examalgmm

//#include "courses.hpp"

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <stdlib.h>
#include <vector>

using namespace std;

class Question{
private:
    bool used;
    string question;
    string answer;
public:
    Question()
    {
	used = true;
        question = " ";
        answer = " ";
    }
    ~Question()
    {
    }

    void SetQuestion(string name)
    {
        question = name;
    }
    void SetAnswer(string name)
    {
        answer = name;
    }
    void Off()
    {
	used = false;
    }
    void start()
    {
	if(used){
        	cout << '\n';
        	int ans;
        	cout << question << '\n';
        	cout << "1 - next" << '\n' << "2 - right answer" << '\n';
        	cin >> ans;
       		if(ans == 1)
        	{
        	}
        	else
        	{
            		cout << answer << '\n';
        	}
	}
    }

};


void ALG()
{
    int N = 57;
    setlocale(LC_ALL, "Russian");
    //unsigned rand_value = 1311357;
    srand(time(0));

    vector<Question> a;
    string b[100];
    string c[100];
    b[0] = "Что такое набор координт вектора x in L";
    c[0] = "L - лин пр-во , e = (e_1, ... e_n) базис, x in L, x = Sigm i = 1_n x_i * e_i => x_1,..,x_n  кооидантоны вектора";

    b[1] = "Что такое фактор-пространство?";
    c[1] = "Множество всех классов эквивалентности";

    b[2] = "Что такое  подпространство";
    c[2] = "L - непустое подмножество V назывваетс линейным подпространством V, если 1)u+v in L, для любых u,v in L 2) a * v in L, для любого v in L";

    b[3] = "Что такое матрица линейного отображения";
    c[3] = "";

    b[4] = "Что такое матрица линейного отображения в базисах f,e?";
    c[4] = "Пусть A: L_1 -> L_2, е_n базис L_1, f_m базис L_2, называется Aef = (A(e_1)_f...A(e_n)_f) in (m,n,K), матрица, которая переволдит векктора из L_1 в базисе e в вектора L_2 базиса f";

    b[5] = "Теорема. Критерий обратимости линейного оператора";
    c[5] = "1) А обратим 2) KerA = {0} 3) ImA = L 4) detA != 0";

    b[6] = "Теорема о пространстве линейных отображений.Что такое HomK(L_1, L_2), EndK(L)";
    c[6] = "HomK(L_1, L_2) - множество всех линейных отображений над K из L_1 в L_2 со стандартными операциями сложения и уножения на скаляр. Является линейным пространством, и если dimL_1 = n, dimL_2 = m, то HomK(L_1, L_2) изморфомно M(m,n,K). EndK(L) - Мн-во линейных операторов из L в L со стандартными операциями сложения и умнжения на скаляр. Это так же линейное пространство и кольцо с 1 относительно операция ложения и умножения на скаляр. EndK(L) изоморфно M(n, K) и как пространсттво и как кольцо";

    b[7] = "Что такое инвариантное подпространство?";
    c[7] = "Пусть L_1 подпространство L, A in EndK(L), тогда говорят что L_1 инвариантно относительно A, если для любого x in L_1, A(x) in L_1";

    b[8] = "Что такое собственный вектор?";
    c[8] = "x != 0 и существует a in K: A(x) = ax. Тогда x - называется собственным вектором A, а 'a' собственным числом x";

    b[9] = "Что такое характерестический многочлен? Теорема о нём";
    c[9] = "A in EndK(L), e - базис L_1. det(A - tE) = xx_A(t) - называется характерестическим многоленом A. собств числа и и только они являются корнями характерестического многочлена";

    b[10] = "Теормеа о собственных векторах";
    c[10] = "L(a) = {x in L, A(x) = ax}, a - с.ч. Тогда L(a) - подпространство L(множество собственных векторов для c.ч a с добавлением нуля - линейное пространство). Собственные векторы, соответствующие разоичным собственным числам л.н";

    b[11] = "Что такое операторный многочлен?";
    c[11] = "A in EndK(L) тогда f(A) - опертаторный многочлен, f(t) = .. K[t]";

    b[12] = "Что такое анулятор A?";
    c[12] = "Если f(А) = 0, то говорят, что f(t) - анулирует оператор A";

    b[13] = "Что такое Нильпотентный оператор индекса m";
    c[13] = "Если m in N: A^m = 0, A^m-1 != 0";

