Сделаем в этом уравнении подстановку
\begin{equation*}
    \xi=\zeta^{n},\quad w=(\zeta^{n}-1)^{p}v
\end{equation*}
где $p$ -- постоянное; получим
\begin{multline}\label{13}
    (\xi-1)^{2}\xi v''+2(\xi-1)\left(\xi\left(2p+1-\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)v'+ \\
    +\left(p\left(p-\frac{1}{n}\right)\xi+p\left(\frac{1}{n}-1\right)+\frac{1-q^{2}}{4}\right)v=0
\end{multline}
Выберем $p$ такими, чтобы коэффициенты при $v$ в \eqref{13} имел корень $\xi=1$; это дает $p=\frac{1-q}{2}$. При таком выборе уравнение \eqref{13} принимает вид:
\begin{multline*}
    \xi(\xi-1)v''+\left(\xi\left(2-q-\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)v'+ \\
    +\frac{1-q}{2}\left(\frac{1-q}{2}-\frac{1}{n}\right)v=0
\end{multline*}
или, если положить
\begin{equation}\label{14}
     \alpha=\frac{1-q}{2}-\frac{1}{n},\;\beta=\frac{1-q}{2},\;\gamma=1-\frac{1}{n}
\end{equation}
оно принимает вид:
\begin{equation}\label{15}
     \xi(\xi-1)v''+((\alpha+\beta+1)\xi-\gamma)v'+\alpha\beta v=0
\end{equation}
Но это есть известное дифференциальное уравнение Гаусса. Интегрирование его посредством ряда $\displaystyle{v=\sum\limits^{\infty}_{n=0}}c_{n}\xi^{n}$ показывает, что ему удовлетворяет так называемое гипергеометрический ряд \footnote[1]{) Относительно гипергеометрического ряда см., например, В. И. Смирнов [1953], стр. 371.})
\begin{equation}\label{16}
     F(\alpha, \beta, \gamma, \xi)=1+\frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}\xi+\frac{\alpha(\alpha+1)\cdot\beta(\beta+1)}{1\cdot2\cdot\gamma(\gamma+1)}\xi^{2}+\dots,
\end{equation}
который наверное сходится в $|\zeta|<1$ при всех $\alpha, \beta, \gamma\;c\gamma>0$. Чтобы получить другой интеграл уравнения \eqref{15} сделаем подстановку $v=\xi^{1-\gamma}v_{1}$; в результате этого получается уравнение, которое также можно записать в виде уравнения Гаусса, если положить $\alpha-\gamma+1=\alpha',\;\beta-\gamma+1=\beta',\;2-\gamma=\gamma'$; следовательно, ему удовлетворяет ряд $v_{1}=F(\alpha', \beta', \gamma', \xi')$. Для уравнения же \eqref{15} получаем второй интеграл:
\begin{equation*}
    v=\xi^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1, \beta-\gamma+1, 2-\gamma, \xi),
\end{equation*} и этот интеграл, как легко увидеть, при $0<\gamma<1$ линейно независим с \eqref{16}. Для уравнения \eqref{15} мы имеем, следовательно, два линейно независимых интеграла:
\begin{equation*}
    F\left(\frac{1-q}{n}-\frac{1}{n}, \frac{1-q}{2}, 1-\frac{1}{n}, \xi\right)
\end{equation*}и
\begin{equation*}
     \xi^{1\slash n}F\left(\frac{1-q}{n}+\frac{1}{n}, \frac{1-q}{2}, 1+\frac{1}{n}, \xi\right).
\end{equation*}
Возвращаясь к переменным $\zeta$ $w$, заключаем, что одним из интегралов уравнения \eqref{11} будет функция:
\begin{equation}\label{17}
     f(\zeta)=\zeta\frac{F\left(\frac{1-q}{n}+\frac{1}{n}, \frac{1-q}{2}, 1+\frac{1}{n}, \xi\right)}{ F\left(\frac{1-q}{n}-\frac{1}{n}, \frac{1-q}{2}, 1-\frac{1}{n}, \xi\right)}.
