Лилия есть ряд моментов:

1) для класса phone_book использование в качестве поля статического массива - не самый лучший выбор, так как размер статических элементов должен быть заранее определен и не может меняться по ходу выполнения программы. Если вы хотите использовать статический массив, то можете просто удалить все конструкторы и деструктор и оставить прямую инициализацию полей, как у вас это и описано. Либо перейти на использование динамического массива в качестве поля класса. У структур, которые мы использовали в прошлых заданиях, просто не было конструкторов и методов, поэтому там можно было все делать на стеке.

2) во всех методах класса стоит удалить параметр phone_book & my_book так как эти методы уже вызываются из класса и им не надо указывать в качестве параметра к какому именно классу нужно обращаться, пример реализации метода:

void AddAbonent(const char name[], const char home_phone[], const char work_phone[], const char mob_phone[]) {
    if (abonents_namber == max_abonents_nummber) {
        cout << "Абонент не может быть добавлен " << endl;
        return;
    }
    strcpy(lines[abonents_namber].name, name);
    strcpy(lines[abonents_namber].home_phone, home_phone);
    strcpy(lines[abonents_namber].work_phone, work_phone);
    strcpy(lines[abonents_namber].mob_phone, mob_phone);
    abonents_namber++;
}

3) у вас по тексту проскакивает то "namber" то "nummber" лучше привести все к одному виду, например "number"


#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include<clocale>
#include<string.h>

using namespace std;

struct abonent {
    char name[50]{};
    char home_phone[15]{};
    char work_phone[15]{};
    char mob_phone[15]{};

};

class phone_book {

    //phone_book()

public:
    //phone_book() : lines[]{},
    //phone_book(int max_abonents_number) : {}
    //phone_book(lines[], int abonents_number, int max_abonents_number) : {}


    void AddAbonent(phone_book& my_book, const char name[], const char home_phone[], const char work_phone[], const char mob_phone[]) {
        if (abonents_namber == max_abonents_nummber) {
            cout << "Абонент не может быть добавлен " << endl;
            return;
        }
        strcpy(my_book.abonents_namber[my_book.lines].name, name);
        strcpy(my_book.abonents_namber[my_book.lines].home_phone, home_phone);
        strcpy(my_book.abonents_namber[my_book.lines].work_phone, work_phone);
        strcpy(my_book.abonents_namber[my_book.lines].mob_phone, mob_phone);
        my_book.abonents_namber++;
    }

    void ShowAllAbonents(phone_book& my_book) {
        cout << "Вся моя телефонная книга: " << endl;
        for (int i = 0; i < my_book.abonents_namber; i++) {
            cout << '\"' << my_book.lines[i].name << "\", home_phone: " << my_book.lines[i].home_phone << ", work_phone: " << my_book.lines[i].work_phone << ", mob_phone: " << my_book.lines[i].mob_phone << endl;
        }
        cout << endl;

    }

    void DelAbonents(phone_book& my_book, const char name[]) {
        for (int i = 0; i < my_book.abonents_namber; i++) {
            if (!strcmp(my_book.lines[i].name, name)) {
                for (int j = i; j < my_book.abonents_namber - 1; j++) {
                    my_book.lines[j] = my_book.lines[j + 1];
                }
                abonents_namber--;
            }
        }
    }

    void FindAbonentName(phone_book& my_book, const char name[]) {
        cout << "По вашему запросу найдено: " << endl;
        for (int i = 0; i < my_book.max_abonents_nummber; i++) {
            if (!strcmp(my_book.lines[i].name, name)) {
                cout << '\"' << my_book.lines[i].name << "\", home_phone: " << my_book.lines[i].home_phone << ", work_phone: " << my_book.lines[i].work_phone << ", mob_phone: " << my_book.lines[i].mob_phone << endl;
            }
        }
        cout << endl;
    }

    //~lines();

private:
    abonent lines[100]{};
    int abonents_namber = 0;
    int max_abonents_nummber = 100;

};





int main()
{
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
    phone_book my_book;

    my_book.AddAbonent(my_book, "Ivan", "365963", "470047", "+79998765432");
    my_book.AddAbonent(my_book, "Petr", "658305", "385326", "+79148436633");
    my_book.AddAbonent(my_book, "Cidor", "250025", "230023", "+79248735505");
    my_book.AddAbonent(my_book, "Natasha", "252837", "370042", "+79245450568");
    my_book.AddAbonent(my_book, "Elena", "253131", "239223", "+79628737621");
    my_book.AddAbonent(my_book, "Olga", "360215", "230023", "+79243335505");

    my_book.ShowAllAbonents(my_book);

    my_book.DelAbonents(my_book, "Petr");

    my_book.ShowAllAbonents(my_book);

    my_book.FindAbonentName(my_book, "Elena");

}