    b[14] = "Что такое минимальный многчолен A?";
    c[14] = "Это привидённый многочлен наименьшей степени, анулирующий A(анулятор наименьшей степени)";

    b[15] = "Что такое Spec(A)";
    c[15] = "Множество всех собственных чисел опреатора A";

    b[16] = "Теорема о св-вах операторного многочлена и следствие из 4 пункта";
    c[16] = "1) f(t) = f1(t) * f2(t) => f(A) = f1(A) * f2(A)_____2) f1(t), f2(t) - аннуляторы A => d(t) = Нод(f1,f2) - аннулирует A_____3)Минимальный многочлен единственный, причём любой аннулирующий на него делится_____4) пусть А нильпотентный индекс m, тогда, если e in L => e,Ae,..,A^m-1e - л.н, dimL = n, тогда m <= n_____5) А - нильпотентный индекса n, тогда L - циклическое";

    b[17] = "Что такое циклический базис и циклическое пространство";
    c[17] = "базис линейного пространства вида e,Ae,...,A^m-1e, а пространство имеющиее такой базис - циклическим";

    b[18] = "Теорема о ядре операторного многочлена";
    c[18] = "Kerf(A) - инвариантное подпространство относительно A. Если f(t) = f1(t)*...*fm(t), где fi(t) попарновзаимно просты, то Kerf(A) = Kerf1(A) + ... + Kerfm(A), прямая сумма Док-во: 1 - проверка, 2 - ММИ по кол-во взаимнопростых многочленов (x = x_1 + x_2 через нод)";

    b[19] = "Теорема о треугольном виде л.о";
    c[19] = "A in EndK(L) тогда существует базис в котором матрица лин оператора имеет нижний треугольный виде, приччём в любом базисе на диагонале собственные числа с учетом кратности Док-во: ММИ, для 1 очеевидно как на R, для n>= 2берём фактор пространство, для него вссе хорошо, а потм просто снимаем его, и даём вектору e(по ктоторому факторизовали) нашу лямбду собств число";

    b[20] = "Теорема Гамильтона-Кэли и 2 её следствия";
    c[20] = "характерестический многочлен A является анулятором A ____1) e - базис L, Ae - A в базисе e, xxA(t) = (-1)^n +...+ a_0 => xxA(Ae) = 0 ____2) пусть hxA - мин многочлен, тогда он делит xxA и для любого собственного числа 'a' hxA делится на (t - a) ";

    b[21] = "Что такое жорданова клетка? Жопданов базис?";
    c[21] = "Жорданова клетка Ymz, m - порядок z - собственное число = матрице M(m,k), где на диагонале собстенные числа а под диагональю еденицы. Если в каком-то базисе л.о. имеет диагональный вид, где на диагонале жордановы клетки, то такой базис назыввается жордановым";

    b[22] = "Что такое корневое подпространство?";
    c[22] = "Пусть z in Spec(A), тогда корневым подпространством V(z) = {x in L: существует k in N: Bz^k(x) = 0}";

    b[23] = "Теорема о корневых подпространствах";
    c[23] = "Пусть xxA - характерестический многочлен: xxA(t) = (-1)^n*(t-z1)^n_1*..*(t-z2)^n_s Тогда L = V(z1) + .. + V(zn) прямая сумма, причём все V(z_k) инварианты и размерность каждого = n_k  A|V(z_k) имеет только 1 собственное число z_k, а Bz_k нильпотентен на V(z_k) и обратим";

    b[24] = "Теорема о жардановой форме нильпотентного линейного оператора и её следствие о том когда 1 собств число";
    c[24] = "B in EndK(L): B - нильпотентный => существует жорданова форма B ____ A in End(L) A имеет 1 собств число z, тогда Bz = A - z * id нильпотентен => имеет жорд форму, m - индекс нильпотентности Bz => m максимальный размер клетки";

    b[25] = "Теорема о жардановой форме матрицы линейного оператора";
    c[25] = "Для любого A in EndK(L), где K алг замкнуто, то существует жарданова форма его мматрицы причём единственная с точнстью до порядка клеток";

    b[26] = "Что такое билинейная форма?";
    c[26] = "L пространство над К. Отображение B:LxL->K называется билинейной формой, если оно линейно по каждому аргументу";

    b[27] = "Что такое симметрическая и антисимметрическая билинейная форма?";
    c[27] = "Если B(x,y) = B(y,x) для любых x,y in L";

