(-L,L) f(x) cos(n pi x/L) dx = an * L
- Parou por aqui.
- Parece que foi provado o (1), (2) e (3).
- Eu vou ter que revisar isso =P
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- Agora vamos provar an, bn e a0.
- Suponha que f(x) tem periodo 2L e é continua ou continua por partes.
- (lembrando que continua por partes significa que para todo valor de x a função é definida, e ela não vai nem pra infinito nem menos infinito.)
- (porém ela não precisa ser continua ou seja, uma função U2(x) ou seja a função degrau é continua por partes, mas não é continua)
- Então o que vamos provar agora é que sendo f(x) da forma descrita acima existe:
- a0/2 + sum(m=1,inf) [am cos(m pi x/L) + bm sen (m pi x/L)]
- Tal que seja verdade, as seguintes 3 igualdades:
- am = 1/L int (-L,L) f(x) cos(m pi x/L) dx, m=1,2,3,...
- bm = 1/L int (-L,L) f(x) sen(m pi x/L) dx, m=1,3,4,...
- a0 = 1/L int (-L,L) f(x) dx
- Agora no entanto, a Serie de Fourrier gerada por essas 3 equações não necessariamente tornam a igualdade:
- f(x) = a0/2 + sum(m=1,inf) [am cos(m pi x/L) + bm sen (m pi x/L)]
- Verdadeira.
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- Agora voltamos para as afirmativas (1), (2) e (3):
- // Eu acho
- Foram apresentadas as equações que estudamos no ensino médio:
- cos(a+b) = cos a cos b - sen a sen b
- cos(a-b) = cos a cos b + sen a sen b
- A partir dessas duas equações podemos fazer um sistema e somando o de cima com o de baixo:
- cos a cos b = (cos(a+b) + cos(a-b)) / 2
- Usando essa igualdade vamos substitui-los em (1)
- int (-L,L) cos(n pi x/L) cos(n pi x/L) dx = 1/2 [ int (-L,L) cos((m+n) pi x /L) dx + int (-L,L) cos ((m-n) pi x/L) dx ]
- Integrando temos:
- int (-L,L) cos(n pi x/L) cos(n pi x/L) dx = 1/2 [ (sen((m+n) pi x /L)) / ((m+n) pi/ L) ](-L,L) + (sen((m-n) pi x/L)) / ((m-n)pi/L)
- // Note que a equação acima só é verdade se m+n != 0 e m-n != 0
- Pensando dessa forma, vamos verificar o que acontece para os 2 casos: m==n e m != n
- Para a primeira integral o resultado fica 0.
- Para a segunda o resultado fica 1/2 2L ou seja fica L
- E está provado o caso (1) eu acho.
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- Exercicio:
- Determine a Série de Fourrier para a função onda quadrada f(x) com periodo 2.
- Ou seja:
- f(x) = 1 [0,1]
- f(x) = 0 ]1,2[
- f(x) = f(x+2)
- Vamos começar descobrindo a0:
- a0 = 1/L int (-L,L) f(x) dx
- No caso com periodo 2 podemos assumir que L = 1. a equaçào fica:
- a0 = int (-1,1) f(x) dx
- O resultado da integral fica:
- a0 = 1
- Agora vamos cálcular an:
- an = 1/L int (-L,L) f(x) cos(n pi x/L) dx, n=1,2,3,...
- ou
- an = int (-1,1) f(x) cos(n pi x) dx
- Como a função é 0 no intervalo [-1,0]
- Vamos simplificar a integral acima para:
- an = int (0,1) f(x) cos(n pi x) dx
- A integral fica:
- an = [sen(n pi x)/n pi](0,1)
- an = 1/(n pi) (sen n pi - sen 0) = 0
- Vamos por fim descobrir bn:
- bn = 1/L int (-L,L) f(x) sen(n pi x/L) dx, n=1,3,4,...
- ou
- bn = int (-1,1) f(x) sen(n pi x) dx
- Simplificando já que a função é 0 no intervalo [-1,0]
- bn = int (0,1) sen(n pi x) dx
- integrando:
- bn = [-cos(n pi x)/(n pi)](0,1)
- bn = (1-cos(n pi x))/(n pi)
- A série de fourrier gerada vai ficar na forma:
- 1/2 + sum(n=1,inf) 2/((2n+1)pi) sen ((2n+1) pi x)
- Notem que na equação acima, eu mudei um pouco o valor de bn, porque bn é sempre 0 para os valores pares de n, e sempre 1/(n pi) para os valores impares.
- ou o contrário não tenho certeza.
- Entendido?
- // Bem até agora a unica coisa que tenho certeza é que usando as formulas (1), (2) e (3) podemos gerar uma série de fourrier a partir de uma função f(x).
- // Tenho que fazer uma revisão dessa aula.
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- Temos duas perguntas a serem respondidas:
- 1° A serie de fourrier converge?
- 2° A serie de fourrier converge para f(x)?
- Acho que na aula de hoje mostramos que para funções com periodo 2L continuas ou continuas por partes, a série converge.
- (porque as integrais (1), (2) e (3) não vão para infinito)
- Parece que iremos responder a 2° na próxima aula.
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- // Fim da aula!
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