<table>
    <tbody>
        <tr>
            <td>1</td>
            <td>IPOTEZA CONTINUĂ</td>
            <td>Pentru matematicieni, toate infiniturile nu sunt la fel. Infiniturile numerelor de numărare — 1, 2, 3, … — sunt mai mici decât infinitatea tuturor numerelor reale, existând turnuri de infinitate și mai mari dincolo de real. Prima problemă a lui Hilbert, cunoscută și sub numele de ipoteza continuumului, este afirmația că nu există infinitate între infinitatea numerelor de numărare și infinitatea numerelor reale. În 1940, Kurt Gödel a arătat că ipoteza continuumului nu poate fi demonstrată folosind axiomele standard ale matematicii. În 1963, Paul Cohen a arătat că nu poate fi infirmată, făcând ipoteza continuumului independentă de axiomele matematicii.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>2</td>
            <td>COMPATIBILITATEA AXIOMELOR STANDARD DE ARITMETICĂ</td>
            <td>A doua problemă a lui Hilbert a fost să demonstreze că aritmetica este consecventă, adică că nu apar contradicții din ipotezele de bază pe care le-a prezentat într-una dintre lucrările sale. Această problemă a fost parțial rezolvată negativ: Kurt Gödel a arătat cu teoremele sale de incompletitudine în 1931 că este imposibil să se dovedească consistența unui sistem numit aritmetică Peano folosind doar axiomele aritmeticii Peano. Matematicienii încă dezbat dacă lucrarea lui Gödel este o soluție satisfăcătoare a problemei.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>3</td>
            <td>ECHIDECOMPONABILITATE</td>
            <td>Orice poligon poate fi tăiat într-un număr finit de bucăți poligonale și reasamblat în forma oricărui alt poligon cu aceeași zonă. A treia problemă a lui Hilbert - prima care trebuie rezolvată - este dacă același lucru este valabil și pentru poliedrele tridimensionale. Elevul lui Hilbert, Max Dehn, a răspuns negativ la întrebare, arătând că un cub nu poate fi tăiat într-un număr finit de bucăți poliedrice și reasamblat într-un tetraedru de același volum.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>4</td>
            <td>LINIA DREPTĂ CA CEA MAI SCURTĂ DISTANȚĂ ÎNTRE PUNCTE</td>
            <td>A patra problemă a lui Hilbert este despre ce se întâmplă atunci când relaxezi regulile geometriei euclidiene. Mai exact, ce geometrii pot exista în care o linie dreaptă este cea mai scurtă distanță dintre două puncte dar în care unele axiome ale geometriei euclidiene sunt abandonate? Unii matematicieni consideră problema prea vagă pentru a avea o rezoluție reală, dar există soluții pentru unele interpretări ale întrebării.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>5</td>
            <td>ÎNȚELEGEREA GRUPURILOR LIE</td>
            <td>A cincea problemă a lui Hilbert se referă la grupurile Lie, care sunt obiecte algebrice care descriu transformări continue. Întrebarea lui Hilbert este dacă cadrul inițial al lui Lie, care presupune că anumite funcții sunt diferențiabile, funcționează fără ipoteza diferențierii. În 1952, Andrew Gleason, Deane Montgomery și Leo Zippin au răspuns la întrebare, arătând că aceeași teorie apare dacă diferențiabilitatea este presupusă sau nu. Unii matematicieni au interpretat întrebarea diferit și, în consecință, au răspunsuri diferite.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>6</td>
            <td>AXIOMATIZAREA FIZICII</td>
            <td>Una dintre preocupările principale ale lui Hilbert a fost să înțeleagă fundamentele matematicii și dacă nu exista niciuna, să dezvolte fundamente riguroase prin reducerea unui sistem la adevărurile de bază sau axiomele sale. A șasea problemă a lui Hilbert este de a extinde această axiomatizare la ramuri ale fizicii care sunt extrem de matematice. S-au făcut unele progrese în plasarea unor domenii ale fizicii pe fundamente axiomatice, dar pentru că nu există încă o „teorie a tuturor” în fizică, nu a avut loc o axiomatizare generală</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>7</td>
            <td>IRAȚIONALITATEA ȘI TRANSCENDEA ANUMITELOR NUMERE. </td>
            <td>Un număr se numește algebric dacă poate fi zero al unui polinom cu coeficienți raționali. De exemplu, 2 este un zero al polinomului x − 2, iar √2 este un zero al polinomului x2 − 2. Numerele algebrice pot fi fie raționale, fie iraționale; numerele transcendentale precum π sunt numere iraționale care nu sunt algebrice. A șaptea problemă a lui Hilbert se referă la puterile numerelor algebrice. Luați în considerare expresia ab, unde a este un număr algebric altul decât 0 sau 1 și b este un număr algebric irațional. Trebuie să fie transcendential? În 1934, Aleksandr Gelfond a arătat că răspunsul este da.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>8</td>