    b[28] = "Теорема об общем виде билинейной форме";
    c[28] = "1)Расписать B(x,y) х и у через базисные вектора и коэффициенты и сигму, потом написаться общаий вид x_i * y_j * b_ij 2) B(x,y) = sigma.. = x_e^t * B_e* y_e 3) для любой R in M(n,K) соответствует B(x,y) = x_e^T * B * y_e 4)e,f - базисы L B(x,y) = x_e^T * B_e * y_e = x_f^T * B_f * y_f 5)B(x,y) - симм <=> B_e - симм, косс <=> косс";

    b[29] = "Что такое матрица билинейной формы в базисе e?";
    c[29] = "B_e = (b_ij)_ig, b_ig = e_i * e_j";

    b[30] = "Что такое квадратичная форма?";
    c[30] = "Пусть B(x,y) - симм, тогда Q(x) - B(x,x) - квадратичная форма";

    b[30] = "Что такое канонический вид квадратичной формы?";
    c[30] = "Если Q(x) = a1 * x1^2 + ... + an * xn^2";

    b[30] = "Теорема Лагранжа";
    c[30] = "Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду";

    b[30] = "Что такое верх треугольное преобразование базисов";
    c[30] = "есть Q(x), f1 in <e1>, ..., fn in <e1,..,en> pust' f1 = e1, f2 = a12e1 + e2 ... Предсатвить верхнетриугольную матрицу, где на диагонале еденицы, C_e->f = ( (f1)_e ... (fn)_e )";

    b[30] = "Что такое угловые миноры?";
    c[30] = "Их поряядок k in 1..n";

    b[30] = "Теорема Якоби";
    c[30] = "Пусть Q(x) - кв форма, А её матрица в бизисе Е, если угловые миноры до n-1 не равны 0, то существует единственная верхне-треугольная матрица преобразования приводящая к каноническому виду, причём канонические коэффициенты равны l_k = d_k / d_k-1, l_1 = d_1";

    b[31] = "Что такое теорема Кррамера?";
    c[31] = "Если определеитель не равен 0, то сущесвует ед-ное решеие, которое xi = det_i / det, где det_i = det при подстановкке столбцаа ответо на i место";

    b[32] = "Что такое нормальный вид квадратичной формы?";
    c[32] = "Когда все коэффициенты равны = 0, и сначала +, потом минусы";

    b[33] = "Что такое закон инерции?";
    c[33] = "Нормальный вид квадратичной формы не зависит, от способа её привидения к этому виду";

    b[34] = "Что такое положительный индекс итерации? Что такое ранг квадратичной формы";
    c[34] = "число положительных канонич коэф = r+, r = r+ + r-";

    b[35] = "Что такое положительноопределенная квадратичная форма? Квазиположительная ? Знакопеременная?";
    c[35] = "больше 0, для любого x; >= 0 для любого x и существует x != 0 : Q(x) = 0, существуют x1 и x2: q(x1) > 0, q(x2) < 0";

    b[36] = "Теорема о связи классификации квадратичной формы с индексом инерции";
    c[36] = "Q(x) полож опр <=> r+ = n, Q(x) квазиопределена <=> x+ < n, r_ = 0, .., ..,(отриц), Q(x) знакопеременна <=> r+ >= 1, r- >= 1";

    b[37] = "Критерий Сильвестра";
    c[37] = "Q(x) положительно определена <=> угловые меиноры положительны; Q(x) отрицательно определена <=> d1 < 0 d2 > 0 d3<0 ...";

    b[38] = "Что такое Евклидово и Унитарное пространство?";
    c[38] = "Пусть E лин пространство над R и есть (,): ExE -> R: для любых x,y in E линейность по 1 аргументу, симметричность, (x,x) = 0 только если x = 0, пример V_3, E = R^(nx1)____ U - лин отображение над C и (,)UxU->C наз-ся скалярным произведением, если (x,y) = сопряж(y,x) - коссосимметричность, линейность по 1 аргументу alfa and beta in C(важно), положительная определенность";

    b[39] = "Что такое норма";
    c[39] = "U - унитарное пространство, тогда ||x|| = sqrt((x,x))";

    b[40] = "Что такое ортогональные из U";
    c[40] = "(x,y) = 0";

    b[41] = "Что такое расстояние между векторами из U";
    c[41] = "d(x,y) = ||x - y||";

