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\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\min}
\newcommand{\lsim}{{\;\raise0.3ex\hbox{$<$\kern-0.75em\raise-1.1ex\hbox{$\sim$}}\;}}
\newcommand{\gsim}{{\;\raise0.3ex\hbox{$>$\kern-0.75em\raise-1.1ex\hbox{$\sim$}}\;}}
\newtheorem*{defi}{Definizione}
\newtheorem*{teo}{Teorema}
\newtheorem*{lem}{Lemma}
\theoremstyle{plain}
\title{Un controesempio riguardante le misure di Carleson definite sul bi-disco}
\author{Davide Vecchi}
\institute{Alma Mater Studiorum-Bologna}
\date{\tomorrow}
\usetheme{Frankfurt}
\usecolortheme{spruce}
\useoutertheme[right]{sidebar}
\setbeamercovered{dynamic}
\begin{document}
\begin{frame}
    \maketitle
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Indice}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{Funzioni massimali}
\begin{frame}{Funzioni massimali Hardy-Littlewood}
Sia $f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{C}$, $f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$\\
\pause
\begin{defi} La \alert{funzione massimale Hardy-Littlewood} associata ad $f$ è:
$$f^*(x)=\sup\limits_{Q\ni x}\frac{1}{|Q|}\int_{Q}|f(y)|\, dy$$
$Q\subset\mathbb{R}^n$ cubi centrati in $x$.\end{defi}
\end{frame}
\begin{frame}{Risultati sulle funzioni massimali Hardy-Littlewood}
Alcuni risultati sulle funzioni massimali:
\begin{itemize}
    \item <2-> Proprietà di base.
    \item <3-> Stime di tipo debole e teorema d'interpolazione di Marcinkiewicz
    \item <4-> Teorema di limitatezza per funzioni massimali
    \begin{teo}
    $1<p<+\infty$\\
    $\lVert f^*\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)}\le C(n,p)\lVert  f\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)}$\end{teo}
    \item <5-> Un'applicazione: Il teorema di Lebesgue
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Integrali di Poisson}
\begin{frame}{L'integrale di Poisson}
Sia $\mathbb{H}$ il semipiano di Poincaré, $z=(x,y)$. Il nucleo di Poisson su $\mathbb{H}$ è definito come
 $$P_z(t)=P_y(x-t)=\frac{1}{\pi}\frac{y}{(x-t)^2+y^2}$$
 \pause \begin{defi} Definisco l'integrale di Poisson di $f(t)$ l'integrale
 $$u(x,y)=\int_{\mathbb{R}}f(x-s)P_y(s)\, ds=(P_y*f)(x)$$ \end{defi}
\end{frame}
\begin{frame}{Funzione massimale non tangenziale}
    Sia $t\in\mathbb{R}$ e sia $\Gamma_{\alpha}(t)\subset\mathbb{H}$ il cono di vertice $t$ e angolo $2arctan(\alpha)$.\\
    \begin{defi}
    La funzione massimale non tangenziale è definita come
    $$u^*(t)=\sup\limits_{z\in\Gamma_{\alpha}(t)}u(z)$$
\end{defi}
\end{frame}
\begin{frame}{Due risultati sulle funzioni massimali non tangenziali}
\begin{teo} Sia $\Gamma_\alpha(t)$ cono su $\mathbb{H}$, $f\in L^1(\frac{dt}{1+t^2})$, cioè tale che $\frac{f}{1+t^2}\in L^1(\mathbb{R})$ e $u(z)$ il suo integrale di Poisson. Allora $\exists A_\alpha$ costante tale che $$|u^*(t)|\le A_\alpha Mf(t)$$\end{teo}\pause
    \begin{teo} Sia $1<p<+\infty$, $f\in L^p(\mathbb{R})$, $u(z)$ il relativo integrale di Poisson su $\mathbb{H}$, $z=x+iy$, e supponiamo valga $\sup\limits_y\int_{\mathbb{R}}|u(z)|^p\, dx<+\infty$. Allora $u^*(t)\in L^p(\mathbb{R})$ e vale $$\lVert u^*\rVert_{L^p(\mathbb{R})}^p\le B\sup\limits_y\int_{\mathbb{R}}|u(z)|^p\, dx$$\end{teo}
\end{frame}
\section{Misure di Carleson}
\begin{frame}{Misure di Carleson su $\mathbb{H}$}
    \begin{defi}
    Una misura positiva $\mu$ su $\mathbb{H}$ è detta misura di Carleson se\\ per $1<p<+\infty$, $\exists C_p$ costante, tale che si abbia:
    $$\int_{\mathbb{H}}|u(z)|^p\, d\mu(z)\le C_p\int_{\mathbb{R}}|f(t)|^p\, dt$$
    $\forall f\in L^p(\mathbb{R})$, $u(z)$ integrale di Poisson di $f$\end{defi}
\end{frame}
\begin{frame}{Carleson's embedding theorem}
Sia $f\in L^p(\mathbb{R})$ e $u(z)$ l'integrale di Poisson di $f$.