            <td>PROBLEME ALE NUMERELOR PRIME</td>
            <td>A opta problemă a lui Hilbert include celebra ipoteză Riemann, împreună cu alte întrebări despre numerele prime.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>9</td>
            <td>LEGILE RECIPROCITĂȚII ȘI CÂMPURI DE NUMĂR ALGEBRICE</td>
            <td>A noua problemă a lui Hilbert este pe câmpuri numerice algebrice, extensii ale numerelor raționale pentru a include, să zicem, √2 sau anumite numere complexe. Hilbert a cerut cea mai generală formă a unei legi de reciprocitate în orice câmp numeric algebric, adică condițiile care determină ce polinoame pot fi rezolvate în câmpul numeric. Soluțiile parțiale ale lui Emil Artin, Teiji Takagi și Helmut Hasse au împins terenul mai departe, deși întrebarea nu a primit un răspuns integral. Problema a 12-a strâns legată, care tratează alte extensii ale numerelor raționale, este nerezolvată.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>10</td>
            <td>SOLVABILITATEA ECUATIEI DIOFANTINE</td>
            <td>Ecuațiile polinomiale dintr-un număr finit de variabile cu coeficienți întregi sunt cunoscute sub denumirea de ecuații diofantine. Ecuații precum x2 − y3 = 7 și x2 + y2 = z2 sunt exemple. Timp de secole, matematicienii s-au întrebat dacă anumite ecuații diofantine au soluții întregi. A zecea problemă a lui Hilbert întreabă dacă există un algoritm pentru a determina dacă o anumită ecuație diofantină are sau nu soluții întregi. În 1970, Yuri Matiyasevich a completat cu o dovadă că nu există un astfel de algoritm</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>11</td>
            <td>FORME CADRATICE ARBITRARE</td>
            <td>A 11-a problemă a lui Hilbert se referă și la câmpuri numerice algebrice. O formă pătratică este o expresie, ca x2 + 2xy + y2, cu coeficienți întregi în care fiecare termen are necunoscute ridicate la un grad total de 2. Numărul 9 poate fi reprezentat folosind numere întregi în forma pătratică de mai sus - setați x egal cu 1 și y egal cu 2 — dar numărul 8 nu poate fi reprezentat prin numere întregi în acea formă pătratică. Unele forme pătratice diferite pot reprezenta aceleași seturi de numere întregi. Hilbert a cerut o modalitate de a clasifica formele pătratice pentru a determina dacă două forme reprezintă același set de numere. S-au făcut unele progrese, dar problema este nerezolvată</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>12</td>
            <td>EXTENSIREA TEOREMEI LUI KRONEKER ASUPRA CÂMPURILOR ABELIENE</td>
            <td>Cu cea de-a 12-a problemă, Hilbert a căutat să generalizeze o teoremă despre structura anumitor extensii ale numerelor raționale la alte câmpuri numerice. Momentan este nerezolvată.</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>13</td>
            <td>POLINOMIILE DE GRADUL ȘAPTE</td>
            <td>A 13-a problemă a lui Hilbert este despre ecuații de forma x7 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0. El a întrebat dacă soluțiile la aceste funcții pot fi scrise ca compoziția a mai multor funcții cu două variabile. (Hilbert credea că nu pot fi.) În 1957, Andrey Kolmogorov și Vladimir Arnold au demonstrat că fiecare funcție continuă a n variabile — inclusiv cazul în care n = 7 — poate fi scrisă ca o compoziție de funcții continue a două variabile. Cu toate acestea, dacă se impun condiții mai stricte decât simpla continuitate asupra funcțiilor, întrebarea rămâne deschisă</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>14</td>
            <td>FINITATEA ANUMITOR SISTEME DE FUNCȚII</td>
            <td>Motivația pentru cea de-a 14-a problemă a lui Hilbert a venit din lucrările anterioare pe care le-a făcut, care arată că structurile algebrice numite inele care apar într-un mod special din structuri mai mari trebuie să fie generate finit; adică ar putea fi descrise folosind doar un număr finit de blocuri de construcție. Hilbert a întrebat dacă același lucru este valabil și pentru o clasă mai largă de inele. În 1958, Masayoshi Nagata a rezolvat problema găsind un contraexemplu</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>15</td>
            <td>FUNDAȚIA DE CALCUL ENUMERATIV AL LUI SCHUBERT</td>
            <td>A 15-a problemă a lui Hilbert este o altă problemă de rigoare. El a cerut matematicienilor să pună pe o bază riguroasă calculul enumerativ al lui Schubert, o ramură a matematicii care se ocupă cu problemele de numărare din geometrie. Matematicienii au parcurs un drum lung în acest sens, deși problema nu este complet rezolvată</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>16</td>
            <td>TOPOLOGIA CURBURILOR ŞI SUPRAFEŢELOR ALGEBRICE</td>