    b[42] = "Нер-во треугольника для U и через норму и нер-во коши-Буняковского";
    c[42] = "||x+y|| <= ||x|| + ||y||, для любых x,y in U: |(x,y)| <= ||x|| * ||y||";

    b[43] = "Что такое нормированный x, Ортогональная система и ортонормированная система";
    c[43] = "x нормирован, если его длина равна 1, ортогональная система когда с.п любых двух равно 0 и ни один не равен 0, ортонормированная понятно что такое";

    b[44] = "Процесс ортогонализации Грама-Шмидта, на пальцах";
    c[44] = "u1 = v1, потом мщём коэффициенты и гооврим, что новые вектора не равны 0";

    b[45] = "Что такое ортогональное дополнение?";
    c[45] = "пусть P пренадлежит U тогда ортогональным дополнением к P = {x in U: для любого y in P (x,y) = 0}";

    b[46] = "Теорема об ортогональном дополнении";
    c[46] = "ортогональное дополнение это подпространство U____L = P + P_ort, сумма прямая____ P peresech' P_ort = {0}____ P = P_ort_ort ____ U_ort = {0}";

    b[47] = "Что такое сопряженный оператор?";
    c[47] = "A in End(U), A* in End(U) - сопряженный, если для любых x,y in U выполнятся (Ax,y) = (x,A*y), ПРИЧЕМ к id это id, к 0 это 0";

    b[48] = "Теорема об сопряженном операторе";
    c[48] = "Отображение A* U->U: для любых x,y in U, (Ax,y) = (x,A*y) линейно ____ (не пнял пункт) ____ (A+B)* = A* + B*____ (zA)* = z^- * A* ____ (AB)* B*A*____ id* = id, 0* = 0";

    b[49] = "Что такое марица Грама?";
    c[49] = "Пусть u1...un - базис L, матрица Грама, где g_ij = (u_i,u_j)";

    b[50] = "Теорема о матрице Грама?";
    c[50] = "1)В U (x,y) = x^T * G_u * y*-, в E (x,y) = x^T*G_u*Y, x,y в базисе u и там и там____2)матрица грама еденичнная матрица <=>U - ОНБ, и тогда (x,y) = x^T * y^- ____3)e,f базисы , тогда G_e = C_f->e ^ T * G_f * C_f->e ____4)f - ОНБ, тогда e - ОНБ <=> С_f->e^T * C_f->e^- = E ____5)G_u ^ T = G_u ^- ____6) |G_u| = 0 <=> u - л.з.";

    b[51] = "Что такое ортогональная матрица в U и в E?";
    c[51] = "C in M(n,K), тогда C^-1 = C^T в Е, C in M(n,C), тогда C^(T,-) = C^-1";

    b[52] = "Что такое эрмитова матрица?";
    c[52] = "A in M(n, C) если A^T = A^-";

    b[53] = "Что такое самосопряженный линейный опертор?";
    c[53] = "A in End(U), А самосопряж, если A = A*";

    b[54] = "Теорема о собстввенных числах и собственных векторах самосопряженного оператора";
    c[54] = "1)A = A*, e - ОНБ, тогда в E м-ца A_e - симметрическая, в U м-ца A_e эрмитова____2)Все корни харрактерестического многочлена вещ-ые числа ____3)С.в соответствуюшие различным с.ч взаимно-ортогональны";

    b[55] = "Теорема о базисее из собственных векторов для самосопряженного л.о";
    c[55] = "A* = A => существует ОНБ из собственных векторов";

    b[56] = "Теорема о диагональном виде симметрической и эрмитовой матрицы";
    c[56] = "A in M(n,R): A^T = A, Тогда существует C in M(n,R) - отоганальная: C^T * A * C = матрица, где на диагонале собственные числа";

    b[57] = "";
    c[57] = "";

    b[58] = "";
    c[58] = "";

    b[59] = "";
    c[59] = "";

    b[60] = "";
    c[60] = "";


    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        Question cur;
        cur.SetQuestion(b[i]);
        cur.SetAnswer(c[i]);
        //if(i == 22 || i == 17 || i == 15 || i == 11 || i == 12 || i == 14 || i == 13 || i == 21)
		//cur.Off();
        a.push_back(cur);
    }
    while(1)
    {
        int q = (rand() % (N - 25)) + 25;
        a[q].start();
    }
}

int main()
{
    ALG();
    return 0;
}