   \begin{teo} Sia $\mu$ misura positiva su $\mathbb{H}$, allora sono equivalenti:\bigskip\\
   $(a)$ $\mu$ è una misura di Carleson\\
   $(b)$ Per $1<p<+\infty$ e $\forall f\in L^p(\mathbb{R})$, si ha $u(z)\in L^p(\mathbb{H};\mu)$\\
   $(c)$ $\exists C\in\mathbb{R}$ costante tale che $\forall I\subset \mathbb{R}$ intervallo si abbia
   $$\mu(T(I))\le C|I|$$
   dove $T(I)=\{(x,y)\in\mathbb{H}:x\in I,0<y<|I|\}$ è detta \textit{tenda} su $I$\end{teo}
\end{frame}
\begin{frame}{Misure di Carleson multiparametro}
    Anche nelle misure di Carleson, come nelle funzioni massimali si può fare distinzione quelle a un parametro e quelle multiparametro. \pause Ad esempio posso definire le misure di Carleson su $\mathbb{R}^n$ costruendo le tende sui cubi (un parametro), o costruendole sui rettangoli (multiparametro). \pause Oppure posso definirle sul disco unitario $\mathbb{D}$ (un parametro) e sul bi-disco $\mathbb{D}^2$ (multiparametro).
\end{frame}
\begin{frame}{Caratterizzazione sul bi-disco}
    Sia $\mu$ misura positiva definita sul bi-disco $\mathbb{D}^2$, diciamo che $\mu$ è una misura di Carleson se vale:\\
    $$\int_{\mathbb{D}^2}|u(z,w)|^p\, d\mu(z,w)\le C_p\int_{\mathbb{T}^2}|f(t,s)|^p\, dtds$$
 $\forall f\in L^p(\mathbb{T}^2)$, $u(z,w)$ integrale di Poisson di $f$\bigskip\\
    \pause Guardando le misure di Carleson definite sul bi-disco ci si può chiedere se sia vero:\bigskip\\
    $\mu$ è una misura di Carleson $\Leftrightarrow$ $\mu(T(I)\times T(J))\le C|R|$, $\forall I\times J=R$  rettangolo sul toro topologico $\mathbb{T}^2$ \pause \bigskip\\
    \alert{La risposta è no.}
\end{frame}
\begin{frame}{Verso il controesempio}
    Si può dimostrare che, se la risposta fosse sì, allora per ogni $\{R\}\in\mathfrak{R}$ collezione di rettangoli tali che, per ogni rettangolo $Q$, si abbia
   $$\sum\limits_{R\in\mathfrak{R}:R\subset Q}|R|\le A|Q|$$
   con $A$ costante, deve valere $$\sum\limits_{R\in\mathfrak{R}}|R|\lsim A\left|\bigcup\limits_{R\in\mathfrak{R}}R\right|$$
\end{frame}
\begin{frame}{Il controesempio di Carleson}
    Carleson, nel suo controesempio, dimostra che esistono famiglie di rettangoli $\{R\}\in\mathfrak{R}$ dette Quilt, per cui vale che: \centerline{$\sum\limits_{R\in\mathfrak{R}}|R|=1$,
    ma $\left|\bigcup\limits_{R\in\mathfrak{R}}R\right|<\varepsilon$}\\ con $\varepsilon$ piccolo a piacere.\\
    \begin{figure}[h]
 \begin{center}
   \includegraphics[height=2cm]{aa.eps}
   \hspace{1cm}
   \includegraphics[height=2cm]{bb.eps}
   \hspace{1cm}
   \includegraphics[height=2cm]{cc.eps}
   \end{center}
   \end{figure}
    \end{frame}
    \begin{frame}{Conclusione}
    Sun Yung Alice Chang nel suo articolo "Carleson measures on the bi-disc" dimostra come caratterizzare le misure di Carleson sul bi-disco:\bigskip\\
    $\mu$ è una misura di Carleson $\Leftrightarrow$ $\mu(T(S))\le C|S|$, $\forall S\in\mathbb{T}^2$ aperto connesso.
\end{frame}
\begin{frame}{Grazie}
    \begin{center}
        \Large{\Large{\Large{\Large{\Large{\Large{GRAZIE PER L'ATTENZIONE!}}}}}}
        \end{center}
\end{frame}

\end{document}