            <td>Cea de-a 16-a problemă a lui Hilbert este o extindere a întrebărilor de reprezentare grafică a școlii. O ecuație de forma ax + by = c este o dreaptă; o ecuație cu termeni pătrați este o secțiune conică de o anumită formă - parabolă, elipsă sau hiperbolă. Hilbert a căutat o teorie mai generală a formelor pe care le-ar putea avea polinoamele de grad superior. Până acum întrebarea este nerezolvată, chiar și pentru polinoamele cu gradul relativ mic de 8</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>17</td>
            <td>EXPRIMAREA FORMELOR DEFINITE PE PATRATE</td>
            <td>Unele polinoame cu intrări în numere reale iau întotdeauna valori pozitive; un exemplu simplu este x2 + y2. A 17-a problemă a lui Hilbert întreabă dacă un astfel de polinom poate fi întotdeauna scris ca sumă a pătratelor funcțiilor raționale (o funcție rațională este câtul a două polinoame). În 1927, Emil Artin a rezolvat afirmativ întrebarea</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>18</td>
            <td>CONSTRUIREA DE SPAȚIU DIN POLIEDRĂ CONGRUENTĂ</td>
            <td>A 18-a problemă a lui Hilbert este o colecție de mai multe întrebări din geometria euclidiană. În primul rând, pentru fiecare n, spațiul euclidian de dimensiune n are doar un număr finit de simetrii invariante de translație fundamental distincte? În 1910, Ludwig Bieberbach a răspuns afirmativ la această parte a întrebării. În al doilea rând, într-o placare a planului cu pătrate, orice pătrat poate fi mapat cu orice alt pătrat. O astfel de placare, în orice dimensiune, se numește izoedric. Această parte a problemei se referă la existența plăcilor non-izoedrice în spațiul tridimensional. În 1928, Karl Reinhardt a găsit o astfel de gresie. (Mai târziu, Heinrich Heesch a găsit o placare în spațiul bidimensional; deși Hilbert nu a spus de ce nu și-a pus aceeași întrebare despre spațiul bidimensional; mulți oameni presupun că este pentru că nu și-a dat seama că o astfel de placare ar putea exista acolo. ) În sfârșit, care este cel mai dens mod de a împacheta sferele? În 1998, Thomas Hales a prezentat o dovadă asistată de computer care arată că configurația tipică în standurile de produse este într-adevăr optimă</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>19</td>
            <td>SUNT NECESARE ANALIZELE SOLUȚIILOR PROBLEMELOR REGULARE ÎN CALCULUL VARIAȚIUNILOR? </td>
            <td>Există soluții în general? Calculul variațiilor este un domeniu preocupat de optimizarea anumitor tipuri de funcții numite funcționale. În a 19-a și a 20-a problemă, Hilbert a întrebat dacă anumite clase de probleme din calculul variațiilor au soluții (a 20-a) și, dacă da, dacă acele soluții sunt deosebit de netede (a 19-a).</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>20</td>
            <td>ECUAȚII DIFERENȚIALE LINEARE CU MONODROMIE PRESCRISĂ</td>
            <td>A 21-a problemă a lui Hilbert este despre existența anumitor sisteme de ecuații diferențiale cu puncte singulare date și comportamentul sistemelor în jurul acelor puncte, numite monodromie. Josip Plemelj a publicat ceea ce se credea a fi o soluție în 1908, deși mult mai târziu Andrei Bolibrukh a găsit un contraexemplu pentru munca lui Plemelj, arătând că astfel de sisteme de ecuații nu trebuie să existe</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>21</td>
            <td>ECUAȚII DIFERENȚIALE LINEARE CU MONODROMIE PRESCRISĂ</td>
            <td>A 21-a problemă a lui Hilbert este despre existența anumitor sisteme de ecuații diferențiale cu puncte singulare date și comportamentul sistemelor în jurul acelor puncte, numite monodromie. Josip Plemelj a publicat ceea ce se credea a fi o soluție în 1908, deși mult mai târziu Andrei Bolibrukh a găsit un contraexemplu pentru munca lui Plemelj, arătând că astfel de sisteme de ecuații nu trebuie să existe</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>22</td>
            <td>UNIFORMIZAREA</td>
            <td>A 22-a problemă a lui Hilbert întreabă dacă fiecare curbă algebrică sau analitică - soluții la ecuații polinomiale - poate fi scrisă în termeni de funcții cu o singură valoare. Problema a fost rezolvată în cazul unidimensional și continuă să fie studiată în alte cazuri</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>23</td>
            <td>EVOLUȚII SUPLIMENTARE ÎN CALCULUL VARIAȚIILOR</td>
            <td>Calculul variațiilor a suferit o dezvoltare robustă - inclusiv soluțiile pentru problemele a 19-a și a 20-a - în cei 120 de ani de când Hilbert și-a pus aceste întrebări. Dar formularea lui Hilbert nu indică în mod specific un punct final clar, așa că această „problemă” nu poate fi niciodată considerată rezolvată în sine</td>
        </tr>
    </tbody>
</table>