y=f(x)= 0,5x (x-2)^3 = 0,5x * ( (x-2)^2 * (x-2) ) =
= 0,5x ( x^2 -4x + 4) * (x-2) = (0,5x)(x^3 -6x^2 + 12x - 8)
= 0,5x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 4x


Erste Nullstelle: y=0 für x =(0)

Ableitungen:
f'(x)  = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4
f''(x) = 6x^2 - 18x + 12

extremwerte:
f'(x) = 0 = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 | Polynomdivision:

Polynomdivision:
2x^2 - 8x + 8)(x-0,5) //0,5 habe ich probiert da ich anhand der zeichnung einen extremwert bei 0,5 vermute.

Erste Lösung ist x1 = 0,5 d.h. für x=0,5 wird f'(x)=0. Die Steigung in dem Punkt ist Null.

Suche nach weiteren Nullstellen:
2x^2 - 8x + 8 = 0 umformen für PQ:
 x^2 - 4x + 4 = 0 => PQ
x2,3 = -(-4/2) +- wurzel[ (-4/2)^2 - 4]
x2,3 =       2 +- wurzel[ 4 - 4]
x2 = 2 + 0
x3 = 2 - 0
Zweite Lösung ist x2=x3 = 2

Notwendige Bedingung erfüllt. x1 und x2 in f'(x) ist gleich Null.

einsetzen in f(x):
f(0,5) = 0,5*(0,5)^4 - 3(0,5)^3 + 6(0,5)^2 - 4(0,5) = -0,84375
f(  2) = 0,5*(2)^4 - 3(2)^3 + 6(2)^2 - 4(2) = 0

1. Extremestelle: (0,5|-0,84375)
2. Extremestelle: (  2|0)


Arte der Extremstellen:
x-Wert der 1. Extremstelle in 2. Ableitung: f''(0,5) = 6(0,5)^2 - 18(0,5) + 12 = 4,5 => Minimum
x-Wert der 2. Extremstelle in 2. Ableitung: f''(  2) = 6(2)^2   - 18(2)   + 12 = 0   => Weder Minimum noch Maximum

Hinreichende Bedingung       erfüllt: x1 in f''(x) ist nicht Null.
Hinreichende Bedingung nicht erfüllt: x2 in f''(x) ist Null.

Handelt es sich um lokale oder gloabe Extreme?
Da die f(x)=y von +unendlich(oben) nach +unendlich(oben) verläuft, handelt es sich um einen globalen Extremwert.

Wendepunkte:
Wendepunkte liegen an den Extremstellen der 1. Ableitungsfunktion f'(x). Wo die Steigung von f(x) am Stärksten ist.
Die Steigung der 1 Ableitung in Punkt x (unsere Extremstelle) berechnte sich wie folgt:
f''(x) = 0
Also:
6x^2 - 18x + 12 = 0 | durch 6
x^2 -3x + 2 => PQ
x1,2 = -(-3/2) +- Wurzel[ (-3/2)^2 - 2]
x1,2 = 3/2 +- Wurzel (9/4 -2)
x1,2 = 3/2 +- 0,5
x1 = 2
x2 = 1

in f(x) einsetzen:
f(1) = 0,5(1)^4 - 3(1)^3 + 6(1)^2 - 4(1) = -0,5
f(2) = 0,5(2)^4 - 3(2)^3 + 6(2)^2 - 4(2) = 0

Es liegen demnach 2 Wendepunkte vor. Unter (1|-0,5) und (2|0)