\end{equation}
Что касается гипергеометрических рядов, входящих в \eqref{17}, то их можно выразить также через определенные игтегралы. Действительно, рассмотрим интеграл
\begin{equation*}
    I=\int\limits^{1}_{0}t^{\beta-1}(1-t)^{\gamma-\beta-1}(1-\xi t)^{-\alpha}dt,
\end{equation*}
сходящийся при $\beta>0,\;\gamma_\beta>0$ и $|\xi|<1$; разложим множитель $(1-\xi t)^{-\alpha}$ в биноминальный ряд и проинтегрируем почленно; тогда получим
\begin{multline*}
    I=\int\limits^{1}_{0}t^{\beta-1}(1-t)^{\gamma-\beta-1}\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{-\alpha(-\alpha-1)\cdots (-\alpha-k+1)}{1\cdot2\cdots k}\times \\
    \times(-1)^{k}t^{k}\xi^{k}dt=\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+k_1)}{1\cdot2\cdots k}\times \\
    \times\int\limits^{1}_{0}t^{\beta+k-1}(1-t)^{\gamma-\beta-1}dt\cdot\xi^{k}=\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+k_1)}{1\cdot2\cdots k}\times \\
    \times\frac{\Gamma(\beta+k)\Gamma(\gamma-\beta)}{\Gamma(\gamma+k)}\xi^{k}=\frac{\Gamma(\beta)\Gamma(\gamma-\beta)}{\Gamma(\gamma)}F(\alpha, \beta, \gamma, \xi)
\end{multline*}
и, следовательно,
\begin{equation}\label{18}
     F(\alpha, \beta, \gamma, \xi)=\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\beta)\Gamma(\gamma-\beta)}\int\limits^{1}_{0}t^{\beta-1}(1-t)^{\gamma-\beta-1}(1-\xi t)^{-\alpha}dt.
\end{equation}
Пользуясь этой формулой и преобразуем функцию \eqref{17}. Тогда при $0\le q <1$ и $|\zeta|<1$ получаем.
\begin{equation}\label{19}
     f(\zeta)=\displaystyle c\zeta\frac{\displaystyle\int\limits^{1}_{0}t^{-\frac{q+1}{2}}(1-t)^{\frac{q-1}{2}+\frac{1}{n}}(1-\xi t)^{\frac{q-1}{2}-\frac{1}{n}}dt}{\displaystyle\int\limits^{1}_{0}t^{-\frac{q+1}{2}}(1-t)^{\frac{q-1}{2}-\frac{1}{n}}(1-\xi t)^{\frac{q-1}{2}+\frac{1}{n}}dt}.
\end{equation}
Поскольку искомая отображающая функция подчинена условиям: $f(0)=0,\;f(1)=1$, то она, очевидно, содержится в формуле \eqref{19} с $c=1$. Это и есть окончательный результат. Впрочем, посредством подстановки $\tau=\frac{1-t}{1-\zeta^{n}t}$ в интеграл, входящий в \eqref{19}, для вещественный $\zeta$, а следовательно, и для всех $\zeta$ из $|\zeta|<1$, получаем другой вид функции $f(\zeta)$:
\begin{equation}\label{20}
     f(\zeta)=\zeta\frac{\displaystyle\int\limits^{1}_{0}\frac{\tau^{\frac{q-1}{2}+\frac{1}{n}}d\tau}{((1-\tau)(1-\zeta^{n}\tau))^{\frac{q+1}{2}}}}{\displaystyle\int\limits^{1}_{0}\frac{\tau^{\frac{q-1}{2}-\frac{1}{n}}d\tau}{((1-\tau)(1-\zeta^{n}\tau))^{\frac{q+1}{2}}}},
\end{equation}
имеющий более простую зависимость от $n$. Отметим, что ни один из интегралов, сходящих в \eqref{19} и \eqref{20}, не вычисляется в конечном виде через элементарные функции.